§ 10. Элементы статистической физики Основные формулы

 Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n=n₀e^-U/(kT),

где п — концентрация частиц; U — их потенциальная энергия; n₀ — концентрация частиц в точках поля, где U=0; k — постоян­ная Больцмана; T — термодинамическая температура; е — основа­ние натуральных логарифмов.

 Барометрическая формула (распределение давления в одно­родном поле силы тяжести)

р=p₀e^-mgz/(kT), или p=p₀e^-Mgz/(RT),

где р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р₀ — давление на этом уровне; g — ускорение свобод­ного падения; R — молярная газовая постоянная.

 Вероятность того, что физическая величина х, характери­зующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x+dx, определяется по формуле

dW(x)=f(x)dx*

где f(x)—функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).

* Приведенная формула выражает также долю молекул, для которых физическая величина х заключена в интервале от х до х+dх.

 Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x+dx,

dN=NdW(x)=Nf(x)dx.

 Распределение Максвелла (распределение молекул по ско­ростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от  до +d,

,

где f() —функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от  до +d, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее число молекул; m — масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du,

где u=/_в — относительная скорость, равная отношению скорости  к наивероятнейшей скорости _в (о скоростях молекулы см. §9); f(u) — функция распределения по относительным скоростям.

 Распределение молекул по импульсам. Число молекул, им­пульсы которых заключены в пределах от р до p+dp,

,

где f(p) — функция распределения по импульсам.

 Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энер­гии которых заключены в интервале от  до +d,

,

где f()—функция распределения по энергиям.

 Среднее значение * физической величины х в общем случае

,

а в том случае, если функция распределения нормирована на еди­ницу,

<x>=xf(x)dx

где f(x) — функция распределения, интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х.

Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя арифметическая скорость) ; средняя квадратичная скорость <_кв>=<²>^1/2, где ; средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы .

* Интегралы для вычисления средних значений приведены в табл. 2.

 Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

,

где d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация моле­кул; <> — средняя арифметическая скорость молекул.

 Средняя длина свободного пробега молекул газа

.

 Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

,

где — динамическая вязкость газа; —градиент (поперечный) скорости течения его слоев; S — площадь элемента поверхности; dt — время переноса.

 Динамическая вязкость

=<><l>

где  — плотность газа (жидкости); <> — средняя скорость хаоти­ческого движения его молекул; <l> — их средняя длина свободного пробега.

 Закон Ньютона

где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.

 Закон Фурье

Q= -St,

где Q — теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S за время t;  — теплопроводность; -градиент температуры.

 Теплопроводность .(коэффициент теплопроводности) газа

=c_v<><l> или =<><l>,

где c_v — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме;  — плотность газа; <> — средняя арифметическая скорость его молеку­лы; <l> — средняя длина свободного пробега молекул.

 Закон Фика

m= -Dm₁St,

где m — масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время t; D — диффузия (коэффициент Эффузии); —градиент концентрации молекул; m₁ —масса одной молекулы.

 Диффузия (коэффициент диффузии)

D=<><l>