Випадкова послідовність
Нагадаємо
що для випадкової послідовності або
неперервного процесу з дискретним часом
область означення, як і для дискретної
випадкової послідовності, є дискретна
множина
,
де
може бути скінченим, а може прямувати
і до
.
Фазовий же простір
є деяким відрізком числової вісі
(континуум), тобто
.
Далі для, спрощення викладок, будемо
розглядати випадок, коли
є ціле скінчене число. Тим більше, що на
практиці, у системах обробки інформації
розглядаються саме такого виду сигнали.
Отже
випадкова послідовність може розглядатися
як упорядкована за часом послідовність
неперервних випадкових величини
,
заданих на одному і тому ж імовірнісному
просторі
.
Як і для дискретної випадкової
послідовності, покладемо, що
.
Окрім того, будемо вважати, що вказані
випадкові величини мають одну і ту ж
область значень
.
Таке припущення є виправданим, оскільки,
якщо область значень деякої випадкової
величини
обмежена інтервалом
,
то будемо вважати, що ймовірності
.
Імовірнісні властивості таких випадкових послідовностей повністю характеризуються -вимірною сумісною функцією розподілу ймовірностей
(2.29)
.
На
основі
-вимірної
сумісної функції розподілу ймовірностей
(2.29) можна знаходити функції розподілу
менших розмінностей. Так, послідовність
одновимірних функцій розподілу може
бути отримана, якщо в (2.29) «непотрібні»
змінні спрямувати до нескінченності,
а саме
;
;
…………………………………………………..
.
Для
двовимірних функцій розподілу потрібно
в (2.29) спрямовувати до нескінченності
«непотрібні»
змінних. Наприклад, двовимірна функція
розподілу випадкової послідовності в
точках
і
визначається так:
.
Рівноцінною -вимірній сумісній функції розподілу ймовірностей (2.29) повною імовірнісною характеристикою випадкової послідовності є також -вимірна сумісна щільність розподілу ймовірностей, яка визначається так:
,
(2.30)
.
Щільність розподілу ймовірностей є невід’ємною функцією, тобто
при будь-яких значеннях і задовольняє умові нормування
.
Окрім
того, сумісна
-вимірна
щільність розподілу ймовірностей (2.30)
дозволяє найти ймовірність того, що
реалізація випадкової послідовності
в момент часу
лежить в межах інтервалу
і в момент часу
лежить в межах інтервалу
і т. д. до моменту часу
.
Маємо
.
Співвідношення
(2.30) дає можливість на основі
-вимірної
сумісної функції розподілу ймовірностей
(2.29) знайти
-вимірну
сумісну щільність розподілу ймовірностей
.
Обернене співвідношення має вигляд:
.
На основі -вимірної сумісної щільності розподілу ймовірностей також можна знаходити щільності розподілу менших розмінностей шляхом інтегрування по «непотрібним» змінним. Так, послідовність одновимірних щільностей розподілу випадкової послідовності знаходяться шляхом -кратного інтегрування, тобто
.
(2.31)
Двовимірні щільності розподілу ймовірностей випадкової послідовності знаходяться шляхом -кратного інтегрування -вимірної щільності (2.30), тобто
(2.32)
.
Для випадкової послідовності можна знаходити, якщо вони існують, початкові та центральні дискретні моментні функції. Початкова змішана моментна функція -го порядку
,
де
.
Серед початкових моментних функцій найбільш широкого застосування в практиці обробки сигналів знаходять моментна функція першого порядку та змішана моментна функція другого порядку. Перша носить назву математичного сподівання або середнього випадкової послідовності і знаходиться на основі одновимірної щільності розподілу ймовірностей (2.31) шляхом однократного інтегрування, або на основі змішаної щільності розподілу ймовірностей (2.30) шляхом -кратного інтегрування,
тобто
,
(2.33)
Таким чином, математичне сподівання випадкової послідовності представляє собою -вимірний вектор
,
елементи якого знаходяться згідно з формулою (2.33).
Змішана моментна функція другого порядку носить назву коваріації або коваріаційного моменту і знаходиться за наступною формулою:
,
(2.34)
Коваріаційна
моментна функція випадкової послідовності
утворює квадратну симетричну матрицю
розміром
.
