Современные проблемы физики / PhysicalReviewpdf / Finogenko

ON DIFFERENTIAL

EQUATIONS ARISING

FROM DYNAMICS OF

SYSTEMS WITH DRY

FRICTION

I. A. FINOGENKO

Basic data on Coulomb sliding friction is given and the specific character of the equations of motion for mechanical systems with Coulomb's laws is considered. The origin and methods of elimination of P. Painleve classical paradoxes by purely mathematical tools are discussed.

З ТЪ‡Ъ¸В Ф Л‚В‰ВМ˚ У·- ˘ЛВ Т‚В‰ВМЛfl У НЫОУМУ- ‚УП Ъ ВМЛЛ ТНУО¸КВМЛfl,‡ТТПУЪ ВМ˚ УТУ·ВММУТЪЛ Ы ‡‚МВМЛИ ‰‚ЛКВМЛfl ПВı‡МЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП, ФУОЫ˜ВММ˚ı Т ЛТФУО¸БУ- ‚‡МЛВП Б‡НУМ‡ дЫОУМ‡. й·ТЫК‰‡˛ЪТfl ‚УБМЛНМУ- ‚ВМЛВ Л ПВЪУ‰˚ ЫТЪ ‡МВМЛfl НО‡ТТЛ˜ВТНЛı Ф‡ ‡- ‰УНТУ‚ иВМО‚ ˜ЛТЪУ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛПЛ Т В‰- ТЪ‚‡ПЛ.

© îËÌÓ„ÂÌÍÓ à.Ä., 1999

122

й СаооЦкЦзсаАгъзхп мкАЗзЦзаьп, ЗйбзадАыфап З СазАеадЦ лалнЦе л лмпае нкЦзаЦе

а. Д. оазйЙЦздй

а НЫЪТНЛИ „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММ˚И ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ

ЗЗЦСЦзаЦ

б‡НУМ˚ дЫОУМ‡ УФ В‰ВОВМЛfl ТЛО ТЫıУ„У Ъ ВМЛfl УФ ‡‚‰˚‚‡˛Ъ ТВ·fl ‰Оfl ПМУ„Лı ПВı‡МЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП Л ЛТФУО¸БЫ˛ЪТfl ‰Оfl УФЛТ‡МЛfl ‰‚ЛКВМЛИ ‡БОЛ˜М˚ı ПВı‡МЛБПУ‚ Л ЫТЪ УИТЪ‚. зУ ТЛО‡ Ъ ВМЛfl ‚ В‡О¸М˚ı ПВı‡МЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı ‚УБМЛН‡ВЪ ‚ ВБЫО¸Ъ‡ЪВ ТОУКМ˚ı Л ‡БМУУ· ‡БМ˚ı fl‚ОВМЛИ Л Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ПМУ„Лı Щ‡НЪУ У‚ (Т‚УИТЪ‚‡ П‡ЪВ Л‡ОУ‚ ТНУО¸Бfl˘Лı ФУ‚В ıМУТЪВИ, ТНУ УТЪ¸ ТНУО¸КВМЛfl, ЪВПФВ ‡ЪЫ ‡ Л ‰ .). б‡НУМ˚ Ъ ВМЛfl УТМУ‚‡М˚ М‡ ˝НТФВ ЛПВМЪ‡О¸- М˚ı ‰‡ММ˚ı. аТФУО¸БУ‚‡МЛВ Лı ‚ ЪВУ ВЪЛ˜ВТНЛı ЛТТОВ‰У‚‡МЛflı ПУКВЪ Ф Л‚ВТЪЛ Н Ф‡ ‡‰УНТ‡О¸М˚П ТЛЪЫ‡ˆЛflП.

Ç1895 „У‰Ы ‚˚‰‡˛˘ЛИТfl Щ ‡МˆЫБТНЛИ Ы˜ВМ˚И

è.иВМО‚ ‚ Т‚УЛı “гВНˆЛflı У Ъ ВМЛЛ” [1] Ф Л‚ВО Ф ЛПВ , НУ„‰‡ Ы ‡‚МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl, ТУТЪ‡‚ОВММ˚В Т ЛТФУО¸БУ‚‡МЛВП Б‡НУМУ‚ дЫОУМ‡ Л „ЛФУЪВБ˚ ТЫ˘В- ТЪ‚У‚‡МЛfl ‡·ТУО˛ЪМУ Ъ‚В ‰˚ı ЪВО, ‰Оfl МВНУЪУ ˚ı М‡˜‡О¸М˚ı ТУТЪУflМЛИ ОЛ·У УФ В‰ВОflОЛ Т ‡БЫ ‰‚‡ ‰‚ЛКВМЛfl, ОЛ·У МВ УФ В‰ВОflОЛ МЛ У‰МУ„У ‰‚ЛКВМЛfl. щЪЛ fl‚ОВМЛfl, ФУОЫ˜Л‚¯ЛВ М‡Б‚‡МЛВ Ф‡ ‡‰УНТУ‚ иВМОВ‚В, ‚˚Б‚‡ОЛ ‰ЛТНЫТТЛ˛, ЪВУ ВЪЛ˜ВТНЛВ Л ˝НТФВ ЛПВМЪ‡О¸М˚В ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl, НУЪУ ˚В Ф У- ‰УОК‡˛ЪТfl Л ФУ ТВИ ‰ВМ¸.

йТМУ‚˚ У·˘ВИ ЪВУ ЛЛ ТЛТЪВП Т Ъ ВМЛВП ·˚ОЛ Б‡ОУКВМ˚ ‚ Ъ Ы‰‡ı и. иВМОВ‚В Л ‚ ‡ПН‡ı НО‡ТТЛ˜В- ТНУИ ПВı‡МЛНЛ ТЛТЪВП ‡·ТУО˛ЪМУ Ъ‚В ‰˚ı ЪВО ФУОЫ- ˜ЛОЛ ‡Б‚ЛЪЛВ ‚ ‡·УЪ‡ı и. АФФВОfl, з.Й. уВЪ‡В‚‡, Й.д. иУК‡ ЛˆНУ„У, З.З. кЫПflМˆВ‚‡, „‰В М‡ ТЛТЪВП˚ Т Ъ ВМЛВП ФВ ВМВТВМ˚ Ф ЛМˆЛФ ‚УБПУКМ˚ı ФВ ВПВ- ˘ВМЛИ щИОВ ‡–㇄ ‡МК‡, ПВЪУ‰ ㇄ ‡МК‡ Л Ф ЛМˆЛФ М‡ЛПВМ¸¯В„У Ф ЛМЫК‰ВМЛfl Й‡ЫТТ‡. ЗУФ УТ˚ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl Л ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ‰‚ЛКВМЛИ ‡ТТП‡Ъ-Л‚‡ОЛТ¸ З.е. е‡Ъ УТУ‚˚П.

