3.11 Распределение Максвелла- Больцмана

Распределение М. и Б. можно объединить в один закон – М-Б, согласно которому число молекул, компоненты скорости которых лежат в интервале от v_x, v_y, v_z до v_x+dv_x….., а координаты в пределах от x, y, z до x+dx,….. равно:

dN(v_x, v_y, v_z, x,y,z) = Aexp(-(U+mv²/2)/kT) dv_xdv_ydv_zdxdydz; А – нормировочный множитель, равный .

Здесь внутренняя энергия U и Е_кин = mv²/2 могут принимать непрерывный ряд значений.

3.12 Средние скорости молекул

Пользуясь функцией распределения М., можно вычислить ряд важных в молекулярной физике величин: средней арифметической скорости <v>, средней квадратичной скорости v = √<v²> и наиболее вероятной скорости v_н.

1. Средняя арифметическая скорость <v> по определению равна отношению суммы скоростей всех молекул единицы объема к числу молекул единицы объема.

Число молекул в единице объема dn_v, скорости которых заключены в интервале от v до v+dv равно nf(v)dv; Сумма скоростей всех таких молекул равна vnf(v)dv. Чтобы найти сумму скоростей всех молекул, обладающих любыми скоростя

∞

0

ми, нужно это выражение про

∞

0

интегрировать по всем возможным значениям скорости от 0 до ∞. Следовательно, сумма всех скоростей молекул ∫vn

∞

0

f(v)dv, а <v> = 1/n∫ vnf(v)dv , т.е.,

∞

0

<v> = ∫vf(v)dv , подставив f(v), получим:

<v> = 4/√π (m/2kT)^3/2∫ v³e dv = 4/√π (m/2kT)^3/2∫ v²e vdv

vdv = d(v²)/2, значит <v> = 4/√π (m/2kT)^3/2½∫ v²e d(v²)

Введем новую переменную Z=mv²/2kT : ½∫ v²e d(v²) = ½ (2kT/m)²∫Ze^-ZdZ, тогда, учитывая, что ∫Ze^-ZdZ =1, получим:

<v> = 4/√π (m/2kT)^3/22(kT/m)² = √8kT/πm

2) Средняя квадратичная скорость √<v²> – отношение суммы квадратов скоростей молекул единицы объема к числу молекул в этом объеме:

<v²> = ∫ v²f(v)dv = 4π(m/2πkT) ^3/2∫ v⁴e dv

берется по частям ∫ v⁴edv = 3/8(2kT/m)^5/2√π

тогда <v²> = 3kT/m; = √<v²> = √3kT/m

3)Наиболее вероятная скорость молекулы, ей соответствует max на кривой распределения М., поэтому ее находят, приравнивая производную функции нулю:

(d/dv)f(v) = d/dv[4/√π (m/2kT)^3/2v²e ] = 0

т.е. d/dv(v²e ) = 0, после дифференцирования получаем:

2ve(1-mv²/2kT) = 0. Это уравнение имеет три решения: v = 0; v = ∞, либо выражение в скобках равно нулю. Следовательно, v_н находят из условия:

1- mv²/2kT = 0 => v_н = √2kT/m

Сравнивая выражения для <v>,v и v_н, видно, что

v_{ср. кв.} = √3π/8<v> = 1,13<v> = √3/2 v_н = 1,22v_н

т.е. и средняя арифметическая, и средняя квадратичная скорости близки к v_н.

4 Второй закон термодинамики

Для полного описания термодин. процессов первого з-на т. недостаточно. Как всеобщий з-н сохр. и превращ. энергии, он не позволяет определить направление протекания процессов. Например, процесс передачи теплоты от холодного тела к горячему не противоречит 1 з-ну т., если только уменьшение внутренней энергии холодного тела равно энергии, полученной горячим телом. Опыт показывает, однако, что такие процессы не происходят.

Пример: при опускании раскаленного металла в воду, никогда не наблюдается дальнейшее нагревание металла за счет соответствующего

охлаждения воды.

Обобщение огромного экспериментального материала привело к необходимости развития термодинамики и формулировки 2-го з-на т., что превратило термодинамический метод исслледований в физике в один из самых мощных методов.