Невід’ємні раціональні числа

ТЕМА 4

Лекція №6-7: “НЕВІД’ЄМНІ РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА”

План:

1. Додатні дробові числа. Порівняння невід’ємних раціональних чисел.

2. Основна властивість дробу. Скорочення дробів і зведення дробів до спільного знаменника.

3. Додавання, множення, піднесення до степеня.

4. Основні закони додавання, множення.

5. Віднімання, ділення, добування кореня.

6. Деякі властивості арифметичних дій, що виражені рівностями і нерівностями.

7. Пропорції і пропорційні залежності.

1. Додатні дробові числа. Порівняння невід’ємних раціональних чисел.

Означення: Розглянемо усі можливі пари для яких ділення т на п націло неможливе. Кожній парі таких чисел, взятих у певному порядку, поставимо у відповідність новий математичний об’єкт і позначимо його т/п.

Оскільки усі невід’ємні цілі числа можна подати у вигляді символу т/п, то це дає підстави розглядати 0, і додатні дробові числа як єдину сукупність чисел.

Означення: Об’єднання множини усіх невід’ємних цілих чисел з множиною усіх додатних дробових чисел назвемо множиною невід’ємних раціональних чисел.

Отже, будь-яке невід’ємне раціональне число можна зобразити символом т/п, його називають невід’ємним дробом, звичайним дробом.

Означення: (бути рівним) Дроби називаються рівними, якщо виконується рівність на множині невід’ємних цілих чисел.

Властивості:

Відношення "буди рівним" володіє властивостями рефлексивності, симетричності, транзитивності.

Доведемо властивість транзитивності.

Якщо дріб дорівнює дробу , а дріб дорівнює дробу , де натуральні або , то дорівнює дробу .

Доведення: за означенням . Помножимо першу рівність на , а другу на п. . за властивістю транзитивності на множині невід’ємних цілих чисел матимемо . Оскільки , то поділимо на і отримаємо .За означенням = .

Означення: Кажуть, що число більше числа , а число менше числа , якщо виконується така нерівність , при цьому кажуть. Що числа між собою нерівні , а число .

Властивості: Відношення "бути більшим", "бути меншим" володіють властивістю транзитивності.

Доводиться аналогічно попередній властивості.

Т: Додатні дробові числа більші 0.

Доведення: Нехай маємо дріб і число 0. Позначимо = а. Розглянемо добуток па , як добуток додатних цілих чисел. Число 0 = , 0п = 0. тп , як добуток додатних цілих чисел. тп п, поділимо на п² . За означенням .

2. Основна властивість дробу. Скорочення дробів і зведення дробів до спільного знаменника.

Т: (основна властивість дробу) Значення дробу не зміниться, якщо його чисельник і знаменник помножити на одне і теж натуральне число = , .

Доведення:

За асоціативним та комутативним законами множення на множині невід’ємних цілих чисел . За означенням "бути рівним" = = .

Т: Значення дробу не зміниться, якщо його чисельник і знаменник поділити на одне і теж натуральне число. Яке є їх спільним множником.

Означення: Скороченням дробу називається заміна дробу рівним йому дробом, у якого чисельник і знаменник не мають спільних множників.

Означення: Дріб у якого чисельник і знаменник взаємно прості числа називається нескоротним дробом.

Т: Якщо даний дріб дорівнює деякому нескоротному дробу, о члени даного дробу дорівнюють відповідно членам даного нескоротного дробу помноженим на одне і теж число.

Доведення:

Нехай = , . З рівності дробів маємо . За теоремою про подільність добутку маємо . Отже, , але . Тому . Тоді . Звідси . Маємо, поділивши на , . Отже, , , що і потрібно було довести.

Наслідок: Два нескоротні дроби рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх чисельники і знаменники.

Доведення:

Необхідність.

= , , . Оскільки рівний нескоротному дробу, то за попередньою теоремою , , тоді . Але . Отже, к = 1, тому , .

Достатність.

, , , . Складемо дроби і . Розглянемо відповідні добутки . Відомо, що , за означенням рівних дробів = . Враховуючи те, що , , матимемо = .

Т: Будь-який дріб дорівнює одному і тільки одному нескоротному дробу.

Доведення:

= ,. . Припустимо, що існує = , . Тоді = = . Оскільки обидва дроби нескоротні, то за попереднім наслідком .

Властивості (про зміну дробу в залежності від зміни його членів).

Т1: З двох дробів з однаковими знаменниками більший той у якого чисельник більший.

Доведення: і .Нехай . Тоді на множині невід’ємних цілих чисел за монотонністю множення . Тоді за означенням "бути більшим" додатних раціональних чисел матимемо .

Т2: З двох дробів з однаковими чисельниками більший той у якого знаменник менший.

Доведення: і , . За законом монотонності . Якщо т = 0, то .або . За означенням "бути меншим" на множині дробових раціональних чисел .

Означення: Дріб у якого чисельник менший знаменника називається правильним. В інших випадках дріб є неправильним.

Т: При збільшенні чисельника і знаменника на одне і теж число, дріб збільшиться, якщо він правильний, зменшиться, якщо він неправильний але нерівний одиниці і не зміниться, якщо він рівний одиниці.

Доведення: Доведемо другу частину. Нехай – неправильний дріб. Тоді . Потрібно довести, що або .

Перейдемо до дробів з однаковими знаменниками за основною властивістю дробів. і . Порівняємо і . Скористаємося дистрибутивним законом і порівняємо і . Перші доданки однакові, порівняємо другі доданки і . За законом монотонності перейдемо до порівняння т і п. За умовою . Отже, .