мФУПflМЫЪ‡fl ‚˚¯В ‰ЛТНЫТТЛfl УФЫ·ОЛНУ‚‡М‡ ‚ [1]. уЪВМЛВ ВВ Б‡ı‚‡Ъ˚‚‡ВЪ ‰‡КВ МВЛТНЫ¯ВММ˚ı ‚ ПВı‡- МЛНВ О˛‰ВИ. йМ‡ fl‚ОflВЪТfl Б‡ПВ˜‡ЪВО¸М˚П У· ‡БˆУП НУ ВНЪМУ„У, ‰У· УКВО‡ЪВО¸МУ„У Л Ы‚‡КЛЪВО¸МУ„У УЪМУ¯ВМЛfl Н Т‚УЛП УФФУМВМЪ‡П ‚ М‡Ы˜МУП ТФУ В. З ‰ЛТНЫТТЛЛ Ф ЛМflОЛ Ы˜‡ТЪЛВ МВПВˆНЛВ Л Щ ‡МˆЫБТНЛВ Ы˜ВМ˚В г. гВНУ М˛, СВ лФ‡ , о. дОВИМ, к. еЛБВТ, Й. Й‡ПВО¸, г. и ‡М‰ЪО¸, о. иЩВИЩВ . л‡П иВМОВ‚В Ф Л¯ВО Н ‚˚‚У‰Ы: “еВК‰Ы ‰ЛМ‡ПЛНУИ Ъ‚В ‰У„У ЪВО‡ Л Б‡НУМ‡ПЛ дЫОУМ‡ ЛПВВЪТfl ОУ„Л˜ВТНУВ Ф УЪЛ‚У В- ˜ЛВ Ф Л ЫТОУ‚Лflı, НУЪУ ˚В ПУ„ЫЪ ·˚Ъ¸ УТЫ˘ВТЪ‚ОВМ˚

лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹8, 1999

‚ ‰ВИТЪ‚ЛЪВО¸МУТЪЛ” [1, Т. 248]. зУ ‚ ВБЫО¸Ъ‡ЪВ ‰ЛТНЫТТЛЛ ‚˚flТМЛОУТ¸ Ъ‡НКВ, ˜ЪУ Ф‡ ‡‰УНТ˚ ЫТЪ ‡Мfl- ˛ЪТfl, ВТОЛ УЪН‡Б‡Ъ¸Тfl УЪ „ЛФУЪВБ˚ ‡·ТУО˛ЪМУ Ъ‚В - ‰˚ı ЪВО. Е˚ОЛ М‡ПВ˜ВМ˚ Л ‰ Ы„ЛВ ФЫЪЛ, НУЪУ ˚В Н М‡ТЪУfl˘ВПЫ ‚ ВПВМЛ ТЩУ ПЛ У‚‡ОЛ М‡Ф ‡‚ОВМЛfl ЛТТОВ‰У‚‡МЛИ ТЛТЪВП Т Ъ ВМЛВП, Т‚flБ‡ММ˚В Т Ы˜В- ЪУП ЪВı ЛОЛ ЛМ˚ı ‰УФУОМЛЪВО¸М˚ı ПВı‡МЛ˜ВТНЛı „ЛФУЪВБ. б‰ВТ¸ ТОВ‰ЫВЪ УЪПВЪЛЪ¸ ‡·УЪ˚ з.З. ЕЫЪВМЛМ‡, з.А. оЫЩ‡В‚‡, ы.а. зВИП‡ Н‡, гВ лЫ‡М АМfl, З.З. зЛНУО¸ТНУ„У, ы.и. лПЛ МУ‚‡, УФЫ·ОЛНУ‚‡М- М˚В ‚ ‡БМУВ ‚ ВПfl ‚ КЫ М‡О‡ı “еВı‡МЛН‡ Ъ‚В ‰У„У ЪВО‡” Л “и ЛНО‡‰М‡fl П‡ЪВП‡ЪЛН‡ Л ПВı‡МЛН‡”.

й‰М‡НУ Ъ Ы‰МУТЪЛ ЛБЫ˜ВМЛfl Ы ‡‚МВМЛИ ‰‚ЛКВМЛfl ПВı‡МЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП Т Ъ ВМЛВП МВ У„ ‡МЛ˜Л- ‚‡˛ЪТfl Ф‡ ‡‰УНТ‡ПЛ иВМОВ‚В. б‰ВТ¸ ЛПВ˛ЪТfl Л БМ‡- ˜ЛЪВО¸М˚В Ъ Ы‰МУТЪЛ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУ„У ı‡ ‡НЪВ ‡. е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУ‰ВОЛ ПВı‡МЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП Т НЫОУМУ‚˚П Ъ ВМЛВП, ФУОЫ˜ВММ˚В ‚ ‡ПН‡ı ПВı‡МЛНЛ ТЛТЪВП ‡·ТУО˛ЪМУ Ъ‚В ‰˚ı ЪВО, ЛПВ˛Ъ Т‚У˛ ТФВˆЛЩЛНЫ Л Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛Ъ ТУ·УИ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚В Ы ‡‚МВМЛfl, Ф ‡‚˚В ˜‡ТЪЛ НУЪУ ˚ı fl‚Оfl˛ЪТfl ЩЫМНˆЛflПЛ, ‡Б ˚‚М˚ПЛ УЪМУТЛЪВО¸МУ У·У·˘ВММ˚ı ТНУ-УТЪВИ, ЪУ ВТЪ¸ ТЛО‡ Ъ ВМЛfl ЛБПВМflВЪТfl ТН‡˜НУУ·-‡БМУ Ф Л ЛБПВМВМЛЛ М‡Ф ‡‚ОВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl (МЛКВ ˝ЪУ ФУН‡Б‡МУ М‡ Ф ЛПВ В). п‡ ‡НЪВ М˚П ‰Оfl ТЛТЪВП Т Ъ ВМЛВП fl‚ОflВЪТfl Ъ‡НКВ М‡ОЛ˜ЛВ ПМУКВТЪ‚‡ МВЛБУОЛ У‚‡ММ˚ı ФУОУКВМЛИ ‡‚МУ‚ВТЛfl – БУМ Б‡ТЪУfl. иУ˝ЪУПЫ Н МЛП МВФ ЛПВМЛП‡ НО‡ТТЛ˜ВТН‡fl ЪВУ Лfl У·˚НМУ‚ВММ˚ı ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ, УТУ- ·ВММУ ‚ Т‚flБЛ Т ЫЪ‚В К‰ВМЛВП У ‚УБПУКМУИ МВТУ- ‚ПВТЪЛПУТЪЛ Ы ‡‚МВМЛИ ‰‚ЛКВМЛfl Т Б‡НУМ‡ПЛ Ъ В- МЛfl дЫОУМ‡ (Ф‡ ‡‰УНТ‡ПЛ иВМОВ‚В). б‰ВТ¸ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ЛТФУО¸БУ‚‡М‡ ЪВУ Лfl ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚- МВМЛИ Т ‡Б ˚‚М˚ПЛ Ф ‡‚˚ПЛ ˜‡ТЪflПЛ, ЛМЪВМТЛ‚- МУ ‡Б‚Л‚‡˛˘‡flТfl ‚ М‡ТЪУfl˘ВВ ‚ ВПfl. лОВ‰ЫВЪ УЪПВЪЛЪ¸, ˜ЪУ ˝Ъ‡ ЪВУ Лfl ‚УТıУ‰ЛЪ ЛПВММУ Н Б‡‰‡˜‡П ПВı‡МЛНЛ, „‰В ‚ФВ ‚˚В ЛБЫ˜‡ОЛТ¸ ТЛТЪВП˚ Т ТЫıЛП Ъ ВМЛВП ‚ Ъ Ы‰‡ı иВМОВ‚В Л АФФВОfl (ТП. [1–3]). З М‡ТЪУfl˘ВВ ‚ ВПfl ‡Б ˚‚М˚ПЛ ТЛТЪВП‡ПЛ Ы ‡‚МВМЛИ УФЛТ˚‚‡˛ЪТfl Б‡‰‡˜Л ПМУ„Лı У·О‡ТЪВИ М‡ЫНЛ Л ЪВıМЛНЛ, ‚ УТУ·ВММУТЪЛ ‚ ЪВУ ЛЛ ‡‚ЪУП‡ЪЛ˜ВТНУ„У В„Ы- ОЛ У‚‡МЛfl Т ‡БОЛ˜М˚ПЛ ВОВИМ˚ПЛ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛ- Н‡ПЛ. лЛТЪВП‡ЪЛ˜ВТНУВ ЛБОУКВМЛВ Л У·БУ ЪВУ ЛЛ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ Т ‡Б ˚‚М˚ПЛ Ф ‡- ‚˚ПЛ ˜‡ТЪflПЛ ЛПВ˛ЪТfl ‚ НМЛ„В А.о. оЛОЛФФУ‚‡ [4].

