6. Деякі властивості арифметичних дій, що виражені рівностями і нерівностями.
Всі властивості переносяться на множину невід’ємних раціональних чисел і доводяться.
Властивість 1: Якщо дріб більший , то - > 0.
Доведення:
-
=
> 0, оскільки за теоремою про існування
різниці
,
.
Отже, за монотонністю
>
.
Обернене твердження також правильне.
7. Пропорції і пропорційні залежності. Похідні пропорції.
Визначення:
Пропорцією називається рівність двох
відношень. Члени відношення називаються
членами пропорції.
,
– крайні,
– середні.
Основна властивість пропорції.
Теорема: У будь-якій пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.
Доведення:
Помножимо ліву і праву частини пропорції
на одне і теж число
.
Матимемо:
,
.
Із основної властивості пропорції випливає правило відшукання за трьома відомими членами четвертого невідомого.
Визначення: Пропорція, отримана в результаті виконання дій над членами даної пропорції називається похідною пропорцією по відношенню до даної.
Теорема: Для пропорції справедливо:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Доведення:
a)
,
,
.
б) - г) довести самостійно.
д) Якщо a) поділити на в), то отримаємо правильну тотожність д).
Визначення:
Якщо відношення
,
,
…
рівні між собою, то кажуть, що мають ряд
рівних відношень. Пишуть:
=
= … =
.
При цьому
називаються попередніми, а
– наступними.
Теорема: У кожному ряді рівних відношень сума усіх попередніх членів так відноситься до сумм усіх наступних, як будь-який із попередніх до свого наступного.
Доведення:
Нехай
=
= … =
= к.
Тоді , оскільки
= к,
= к,
… =
= к,
то
,
,
…,
,
.
.
Доведену
властивість ряду рівних відношень можна
узагальнити: Якщо
будь-які числа, відмінні від нуля, то
.
Доведення:
Перепишемо ряд рівних відношень
=
= … =
= =к.
Як і у попередній теоремі матимемо:
,
,
…,
,
,
.
Визначення: Дві величини називаються прямо пропорційними, якщо при зміні однієї з них друге змінюється так, що відношення відповідних значень х, у цих величин залишається незмінним: у/х = к. Таким чином прямо пропорційні величини пов'язані рівністю у = кх, де к - число, нерівне нулю, яке називається коефіцієнтом пропорційності. Випадок, коли х = у = 0 не виключається.
Визначення:
Дві величини називаються обернено
пропорційними, якщо при зміні однієї
із них друга змінюється так, що добуток
відповідних значень у, х цих величин
залишається незмінним. Такий чинам,
обернено пропорційні величини пов'язані
рівністю ху = к, де к — число нерівне
нулю. Із рівності
бачимо, що якщо х, у обернено пропорційні,
то величини
і у-прямо
пропорційні.
Визначення:
Поділити число а
на частини, пропорційні числам
означає знайти такі числа
,які
б давали
у сумі
число а
і знаходились би у прямо пропорційній
залежності з числами
,
т. т. задовольняли умовам:
,
.
За
властивістю
ряда рівних
відношень матимемо:
.
=
.
Аналогічно знаходимо
-,...,
Правило: Щоб поділити яке-небудь число пропорційно даним числам, потрібно поділити його на суму цих чисел і отриману частку послідовно помножити на кожне з цих чисел.