6.Геометрический смысл предела последовательности

7.Теорема о единственности предела сходящ.Посл.(док-ть)

Т.Если посл-ть имеет предел, то он единственный 1) ( )( n1;n>n1=>(an-a)< ) 2) ( )( n1;n>n1=>(an-b<)< )

8.Т.Вейершнасса.достаточн.усл сущ.предела.Если посл-ть монотонно возр и огранич сверху, то она сходится.Если посл-ть монотонно убыв и огранич снизу, то она сходится.

Пример ( =n/(n+1)) – монот возр огр сверху (все члены<1)Она имеет предел.

( =(2n+3)/n) – монот убыв огр снизу(все члены>0) Она имеет предел.

9.Необходимое усл. Сущ. Предела(с док-вом)

Если посл. Имеет предел, то такая посл-ность ограничена. => -огранич.

Док-во: по опр( )( N();n>N=>| -a|<) => , n>N - огранич снизу a- сверху

a+ , m,M a-;a+;m;M выберет max(c) и min (c)=> c< <c => -огранич ч.т.д

10.Беск малые посл-ности.Опр.1-2.

Беск малой посл-ностью, назыв. величина имеющ. своим пределом число 0.

Если посл-ность { } сходится к нулю, то она называется бесконечно малой посл-стью

св-ва:

1. Сумма бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая. (Функция f(x) называется ограниченной в точке x=x₀, если найдется такое число M и такая -окрестность, что для всех x из -окрестности выполняется неравенство f(x)<M.)

12.Произведение беск.Малой посл.На огранич.

Произв беск малой посл-ти на огранич есть беск малая посл-ность.Из этой теоремы в часности следует, что произведение постоянной величины на беск малую, так же как произвдение нескольких бесконечно малых, является бесконечно малой величиной.Действительно постоянная величина всегда есть величина ограниченная.То же относится и к бесконечно малой.Поэтому, например, произведение двух бесконечно малых можно истолклвать как произведение бесконечно малой на ораниченную.

14.Теорема о пределе суммы 2-х сходящихся последовательностей.

Если посл-ности и сходятся, то посл-ность + - тоже сходится и предел суммы этой посл-ности равен сумме пределов этой посл-ности.док-во:

 =a+ + =a+b+ + = + по т. о сумме малых посл.

 =a+ явл. бесконечн малым числом.=>

18) Предел функции. Определение. Теорема о пределах функции. Геометрический смысл.

Def: на языке - б

Опр. =A

Геометрический смысл:

0<

22. Непрерывность функции.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если ее предел в этой точке равен значению функции в этой точке.

Условия непрерывности:

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если она определена в некоторой окрестности точки x₀ (очевидно, и в самой точке x₀)и если или, что то же самое

Функция y=f(x) называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

23. Точки разрыва.

Все т-ки разрыва делятся на 3 вида: т.устранимого разрыва, точки р-ва 1и2-го рода.

а) если в т-ке x0  оба односторонних предела, которые совпадают м/д собой

f(x0+0)=f(x00-), но f(x0), то такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Если x0 точка устранимого разрыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке x0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее значен.

f(x0)=f(x0-0)=f(x0+0) и сохр. зн-я в др. т-ках, то получим исправленную f.

б) если в т-ке x0 оба 1-сторонних предела f(x0+0) которые не равны м/д собой

f(x0+0)f(x0-0), то x0 наз-ся т-кой разрыва 1-го рода.

в) если в т-ке x0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не или бесконечен, то x0 наз-ся т-кой раз-ва 2-го рода.

При исследовании сл-е замечания:

1) Все элементарные ф-ции непр-ны во внутренних т-ках своих областей определения при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на на граничные т-ки обл. опр.

2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл. опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр.

26.Замечательные пределы 1,2,3,4.

1) =1 – Читается: предел отношения sin к его аргументу равен 1-це, когда аргум-т стремится к 0.

2) - для после-ти. = e и - второй зам. предел.

3) ; ;.( - по непрерыв.)

4) ; Док-ва.

a^x-1=z

a^x=z+1

x=log_a(1+z)

27) Сравнение Б.м. и Б.б. функций. Б.м. одного порядка, эквивалентные Б.м. и Б.б. более высокого порядка чем другая Б.м.

; - б. малые ф.

1) если

- бесконечно малая, более высокая порядка чем

2) то говорят что они одного порядка малости

3) они эквивалентны

28) Теорема об эквивалентных Б.м. функций. (При вычислении пределов). (Док-ть).

При вычислении пределов произведения и частного можно заменять эквивалентами функции

Док-во:

При вычислении приделов – нельзя заменять эквивалентами функции.

30.Производная.Определение.Геометр.смысл.Опр.дифф. в точке на множестве.

Производной функции y=f(x) в точке x=0 называется предел отношения приращения

Функции к приращению аргумента при стремлении последнего к 0.

Геометрический смысл состоит в том, что произв. Ф. в точке есть

угловой коэфицент касательной, проведенной к функции в данной точке.

. Правила диф-ния: если ф.имеет производн. В точке, то она назыв дифф. в этой точке.опр:ф.назыв.дифф. в интервале от a до b, если она дифференцируема в каждой точке данного интервала.

31.Т.о связи понятий неприрывн. и дифф(необх усл)(доказать)

Пусть y=f(x) которая дифф. в точке , тогда эта функция будет непрерывна в этой точке.

Обратная теорема не верна. - беск.мал.при док-во:

непр в точке

34) Теорема о производной сложной функции. (док-ть).

y=f(x) z=f(x)

Док-во:

35) Теорема о производной обратной функции. (док-ть).

y=f(x) x=f(y) - деференцируем

Док-во:

38.Дифференцирование неявн. Фун-ции.

Функ-ция z=f(x;y) назыв. неявной, если она задается уравнением F(x;y;z)=0 (*) неразреш-ым относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравн-м (*). Для этого подставив в ур-е вместо z функцию f(x;y), получим тождество

F(x;y;f(x;y))0. Частные производные по x и по y функции тождественно равной 0, также равны 0:

F(x;y;f(x;y))= (y – считаем постоянным)

F(x;y;f(x;y))= (x – считаем постоянным), откуда

и , ( )