а ‚УЪ ТВИ˜‡Т ЛПВВЪТfl ‚УБПУКМУТЪ¸ ЛТТОВ‰У‚‡Ъ¸ НО‡ТТЛ˜ВТНЫ˛ Б‡‰‡˜Ы ПВı‡МЛНЛ ПВЪУ‰‡ПЛ ТУ‚ ВПВМ- М˚ı П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı ЪВУ ЛИ, ЪУО˜УН Н ‡Б‚ЛЪЛ˛ НУЪУ ˚ı УМ‡ ‰‡О‡ ·УОВВ ТЪ‡ ОВЪ М‡Б‡‰.

йЕфаЦ лЗЦСЦзаь й нкЦзаа лдйгъЬЦзаь

к‡ТТПУЪ ЛП ТОВ‰Ы˛˘ЛИ Ф УТЪУИ Ф ЛПВ [2, Т. 257]. з‡ „У ЛБУМЪ‡О¸МУП ТЪУОВ ОВКЛЪ ЪflКВО˚И · ЫТУН ( ЛТ. 1). лЛО‡ ‰‡‚ОВМЛfl · ЫТН‡ М‡ ТЪУО (‚ВТ · ЫТН‡ P) ЛПВВЪ ‡‚МУ‰ВИТЪ‚Ы˛˘Ы˛ N (МУ П‡О¸МЫ˛В‡НˆЛ˛), М‡Ф ‡‚ОВММЫ˛ ФВ ФВМ‰ЛНЫОfl МУ ФОУТНУТЪЛ ТЪУО‡ ‚ ТЪУ УМЫ, Ф УЪЛ‚УФУОУКМЫ˛ ТЛОВ P. лЛТЪВП‡ М‡ıУ‰ЛЪТfl ‚ ‡‚МУ‚ВТЛЛ. и ЛОУКЛП Н · Ы-

RN

F Q

P

êËÒ. 1. С‚ЛКВМЛВ ЪflКВОУ„У · ЫТН‡ ФУ „У ЛБУМ- Ъ‡О¸МУИ ФОУТНУТЪЛ

ТНЫ „У ЛБУМЪ‡О¸МЫ˛ ТЛОЫ Q, Ф УıУ‰fl˘Ы˛ ˜В ВБ В„У ˆВМЪ ЪflКВТЪЛ. е˚ Т˜ЛЪ‡ВП, ˜ЪУ ˆВМЪ ЪflКВТЪЛ ‡Т- ФУОУКВМ ·ОЛБНУ Н ТЪУОЫ. з‡¯ УФ˚Ъ ТУТЪУЛЪ ‚ ЪУП, ˜ЪУ ЛМЪВМТЛ‚МУТЪ¸ ТЛО˚ Q Ы‚ВОЛ˜Л‚‡ВЪТfl ‰У ЪВı ФУ , ФУН‡ · ЫТУН МВ М‡˜МВЪ ‰‚Л„‡Ъ¸Тfl, ‡ Ф Л ‚˚ТУНУ‡ТФУОУКВММУП ˆВМЪ В ЪflКВТЪЛ · ЫТУН УФ УНЛМВЪТfl ‡М¸¯В, ˜ВП М‡˜МВЪ ‰‚Л„‡Ъ¸Тfl. и Л Ы‚ВОЛ˜ВМЛЛ ТЛО˚ Q ·Û‰ÂÚ ÏÂÌflÚ¸Òfl ‡͈Ëfl R ТЪУО‡ М‡ МВ„У. йМ‡ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ‡БОУКВМ‡ М‡ ‰‚В: МУ П‡О¸МЫ˛ В‡НˆЛ˛ N, ‡‚МЫ˛ Л Ф УЪЛ‚УФУОУКМЫ˛ ТЛОВ P, Ë Í‡Ò‡ÚÂθ- ÌÛ˛ Â‡ÍˆË˛ F, ‡‚МЫ˛ Л Ф УЪЛ‚УФУОУКМУ М‡Ф ‡‚- ОВММЫ˛ ТЛОВ Q. ùÚ‡ ͇҇ÚÂθ̇fl ÒÓÒÚ‡‚Îfl˛˘‡fl Ë ÂÒÚ¸ ÒË· Ú ÂÌËfl.

ÑÓ ÚÂı ÔÓ ÔÓ͇ ‚Â΢Ë̇ ÒËÎ˚ Q ПВМ¸¯В МВНУЪУ У„У БМ‡˜ВМЛfl Φ, ЪВОУ УТЪ‡ВЪТfl ‚ ‡‚МУ‚ВТЛЛ (· Ы- ТУН МВ ‰‚Л„‡ВЪТfl) Л F fl‚ОflВЪТfl ТЛОУИ Ъ ВМЛfl ‚ ФУНУВ. и Л ‰УТЪЛКВМЛЛ ТЛОУИ Q БМ‡˜ВМЛfl Φ ЪВОУ Ф ЛıУ‰ЛЪ ‚ ‰‚ЛКВМЛВ, Л ЪУ„‰‡ F М‡Б˚‚‡ВЪТfl Ъ ВМЛВП ‚ М‡˜‡ОВ ‰‚ЛКВМЛfl. йЪМУ¯ВМЛВ f = Φ/N = Φ/P М‡Б˚‚‡ВЪТfl НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУП Ъ ВМЛfl. дЫОУМ ЛБПВ flО БМ‡˜ВМЛfl f Л Φ (УМ ЛТФУО¸БУ‚‡О ФУ‚УБНЫ, НУЪУ Ы˛ ЪflМЫОЛ Т ‚УБ ‡ТЪ‡˛˘ВИ ТЛОУИ) Л Ф Л¯ВО Н ТОВ‰Ы˛˘ЛП Ъ ВП Б‡НУМ‡П:

1)Ъ ВМЛВ ‚ М‡˜‡ОВ ‰‚ЛКВМЛfl МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ФОУ- ˘‡‰ВИ ФУ‚В ıМУТЪВИ, М‡ıУ‰fl˘ЛıТfl ‚ ТУФ ЛНУТМУ‚В- МЛЛ;

2)Ъ ВМЛВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ Ф Л У‰˚ ТУФ ЛН‡Т‡˛˘ЛıТfl ФУ‚В ıМУТЪВИ;

3)Ú ÂÌËÂ Ô ÓÔÓ ˆËÓ̇θÌÓ ÌÓ Ï‡Î¸ÌÓÈ ÒÓÒÚ‡‚- Îfl˛˘ÂÈ Â‡ÍˆËË.