(2.35)
Центральна змішана моментна функція -го порядку
,
де .
Найбільш
відомими в практиці обробки випадкових
сигналів є центральний момент другого
порядку – дисперсія
і змішаний центральний момент другого
порядку – кореляційна функція
.
Оскільки дисперсія у загальному випадку
залежить від одного моменту часу, то
для її визначення достатньо одновимірної
щільності розподілу ймовірностей
(2.31), тобто
,
(2.36)
хоча можна скористатись і -вимірною щільністю розподілу (2.30) випадкової послідовності, аналогічно, як це показано в правій частині виразу (2.33) для математичного сподівання. В цілому для випадкової послідовності дисперсія представляє собою -вимірний вектор
,
(2.37)
елементи якого знаходяться згідно з формулою (2.36).
Оскільки кореляційна функція у загальному випадку залежить від двох моментів часу, то її елементи знаходяться на основі двовимірної щільності розподілу ймовірностей, а саме
Кореляційну функцію можна записати у вигляді квадратної симетричної матриці розміром
, (2.38)
на головній діагоналі якої розташовані елементи зі співпадаючими моментами часу і, отже, представляють собою вектор-дисперію (2.37).
Якщо
значення випадкової послідовності
стохастично незалежні, то одновимірних
функції розподілу
або щільностей розподілу ймовірностей
(2.31) достатньо для її повного опису. Це
обумовлено тим, що у цьому випадку
-вимірні
і функція розподілу (2.29), і щільність
розподілу ймовірностей (2.30) можуть бути
записані через відповідні одновимірні
розподіли. Так функція розподілу
запишеться так:
.
Щільність розподілу ймовірностей
.
Оскільки із стохастичної незалежності випливає і некорельованість значень випадкової послідовності , то кореляційна матриця (2.38) набуде вигляду:
.
Але, як відомо, із некорельованості значень випадкової послідовності у загальному випадку не слідує стохастична незалежність.
Для випадкової послідовності теж можна розглядати поняття марківського процесу. Для цього знову розглянемо моментів часу , яким відповідають значення випадкової послідовності , . Розглянемо умовну функцію розподілу ймовірність значення випадкової послідовності відносно попередніх її значень , :
.
Якщо для такої ймовірності виконується співвідношення:
=
,
(2.39)
то випадкова послідовність називається марковським процесом з дискретним часом і неперервним фазовим простором або просто дискретним процесом Маркова.
Подібно до співвідношення (2.39) можна записати вираз і для умовних щільностей розподілу ймовірностей
=
.
(2.40)
Умовна щільність розподілу ймовірностей випадкової послідовності
(2.41)
носить назву перехідної щільності ймовірностей дискретного процесу Маркова. Як і будь-які умовні щільності, перехідні щільності задовольняють умовам
і
.
Окрім
того, перехідні щільності (2.41) дискретного
процесу Маркова задовольняють рівнянню
Колмогорова-Чепмена, яке описує
співвідношення для умовних щільностей
ймовірностей трьох значень випадкової
послідовності
,
,
,
де
і
.
Використовуючи відоме в теорії
ймовірностей правило множення
ймовірностей, запишемо трьохвимірну
щільність розподілу ймовірностей для
випадкових величин
,
,
.
Якщо
тепер про інтегрувати ліву і праву
частини останнього співвідношення за
змінною
та врахувати властивість марковості
(2.40) для умовної щільності ймовірностей,
отримаємо вираз
,
(2.42)
що і зображає собою рівнянню Колмогорова-Чепмена.
Для
повного теоретико-ймовірнісного опису
дискретного процесу Маркова окрім
перехідних щільностей ймовірностей
потрібно задати також початкову щільність
ймовірностей
.
Тоді
-вимірна
щільність ймовірностей
.
Процеси типу мартингалів та напівмартингалів (субмартінгали та супермартінгали) для випадкової послідовності визначаються аналогічними виразами, як і для дискретної випадкової послідовності. Різниця полягає лише в тому, що для знаходження умовних математичних сподівань дискретної випадкової послідовності використовуються умовні розподіли ймовірностей, а для випадкової послідовності – умовні щільності розподілу ймовірностей.