3. Статистическая физика

3.1 Вероятность и средние значения величин

При описании систем, содержащих большое число частиц нет ни возможности, ни необходимости рассматривать значения физических величин, относящихся к каждой из частиц в отдельности. Использование их средних значений позволяет получить вполне точные законы, например, уравнение для давления идеального газа p= 1/3 m₀nv², где v² среднее значение квадрата скорости молекулы.

Средние значения физических величин тесно связаны с понятием вероятности. Из-за непрерывных беспорядочных движений частиц всякая молекулярная система в течении достаточно большого промежутка времени проходит через бесконечный ряд состояний, сменяющих друг друга сложным образом из-за многочисленных взаимодействий. В каждом из состояний система за длительное время побывает не один, а много раз.

Пусть требуется измерить некоторую физическую величину, например, скорость молекулы. Предположим, что система состоит из N молекул (N – велико), которые имеют дискретные значения скорости. При этом для N₁ молекул из общего числа N измеренная величина скорости равна v₁, для N₂ – v₂ и т.д. По определению среднего арифметического

<v> = (N₁v₁+ N₂v₂+…)/N = (Σ N_iv_i)/N.

Величина N_i/N – относительная частота появления результата измерения скорости v_i (доля молекул из общего числа, имеющих скорость v_i), а при стремлении N→∞ - это есть вероятность появления результата v_i, поскольку, по определению:

Р_i = lim_N→∞ N_i/N≈ N_i/N. Поскольку ΣN_i = N, то ΣР_i = ΣN_i/N = 1

т.е. сумма вероятностей всех любых результатов измерений равна единице, что очевидно. Тогда среднее арифметическое значение скорости:

<v> = ΣN_iv_i/N = ΣР_iv_i – математическое ожидание.

Отсюда следует, что среднее значение величины скорости равно сумме произведений отдельных ее значений на соответствующие вероятности.

Если величина v_i принимает непрерывный ряд значений, то при вычислении среднего значения суммирование заменяется интегрированием

<v> = ∫(dN_v/N)v = 1/N ∫vdN_v

где dN_v/N – доля молекул из общего числа N, имеющих скорости, лежащие в интервале от v до v+dv. Для непрерывной случайной величины v с плотностью распределения вероятности f(v) ее среднее значение (математическое ожидание) равно <v> = ∫vf(v)dv. f(v)dv = dN_v/N. По аналогии среднее значение квадрата скорости: <v²> = ∫ v²f(v)dv.

v_max

0

Законы молекулярной физики имеют вероятностный характер, но из-за этого они не теряют ничего в своей точности и определенности. Это обусловлено тем, что для всякой системы, находящейся в неизменных внешних условиях, физические величины, описывающие ее, оказываются, тоже практически постоянными и равны их средним значениям. В таких случаях говорят, что система находится в состоянии равновесия.

2. Характер теплового движения молекул

Если газ находится в равновесии, его молекулы движутся совершенно хаотически. Все направления движения равновероятны, ни одному из них не может быть отдано предпочтение, из-за этого молекулы будут равномерно распределены по объему. Скорости молекул могут быть самыми различными по величине. При каждом соударении с другой молекулой скорость данной молекулы может, как возрасти, так и уменьшиться с равной вероятностью. Изменение v молекулы происходит случайным образом. Скорость молекулы не может быть равной бесконечности, а также равной 0. Следовательно, очень малые и очень большие скорости молекул по сравнению со средней скоростью <v> маловероятны; скорости молекул группируются в основном вблизи некоторого наиболее вероятного значения скорости.

Например, линейный размер молекулы кислорода  4 А, объем 10^-23

см³ . При нормальных условиях на одну молекулу приходится объем  0,410^-19

см³. Т.е., молекулы встречаются редко, проходя путь  1000А между столкновениями. Т.к. скорость молекул велика, примерно 500 м/с, столкновения происходят через 10^-10 с. Удары о стенки сосуда ничего не меняют, т.к. скорость изменяется только по направлению.

Молекулы притягиваются, когда расстояние между ними имеет порядок их размеров. Значит, большую часть пути они движутся прямолинейно и равномерно. Время взаимодействия очень мало  10^-13 с, т.е., взаимодействие можно считать соударением. Большую часть «своей жизни» молекула проводит в свободном движении по инерции.

Хаотичность движения молекул наглядна, если взять сферу некоторого произвольного радиуса r с центром в т. О. Любая т. А на сфере определяет направление от О к А. След-но направление движ. мол. в нек. момент времени м.б. задан. точками на сфере. Равновероятность всех напр. приводит к тому, что точки, изображающие напр. движ. мол., распределяется по сфере с пост. плотностью, равной числу мол. N/4πr². Соударения приводит к измен. направлений движ. мол., поэтому положение N точек на сфере неопред. меняются, однако плотность точек из-за хаотичности движ. остается пост.

Можно найти какое кол-во мол. движется в напр., близких к данному (А). Таким напр. соответствуют все точки элемента пов. ΔS в окрестности т.А. В пределах ΔS будет

(*) ΔN_A = N(ΔS/4πr²) = NΔΩ/4π ΔΩ тел угол, в кот. закл.напр.

Индекс А означает, что имеются ввиду мол. с направл. ≈ А. Направление ОА можно задать с помощью полярного угла θ и азимут угла φ отсчитываемых от напр. ОZ и плоск. Р₀. Разделив dS/r² получим элемент тел. угла, отвечающий инт. углов от θ до θ+dθ и от φ до φ+dφ

dΩ = sinθdθdφ

Две сферы с r и r+dr, два конуса с углами раствора θ и θ+dθ и две плоскости, образующие с Р₀ углы φ и φ+dφ образуют в пр-ве прямоуг. параллелепипед с объемом

dV = dSdr = r²sinθdrdθdφ –

элемент объема в сферической сист. коорд. (объем, отвечающий приращению корд. r, θ, φ на dr, dθ, dφ)

Перейдя от дельт и диффер. в ф-ле (*) и подставив dΩ получим

dN_v,φ = N(dΩ_vφ/4π) = Nsinθdθdφ/4π

Индексы указывают на то, что имеются в виду молекулы, напр. движ. которых отвечают интервалам углов от θ до θ+dθ и от φ до φ+dφ.