àÁ ̇¯Â„Ó ÓÔ˚Ú‡ ‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ ÒË· Ú ÂÌËfl F ‚ ‰‚Л- КВМЛЛ М‡Ф ‡‚ОВМ‡ ‚ ТЪУ УМЫ, Ф УЪЛ‚УФУОУКМЫ˛ ‰‚ЛКВМЛ˛ · ЫТН‡. дЫОУМ Ф В‰ФУО‡„‡О Ъ‡НКВ, ˜ЪУ Ъ ВМЛВ ФУ ‚ВОЛ˜ЛМВ МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ТНУ УТЪЛ, МУ ˝ЪУ ТФ ‡‚В‰ОЛ‚У ‚ У·О‡ТЪЛ У˜ВМ¸ П‡О˚ı ТНУ УТЪВИ.

Ç Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â ‚ÓÓ· ‡ÁËÏ ‰‚‡ ‰‚ËÊÛ˘ËıÒfl Ú‚Â ‰˚ı Ú· A Ë B, ÚÂÎÓ A ÒÍÓθÁËÚ ÔÓ ÚÂÎÛ B, m – ЪУ˜Н‡ ТУФ ЛНУТМУ‚ВМЛfl. N – ÌÓ Ï‡Î¸Ì‡fl ‡͈Ëfl Ú· B ̇ ÚÂÎÓ A, ÚÓ ÂÒÚ¸ ÒË·, Ì‡Ô ‡‚ÎÂÌ̇fl Ô ÔÂÌ- ‰ËÍÛÎfl ÌÓ Í ÒÓÔ Ë͇҇˛˘ËÏÒfl ÔÓ‚Â ıÌÓÒÚflÏ ‚ ÚӘ͠m, F – ТЛО‡, Ф ЛОУКВММ‡fl Н ˝ЪУИ КВ ЪУ˜НВ m Л‡ТФУОУКВММ‡fl ‚ Н‡Т‡ЪВО¸МУИ ФОУТНУТЪЛ Н ТУФ Л- Н‡Т‡˛˘ЛПТfl ФУ‚В ıМУТЪflП. лЛО‡ F М‡Б˚‚‡ВЪТfl ТЛОУИ Ъ ВМЛfl ТНУО¸КВМЛfl. йМ‡ М‡Ф ‡‚ОВМ‡ ‚ ТЪУ УМЫ, Ф УЪЛ‚УФУОУКМЫ˛ УЪМУТЛЪВО¸МУИ ТНУ УТЪЛ ЪУ˜НЛ

m ÔÓ ÓÚÌÓ¯ÂÌ˲ Í B, Ë ‡‚̇ ÔÓ ‚Â΢ËÌ fN, „‰Â f – ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ Ú ÂÌËfl, ‡ N – ‡·ТУО˛ЪМ‡fl ‚ВОЛ˜ЛМ‡ МУ П‡О¸МУИ В‡НˆЛЛ. н‡НЛП У· ‡БУП, ТЛО‡ Ъ ВМЛfl ТНУО¸КВМЛfl Ф Л ‰‚ЛКВМЛЛ УФ В‰ВОВМ‡, ВТОЛ ЛБ‚В- ТЪМ˚ БМ‡˜ВМЛfl f Ë N. äÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ Ú ÂÌËfl f УФ В- ‰ВОflВЪТfl ˝НТФВ ЛПВМЪ‡О¸МУ Л Б‡‚ЛТЛЪ УЪ Ф Л У‰˚ ТУФ ЛН‡Т‡˛˘ЛıТfl ФУ‚В ıМУТЪВИ. йЪПВЪЛП, ˜ЪУ НУ- ˝ЩЩЛˆЛВМЪ Ъ ВМЛfl ‚ ФУНУВ МВТНУО¸НУ ПВМ¸¯В НУ- ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡ Ъ ВМЛfl ‚ ‰‚ЛКВМЛЛ. б‰ВТ¸, ТОВ‰Ыfl [3], П˚ Т˜ЛЪ‡ВП, ˜ЪУ УМЛ ‡‚М˚.

уЪУ Ф УЛБУИ‰ВЪ, ВТОЛ УЪМУТЛЪВО¸М‡fl ТНУ УТЪ¸ ЪУ˜НЛ m ÔÓ ÓÚÌÓ¯ÂÌ˲ Í ÚÂÎÛ B У· ‡ЪЛЪТfl ‚ МЫО¸, ЪУ ВТЪ¸ ТНУО¸КВМЛВ Ф ВН ‡ЪЛЪТfl? З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В ОЛ·У ЪВОУ A ÓÒÚ‡ÌÂÚÒfl ÌÂÔÓ‰‚ËÊÌ˚Ï ÔÓ ÓÚÌÓ¯ÂÌ˲ Í ÚÂÎÛ B, ОЛ·У УЪМУТЛЪВО¸М˚П ‰‚ЛКВМЛВП ·Ы‰ВЪ Н‡˜В- МЛВ Л ‚В ˜ВМЛВ Л Б‡НУМ˚ Ъ ВМЛfl ТНУО¸КВМЛfl ‚ ‰‚Л- КВМЛЛ МВ ·Ы‰ЫЪ Ф ЛПВМЛП˚. и ВМВ· В„‡fl Ъ ВМЛflПЛ Н‡˜ВМЛfl Л ‚В ˜ВМЛfl, ТЩУ ПЫОЛ ЫВП У·˘ЛИ Ф ЛМˆЛФ УФ В‰ВОВМЛfl ТЛО˚ Ъ ВМЛfl ТНУО¸КВМЛfl Ф Л УЪМУТЛЪВО¸МУП ФУНУВ, ЪУ ВТЪ¸ ‚ ПУПВМЪ˚ Ф ВН ‡˘В- МЛfl ТНУО¸КВМЛfl [3, Т. 107].

