2 Статистическая физика. Распределение Максвелла. Барометрическая формула

Распределение молекул по скоростям (закон Максвелла)

Число молекул, имеющих скорости в интервале от v до :

,

где N – число всех молекул; m – масса молекулы; f(v) – функция распределения молекул по скоростям; e – основание натурального логарифма; k – постоянная Больцмана; – вероятность того, что число молекул будут иметь скорости в интервале от v до .

Число молекул, относительные скорости которых заключены в интервале от u до :

,

где – относительная скорость; v – скорость молекул;

v_нв – наиболее вероятная скорость.

Скорости молекул

Наиболее вероятная .

Средняя арифметическая .

Среднеквадратичная .

Средняя кинетическая энергия молекулы

Для одноатомной молекулы .

Число степеней свободы молекулы

одноатомной i = 3 (3 поступат.).

двухатомной i = 5 (3 поступат. + 2 вращ.).

многоатомной i = 6 (3 поступат. + 3 вращ.).

Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы,

.

Средняя энергия любой молекулы .

Распределение молекул по энергиям

Число молекул, энергии которых заключены в интервале от до :

,

где – функция распределения молекул по энергиям.

Распределение частиц в поле силы тяжести

(Распределение Больцмана)

,

где n – концентрация молекул на высоте h; n₀ – концентрация молекул на высоте 0.

Распределение давления в однородном поле силы тяжести (Барометрическая формула)

где р – давление газа на высоте h; р₀ – давление газа на высоте 0.

2.1 Примеры решения задач

ЗАДАЧА 2.1.1 Определить долю молекул водорода, модули скоростей которых при температуре 27 С лежат в интервале от 1898 м/с до 1902 м/с.

Дано: Т= 300 К ; = 1898 м/с; = 1902 м/с.

Найти: -?

Решение

В данной задаче удобнее воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям. Доля молекул , относительные скорости которых заключены в интервале от u до , определяется формулой

, (7)

где – наиболее вероятная скорость; .

С учетом этих выражений формула (7) примет вид

.

Для удобства сначала вычислим

(м/с)

и отношение скоростей .

Подставим численные значения в (1) и найдем долю молекул водорода, модули скоростей которых лежат в интервале от v₁ до v₂ :

.

ЗАДАЧА 2.1.2 На какой высоте над уровнем моря атмосферное давление составляет 78 кПа, если температура воздуха 17⁰С и не меняется с высотой, а давление на уровне моря нормальное? Найти число частиц в единице объема на этой высоте.

Дано: T =290 К =const ; р_h = 78·10³ Па; р₀ = 10⁵ Па; µ=0,029 кг/моль.

Найти: h-? n₁-?

Решение

Температура не меняется с высотой, для нахождения давления воспользуемся барометрической формулой

логарифмируя, получим

.

Отсюда находим h

= м; h  2107 м;

=1,95·10²⁵ м^-3; n_h  1,95·10²⁵ м^-3.

ЗАДАЧА 2.1.3 Броуновские частицы с массой 4 фг ведут себя в тепловом движении подобно гигантским молекулам, и к ним можно применить закономерности молекулярно-кинетической теории. Исходя из этого, определить, во сколько раз уменьшится концентрация броуновских частиц при увеличении высоты на 1 мм. Температуру принять равной 300 К.

Дано: m₀ = 4 фг = 4 10^–15 г=4 10^–18 кг; h = 1 мм = 10^–3 м; Т = 300 К.

Найти: = ?

Решение

Для броуновских частиц воспользуемся распределением молекул по

высоте (распределение Больцмана):

,

где n и n₀ – концентрация молекул на высоте h и на высоте h = 0, соответственно. Выразим

.

Проведем вычисления, подставив численные значения,

.

е^9,46=12836. Итак, = 12386, то есть концентрация частиц уменьшится в 12386 раз.