СУФЫТЪЛП, ˜ЪУ УЪМУТЛЪВО¸М‡fl ТНУ УТЪ¸ ЪУ˜НЛ m ‚ М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t0 ‡‚М‡ МЫО˛. зЫКМУ ЫБМ‡Ъ¸, Н‡НУИ ЪЛФ УЪМУТЛЪВО¸МУ„У ‰‚ЛКВМЛfl ЪВО‡ A ÔÓ ÚÂÎÛ B ·Ы‰ВЪ УТЫ˘ВТЪ‚ОflЪ¸Тfl ‚ ТОВ‰Ы˛˘ЛВ ПУПВМЪ˚ ‚ ВПВМЛ t > t0 . уЪУ·˚ УЪ‚ВЪЛЪ¸ М‡ ˝ЪУЪ ‚У- Ф УТ, ФУТЪЫФ‡ВП ТОВ‰Ы˛˘ЛП У· ‡БУП: Ф В‰ФУО‡„‡- ВП, ˜ЪУ Ф Л t > t0 ÒÍÓ ÓÒÚ¸ ÚÓ˜ÍË m ÓÒÚ‡ÂÚÒfl ‡‚ÌÓÈ ÌÛβ. íÓ„‰‡ ‡͈Ëfl Ú· A ̇ ÚÂÎÓ B М‡ УТМУ‚‡МЛЛ Ф ЛМflЪ˚ı Б‡НУМУ‚ ·Ы‰ВЪ ТУТЪУflЪ¸ ЛБ МУ П‡О¸МУИВ‡НˆЛЛ N Ë Í‡Ò‡ÚÂθÌÓÈ Â‡ÍˆËË F. СУФЫТН‡ВЪТfl, ˜ЪУ ‚ ˝ЪУП ТОЫ˜‡В Ф ЛПВМЛП˚ Б‡НУМ˚ Ъ ВМЛfl ‚ ТУТЪУflМЛЛ ФУНУfl, Л ФУ˝ЪУПЫ ‰УОКМУ ‚˚ФУОМflЪ¸Тfl МВ-‡‚ВМТЪ‚У F < fN. è Ë ˝ÚËı ÛÒÎÓ‚Ëflı ÒÓÒÚ‡‚ÎflÂÏ Û ‡‚ÌÂÌËfl Á‡‰‡˜Ë Ë ‚˚˜ËÒÎflÂÏ Á̇˜ÂÌËfl N Ë F. ЦТОЛ ‰ВИТЪ‚ЛЪВО¸МУ М‡И‰ВММУВ БМ‡˜ВМЛВ F Ó͇ÊÂÚÒfl ÏÂ̸¯Â, ˜ÂÏ fN, ЪУ Т‰ВО‡ММУВ Ф В‰ФУОУКВМЛВ ·Ы‰ВЪ Ф ‡‚ЛО¸М˚П, ‡ ЛПВММУ УЪМУТЛЪВО¸М‡fl ТНУ УТЪ¸ ЪУ˜НЛ m Ô Ë t > t0 ‡‚̇ ÌÛβ Ë F fl‚ОflВЪТfl ТЛОУИ Ъ В- МЛfl ТНУО¸КВМЛfl ‚ ФУНУВ. щЪУ ЫЪ‚В К‰ВМЛВ ·Ы‰ВЪ ТФ ‡‚В‰ОЛ‚˚П ‰У ЪВı ФУ , ФУН‡ ‚ВОЛ˜ЛМ‡ F Ì ҉·- ÂÚÒfl ·Óθ¯Â, ˜ÂÏ fN. з‡˜ЛМ‡fl Т ˝ЪУ„У ПУПВМЪ‡ ·Ы‰ВЪ Ф УЛТıУ‰ЛЪ¸ ТНУО¸КВМЛВ Л Ы ‡‚МВМЛfl МЫКМУ ЛБПВМЛЪ¸. ЦТОЛ, М‡У·У УЪ, М‡И‰ВММУВ БМ‡˜ВМЛВ F ·Û‰ÂÚ Ò Ò‡ÏÓ„Ó Ì‡˜‡Î‡ ·Óθ¯Â, ˜ÂÏ fN, ЪУ Т‰ВО‡ММУВ Ф В‰ФУОУКВМЛВ (У ЪУП, ˜ЪУ ТНУ УТЪ¸ ЪУ˜НЛ m Ô Ë t > t0 ‡‚М‡ МЫО˛) М‚ МУ Л ‰‚ЛКВМЛВ ТНУО¸КВМЛfl МВ‚УБПУКМУ. л Т‡ПУ„У М‡˜‡О‡ МЫКМУ М‡ФЛТ‡Ъ¸ Ы ‡‚МВМЛfl ‰‚Л- КВМЛfl, Ф ЛПВМflfl Б‡НУМ˚ Ъ ВМЛfl ТНУО¸КВМЛfl Ф Л ‰‚ЛКВМЛЛ.

З ЪУП ТОЫ˜‡В, НУ„‰‡ Н‡Н ‰У ПУПВМЪ‡ УТЪ‡МУ‚НЛ t0 , Ъ‡Н Л ФУТОВ МВ„У Ф УЛТıУ‰ЛЪ ТНУО¸КВМЛВ, ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т Б‡НУМУП Ъ ВМЛfl ‚ ‰‚ЛКВМЛЛ Ф Л ЛБПВМВМЛЛ М‡Ф ‡‚ОВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl ЛБПВМЛЪ БМ‡Н М‡ Ф УЪЛ‚У- ФУОУКМ˚И, ЪУ ВТЪ¸ Ф УЛБУИ‰ВЪ ТН‡˜НУУ· ‡БМУВ ЛБПВМВМЛВ ТЛО˚ Ъ ВМЛfl, У ˜ВП ЫКВ ЫФУПЛМ‡ОУТ¸.

è ˂‰ÂÌÌ˚ Á‰ÂÒ¸ ‡ÒÒÛʉÂÌËfl fl‚Îfl˛ÚÒfl ‚ÂÒ¸- χ ÒıÂχÚ˘Ì˚ÏË Ë Ó·˘ËÏË. Ç ÍÓÌÍ ÂÚÌ˚ı ÒËÚÛ‡-

ˆЛflı ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl ТЛО˚ Ъ ВМЛfl МВ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ЪУО¸НУ ‚˚‚У‰ЛЪ¸ Ы ‡‚МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl. ЦТОЛ ‡НЪЛ‚- М˚В ТЛО˚, ‰ВИТЪ‚Ы˛˘ЛВ М‡ ТЛТЪВПЫ, ЛБ‚ВТЪМ˚, ЪУВ‡НˆЛЛ Т‚flБВИ МВУ·ıУ‰ЛПУ ‚˚˜ЛТОflЪ¸ Л ‡М‡ОЛБЛ-У‚‡Ъ¸. З ЪУП ТОЫ˜‡В, НУ„‰‡ ЛПВВЪТfl ПМУКВТЪ‚У ЪУ- ˜ВН ТУФ ЛНУТМУ‚ВМЛfl Ъ Ы˘ЛıТfl ЪВО, ‚ТВ ТН‡Б‡ММУВ ТОВ‰ЫВЪ Ф ЛПВМflЪ¸ Н Н‡К‰УИ Ъ‡НУИ ЪУ˜НВ.

зЛКВ ·Ы‰ЫЪ Ф Л‚В‰ВМ˚ У·˘ЛВ Ы ‡‚МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl, УФЛТ˚‚‡˛˘ЛВ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ¯Л УНЛИ НО‡ТТ ПВ- ı‡МЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП Т Ъ ВМЛВП ТНУО¸КВМЛfl. ЗМ‡˜‡ОВ‡ТТПУЪ ЛП ‰‚‡ Ф ЛПВ ‡.

икаеЦк иЦзгЦЗЦ

б‰ВТ¸ ЫН‡КВП М‡ Ф УЪЛ‚У В˜Лfl, Н НУЪУ ˚П Ф Л- ¯ВО иВМОВ‚В Ф Л Ф ЛПВМВМЛЛ Б‡НУМУ‚ дЫОУМ‡. щЪУ МВ ЛТНО˛˜ЛЪВО¸М˚И, ‡ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ У·˘ЛИ ТОЫ˜‡И Ф Л ·УО¸¯Лı БМ‡˜ВМЛflı НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡ Ъ ВМЛfl. йМ ЛТТОВ‰У‚‡М ‚ НМЛ„В и. иВМО‚ [1] (ТП. Ъ‡НКВ [3]).

ê‡ÒÒÏ‡Ú Ë‚‡˛ÚÒfl ‰‚ χÚ ˇθÌ˚ ÚÓ˜ÍË ( ËÒ. 2) ‰ËÌ˘ÌÓÈ Ï‡ÒÒ˚, Ò‚flÁ‡ÌÌ˚ Ì‚ÂÒÓÏ˚Ï ÒÚ ÊÌÂÏ MM1 ‰ÎËÌ˚ r > 0. íӘ͇ å ТНУО¸БЛЪ Т Ъ ВМЛВП ФУ МВФУ‰‚ЛКМУИ „У ЛБУМЪ‡О¸МУИ Ф flПУИ éı, Т НУЪУ УИ МВ ПУКВЪ ТУИЪЛ, ‰ Ы„‡fl ЪУ˜Н‡ M1 ‰‚ЛКВЪТfl ·ВБ ‚МВ¯- МВ„У ТУФ УЪЛ‚ОВМЛfl ‚ ‚В ЪЛН‡О¸МУИ ФОУТНУТЪЛ éıÛ ФУ‰ ‰ВИТЪ‚ЛВП ТЛО˚ ЪflКВТЪЛ g (Ë Â‡ÍˆËË ÒÚ ÊÌfl). éÒ¸ éÛ М‡Ф ‡‚ОВМ‡ ‚МЛБ, θ – Ы„УО УЪНОУМВМЛfl ТЪВ КМfl УЪ ФУОУКЛЪВО¸МУ„У М‡Ф ‡‚ОВМЛfl éı ÔÓ ˜‡- ÒÓ‚ÓÈ ÒÚ ÂÎÍÂ, ı – ÍÓÓ ‰Ë̇ڇ ÚÓ˜ÍË å. ЗМВ¯МЛПЛ ТЛО‡ПЛ, ‰ВИТЪ‚Ы˛˘ЛПЛ М‡ ТЛТЪВПЫ, fl‚Оfl˛ЪТfl ФУО- М˚И ‚ВТ 2g, Ф ЛОУКВММ˚И ‚ ˆВМЪ В ЪflКВТЪЛ G, Ë Â- ‡ÍˆËfl R ÓÒË Ox, ÒÓÒÚ‡‚Îfl˛˘Ë ÍÓÚÓ ÓÈ ÔÓ ÓÒflÏ Ox Ë Oy Ó·ÓÁ̇˜ËÏ Rx Ë Ry .

иУ ЪВУ ВП‡П У ‰‚ЛКВМЛЛ ˆВМЪ ‡ П‡ТТ Л НЛМВЪЛ- ˜ВТНУ„У ПУПВМЪ‡ УЪМУТЛЪВО¸МУ ˆВМЪ ‡ П‡ТТ ФУОЫ˜‡- ВП Ы ‡‚МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl Л Ы ‡‚МВМЛВ ‰Оfl МУ П‡О¸- МУИ В‡НˆЛЛ Ry

M1

2g

êËÒ. 2. и ЛПВ и. иВМОВ‚В

ТНУО¸КВМЛfl ‚ ‰‚ЛКВМЛЛ) ФУ ‡·ТУО˛ЪМУПЫ БМ‡˜ВМЛ˛‡‚М‡ f |Ry | Л ЛПВВЪ БМ‡Н, Ф УЪЛ‚УФУОУКМ˚И БМ‡НЫ ТНУ УТЪЛ x˙ÚÓ˜ÍË å, „‰Â f > 0 – НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ Ъ В- МЛfl (ФУТЪУflММ‡fl ‚ВОЛ˜ЛМ‡), |Ry | – ‡·ТУО˛ЪМ‡fl ‚В- ОЛ˜ЛМ‡ МУ П‡О¸МУИ В‡НˆЛЛ. н‡НЛП У· ‡БУП, ТУ- „О‡ТМУ Б‡НУМЫ дЫОУМ‡, ‚ ‰‚ЛКВМЛЛ Ф Л x˙≠ 0 ЛПВВП

(˜Â ÂÁ signν Ó·ÓÁ̇˜Â̇ ÙÛÌ͈Ëfl, ÓÔ Â‰ÂÎfl˛˘‡fl ÁÌ‡Í ‚Â΢ËÌ˚ ν, ÚÓ ÂÒÚ¸

иУТНУО¸НЫ sinθ0 cosθ0 > 0, ÚÓ Ì ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó (6) ·Û‰ÂÚ ‚˚ÔÓÎÌflÚ¸Òfl ‰Îfl ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ·Óθ¯Ëı Á̇˜ÂÌËÈ f. йЪПВЪЛП Ъ‡НКВ, ˜ЪУ ЛБ Ъ ВЪ¸В„У Ы ‡‚МВМЛfl ТЛТЪВП˚

(5) ÒΉÛÂÚ ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó

Ry < 0. ÖÒÎË Ry < 0, ЪУ ЛБ ЪВı КВ ТУУЪМУ¯ВМЛИ (4), (6),

(7) ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ Ry > 0. é·‡ ÒÎÛ˜‡fl Ô ÓÚË‚Ó Â˜Ë‚˚.

í‡ÍËÏ Ó· ‡ÁÓÏ, Ô Ë x˙0 > 0 Ы ‡‚МВМЛfl (5) МВ ‡Б-В¯ЛП˚ (Ф‡ ‡‰УНТ МВ‚УБПУКМУТЪЛ ‰‚ЛКВМЛfl).

и В‰ФУОУКЛП, ˜ЪУ x˙0 < 0. нУ„‰‡ Ы ‡‚МВМЛfl (5) ЛПВ˛Ъ ‰‚‡ В¯ВМЛfl, У‰МУ ЛБ НУЪУ ˚ı ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ БМ‡˜ВМЛ˛ ε = −1, ‡ ‰ Ы„УВ – БМ‡˜ВМЛ˛ ε = +1, Л У·‡ УМЛ МВ Ф УЪЛ‚У В˜‡Ъ Б‡НУМЫ Ъ ВМЛfl (3) (Ф‡ ‡‰УНТ МВВ‰ЛМТЪ‚ВММУТЪЛ ‰‚ЛКВМЛfl).

燯ÂÈ ˆÂθ˛ ·˚ÎÓ Û͇Á‡Ú¸ ̇ Ô‡ ‡‰ÓÍÒ˚ Ú Â-

ÌËfl. èÓ˝ÚÓÏÛ Ï˚ Ì ‡ÒÒÏ‡Ú Ë‚‡ÂÏ ÒÎÛ˜‡È x˙0 = 0 Л Ф ВН ‡˘‡ВП ЛТТОВ‰У‚‡МЛВ Ф ЛПВ ‡ иВМОВ‚В. СОfl ЪУ„У ˜ЪУ·˚ ‡ТТПУЪ ВЪ¸ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ Ъ Ы‰МУТЪЛ, Ф Л‚В‰ВП ·УОВВ Ф УТЪУИ Ф ЛПВ Т Ы ‡‚МВМЛВП, ЛБ- ·‡‚ОВММ˚П УЪ Ф УЪЛ‚У В˜ЛИ.

газЦвзхв йлсаггьнйк ика зДгауаа лмпйЙй нкЦзаь

гЛМВИМ˚П УТˆЛООflЪУ УП Ф Л М‡ОЛ˜ЛЛ НЫОУМУ‚- ТНУ„У Ъ ВМЛfl ТОЫКЛЪ ЫТЪ УИТЪ‚У, ЛБУ· ‡КВММУВ М‡ЛТ. 3, ‡. íÂÎÓ m В‰ЛМЛ˜МУИ П‡ТТ˚ ФУ‰ ‰ВИТЪ‚ЛВП ЫФ Ы„УИ ТЛО˚ Ф ЫКЛМ ‰‚ЛКВЪТfl ФУ „У ЛБУМЪ‡О¸МУИ ФУ‚В ıМУТЪЛ Н‡НУ„У-ОЛ·У Ъ‚В ‰У„У ЪВО‡. нВОУ ‡Т- ТП‡Ъ Л‚‡ВЪТfl Н‡Н П‡ЪВ Л‡О¸М‡fl ЪУ˜Н‡ Т НУУ ‰ЛМ‡- ЪУИ x, k – НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ ЫФ Ы„УТЪЛ Ф ЫКЛМ Т ЪУ˜НУИ МВМ‡Ф flКВММУ„У ТУТЪУflМЛfl x = 0. З ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т Б‡НУМУП ЙЫН‡ Ф Л П‡О˚ı УЪНОУМВМЛflı ЫФ Ы„‡fl ТЛО‡ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸М‡ УЪНОУМВМЛ˛ Л ‡‚М‡ −kg, g – ‚ВТ ЪВО‡. лУ„О‡ТМУ Б‡НУМ‡П дЫОУМ‡, ТЛО‡ ТЫıУ„У Ъ ВМЛfl F УФ В‰ВОflВЪТfl ЩУ ПЫОУИ

‡

m

x

·F

fg

x˙

0

–fg

‚x

êËÒ. 3. ‡ – ОЛМВИМ˚И УТˆЛООflЪУ Ф Л М‡ОЛ˜ЛЛ НЫОУМУ‚‡ Ъ ВМЛfl, · – ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН‡ ‡Б ˚‚МУИ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ ТЛО˚ Ъ ВМЛfl УЪ ТНУ УТЪЛ Ф Л ‰‚Л- КВМЛЛ ОЛМВИМУ„У УТˆЛООflЪУ ‡, ‚ – Щ‡БУ‚˚И ФУ - Ъ ВЪ ОЛМВИМУ„У УТˆЛООflЪУ ‡ (ТЪ ВОН‡ПЛ ЫН‡Б‡МУ М‡Ф ‡‚ОВМЛВ ‰‚ЛКВМЛИ ФУ Ъ ‡ВНЪУ ЛflП, O1O2 – ÁÓ̇ Á‡ÒÚÓfl)

„‰Â f > 0 – ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ Ú ÂÌËfl.

З НО‡ТТЛ˜ВТНУИ ПВı‡МЛНВ ЫТНУ ВМЛВ ‡ТТП‡Ъ Л- ‚‡ВЪТfl, ФУ ТЫ˘ВТЪ‚Ы, Н‡Н Ф ‡‚‡fl Ф УЛБ‚У‰М‡fl ТНУ У- ТЪЛ x˙. é·ÓÁ̇˜Ë‚  ˜Â ÂÁ D+ x˙, Б‡ФЛ¯ВП Ы ‡‚МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl ОЛМВИМУ„У УТˆЛООflЪУ ‡

н‡НЛП У· ‡БУП, ‰‚ЛКВМЛВ ЪУ˜НЛ УФЛТ˚‚‡ВЪТfl МВ У‰МЛП, ‡ Ъ ВПfl ‡БОЛ˜М˚ПЛ Ы ‡‚МВМЛflПЛ, Ф Л˜ВП ФВ ‚˚В ‰‚‡ Ы ‡‚МВМЛfl Ъ‡НКВ ЛБПВМfl˛ЪТfl ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ БМ‡НУ‚ x˙Ë ı. нУ˜МВВ, Ы ‡‚МВМЛfl (8) ФВ В- ıУ‰flЪ У‰МУ ‚ ‰ Ы„УВ (ПВМfl˛Ъ ТЪ ЫНЪЫ Ы) ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ‡ТФУОУКВМЛfl ЪУ˜НЛ (x, x˙). ùÚÓ Ó·ÛÒÎÓ‚ÎÂÌÓ‡Á ˚‚ÌÓÒÚ¸˛ ÒËÎ˚ Ú ÂÌËfl F УЪМУТЛЪВО¸МУ ТНУ У- ТЪЛ x˙. ᇂЛТЛПУТЪ¸ F ÓÚ x˙Ô Ë x˙≠ 0 ËÁÓ· ‡ÊÂ̇ ̇ËÒ. 3, ·. è Ë Ô ÂıӉ ÒÍÓ ÓÒÚË x˙˜В ВБ БМ‡˜ВМЛВ,‡‚МУВ МЫО˛, Ф УЛТıУ‰ЛЪ ТПВМ‡ Ы ‡‚МВМЛИ. о‡БУ‚˚И ФУ Ъ ВЪ ‡ТТП‡Ъ Л‚‡ВПУИ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ (ЪУ ВТЪ¸ ФУ‚В‰ВМЛВ ЪУ˜НЛ (x, x˙) Т ЪВ˜ВМЛВП ‚ ВПВМЛ ‰Оfl ‚ТВ‚УБПУКМ˚ı М‡˜‡О¸М˚ı ТУТЪУflМЛИ) ЛБУ· ‡КВМ М‡ ЛТ. 3, ‚.

аБ Ы ‡‚МВМЛИ (8) ‚Л‰МУ, ˜ЪУ ВТОЛ ‚ МВНУЪУ ˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t0 ‚˚ÔÓÎÌfl˛ÚÒfl ÛÒÎÓ‚Ëfl x˙= 0 Ë k x # fg, ÚÓ D+ x˙ = 0. лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, ‰‚ЛКВМЛВ ТЛТЪВП˚ Ф ВН ‡˘‡ВЪТfl, УМ‡ М‡ıУ‰ЛЪТfl ‚ ФУОУКВМЛЛ‡‚МУ‚ВТЛfl. иУОУКВМЛflП ‡‚МУ‚ВТЛfl М‡ Щ‡БУ‚УП ФУ Ъ ВЪВ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ УЪ ВБУН O1O2 , „‰Â O1 = fg/k, O2 = −fg/k. щЪУ fl‚ОВМЛВ – М‡ОЛ˜ЛВ ПМУКВТЪ‚‡ МВЛБУОЛ У‚‡ММ˚ı ФУОУКВМЛИ ‡‚МУ‚ВТЛfl, НУЪУ УВ ˜‡ТЪУ М‡Б˚‚‡˛Ъ БУМУИ Б‡ТЪУfl, – fl‚ОflВЪТfl ЪЛФЛ˜М˚П ‰Оfl ТЛТЪВП Т НЫОУМУ‚˚П Ъ ВМЛВП. б‡ТЪУИ ‚УБМЛН‡ВЪ, НУ„‰‡ ‡НЪЛ‚М˚В ТЛО˚, ‰ВИТЪ‚Ы˛˘ЛВ М‡ ТЛТЪВПЫ, МВ ПУ„ЫЪ Ф ВУ‰УОВЪ¸ ТЛОЫ Ъ ВМЛfl. З М‡¯ВП ТОЫ˜‡В – НУ„‰‡ ЫФ Ы„‡fl ТЛО‡ Ф ЫКЛМ ‚ ПУПВМЪ УТЪ‡МУ‚НЛ УН‡- Б˚‚‡ВЪТfl ФУ ‡·ТУО˛ЪМУИ ‚ВОЛ˜ЛМВ ПВМ¸¯В, ˜ВП ‚В- ОЛ˜ЛМ‡ ТЛО˚ Ъ ВМЛfl ‚ ‰‚ЛКВМЛЛ.

ЦТОЛ КВ ‚ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t0 ‚˚ÔÓÎÌfl˛ÚÒfl ÛÒÎÓ- ‚Ëfl x˙= 0 Ë k|x| > fg, ÚÓ D+ x˙ 0 Ë ËÁ (8) ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ sign D+ x˙= –sign x. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, Ô Ë t > t0 ‰‚ЛКВМЛВ МВ Ф ВН ‡˘‡ВЪТfl Л Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ В¯ВМЛИ Ы ‡‚- МВМЛfl (8) ФВ ВıУ‰flЪ ОЛ·У ‚ ‚В ıМ˛˛, ОЛ·У ‚ МЛК- М˛˛ ФУОЫФОУТНУТЪ¸ Щ‡БУ‚УИ ФОУТНУТЪЛ (ТП. ЛТ. 3, ‚) ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ‡ТФУОУКВМЛfl ЪУ˜НЛ x. н ВМЛВ ‚ ˝ЪУЪ ПУПВМЪ ПВМflВЪТfl М‡ ‚ВОЛ˜ЛМЫ 2fg. н ‡ВНЪУ ЛЛ ТЛТЪВП˚ (8) Т ЪВ˜ВМЛВП ‚ ВПВМЛ Ф Л·ОЛК‡˛ЪТfl Н БУМВ Б‡ТЪУfl Л ФУФ‡‰‡˛Ъ ‚ МВВ. З НМЛ„В [5] ˝ЪУ ТЪ У„У У·УТМУ‚˚‚‡ВЪТfl ЛМЪВ„ Л У‚‡МЛВП Ы ‡‚МВМЛИ ‰‚ЛКВМЛfl Л Ф ЛФ‡ТУ‚˚‚‡МЛВП М‡˜‡О¸М˚ı ‰‡ММ˚ı ТЛТЪВП˚.

зУ ЛМЪВ„ Л Ы˛ЪТfl ОЛ¯¸ Ф УТЪВИ¯ЛВ ЪЛФ˚ Ы ‡‚- МВМЛИ. З ·УОВВ У·˘Лı ТОЫ˜‡flı ‚УБМЛН‡ВЪ Б‡‰‡˜‡ ЛБЫ- ˜ВМЛfl ‚УФ УТУ‚ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl ‰‚ЛКВМЛИ ТЛТЪВП˚

Л ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl Лı ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı Т‚УИТЪ‚ ‚ ЫТОУ‚Л- flı, НУ„‰‡ Ы ‡‚МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl ПВМfl˛Ъ Т‚У˛ ТЪ ЫНЪЫ Ы ФУ‰У·МУ ЪУПЫ, Н‡Н ˝ЪУ Ф УЛТıУ‰ЛЪ ‚ М‡¯ВП Ф ЛПВ В Т ОЛМВИМ˚П УТˆЛООflЪУ УП.

йЕфаЦ мкДЗзЦзаь СЗаЬЦзаь

ЗВ МВПТfl М‡ МВНУЪУ УВ ‚ ВПfl Н Ф ЛПВ Ы иВМОВ- ‚В. З ФВ ‚УП ЛБ Ы ‡‚МВМЛИ (1) ‚˚ ‡КВМЛВ Rx , УФ В- ‰ВОВММУВ ЩУ ПЫОУИ (3), ПУКМУ ‡ТТП‡Ъ Л‚‡Ъ¸ Н‡Н

НЛП У· ‡БУП, Л ‚ Ф ‡‚УИ Л ‚ ОВ‚УИ ˜‡ТЪflı Ы ‡‚МВМЛИ

(1) ЛПВ˛ЪТfl ТЪ‡ ¯ЛВ (‚ЪУ ˚В) Ф УЛБ‚У‰М˚В. н‡НЛВ Ы ‡‚МВМЛfl М‡Б˚‚‡˛ЪТfl МВ ‡Б В¯ВММ˚ПЛ УЪМУТЛЪВО¸МУ ТЪ‡ ¯Лı Ф УЛБ‚У‰М˚ı ЛОЛ МВfl‚МУ Б‡‰‡ММ˚ПЛ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ПЛ Ы ‡‚МВМЛflПЛ. З ЪУП ТОЫ˜‡В,

( , ˙˙θ)

ВТОЛ УМЛ ‡Б В¯ЛП˚ УЪМУТЛЪВО¸МУ x˙˙ , ФУОЫ˜ЛП ЪВ КВ Т‡П˚В Ы ‡‚МВМЛfl ‚ fl‚МУИ ЩУ ПВ. й‰М‡НУ Ъ‡НУВ‡Б В¯ВМЛВ МВ ‚ТВ„‰‡ ‚УБПУКМУ Л МВ ‚ТВ„‰‡ У‰МУБМ‡˜МУ. ЗУЪ ЪУ„‰‡ Л ‚УБМЛН‡˛Ъ Ф‡ ‡‰УНТ˚ МВ‚УБПУКМУТЪЛ Л МВВ‰ЛМТЪ‚ВММУТЪЛ ‰‚ЛКВМЛИ. е˚ Ы·В- ‰ЛОЛТ¸ ‚ ˝ЪУП Ф Л ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ Ы ‡‚МВМЛИ (1), (2) ‚ ЩУ ПВ (5). иУ˝ЪУПЫ ПУКМУ ЫЪ‚В К‰‡Ъ¸, ˜ЪУ Ф Л ЫТОУ‚Лflı У‰МУБМ‡˜МУИ ‡Б В¯ЛПУТЪЛ МВfl‚М˚ı Ы ‡‚- МВМЛИ ‰‚ЛКВМЛfl УЪМУТЛЪВО¸МУ ЫТНУ ВМЛИ Ф‡ ‡‰УН- Т˚ иВМО‚ ЫТЪ ‡Мfl˛ЪТfl.

б‡ФЛ¯ВП У·˘ЛВ Ы ‡‚МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl „УОУМУП- М˚ı ПВı‡МЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП Т k ТЪВФВМflПЛ Т‚У·У‰˚, Т Л‰В‡О¸М˚ПЛ Ы‰В КЛ‚‡˛˘ЛПЛ Т‚flБflПЛ ФУ‰ ‰ВИТЪ‚Л- ВП НЫОУМУ‚˚ı ТЛО Ъ ВМЛfl ТНУО¸КВМЛfl, ‚‚В‰ВММ˚В З.е. е‡Ъ УТУ‚˚П, ЛБ ‡·УЪ˚ [6]. б‡ФЛТ‡ММ˚В ‚ ‚ВНЪУ МУИ ЩУ ПВ Ы ‡‚МВМЛИ г‡„ ‡МК‡ 2-„У У‰‡ УМЛ ЛПВ˛Ъ ‚Л‰

A(t, q)q˙˙= g(t, q, q˙) + QA (t, q, q˙) + QT (t, q, q˙, q˙˙). (9)

á‰ÂÒ¸ q = (q , q , …, q ), q˙= (q˙, q˙, …, q˙), q˙˙= (q˙˙,

1 2 k 1 2 k 1

q˙˙, …, q˙˙) – ‚ВНЪУ ˚ У·У·˘ВММ˚ı ТУТЪУflМЛИ, ТНУ У-

2 k

ТЪВИ Л ЫТНУ ВМЛИ. ЗВНЪУ М˚В ЩЫМНˆЛЛ g = (g1 , g2 , … …, gk), QA = (Q1A, Q2A, …, QkA ) УФЛТ˚‚‡˛Ъ У·У·˘ВМ- М˚В „Л УТНУФЛ˜ВТНЛВ ТЛО˚, ФВ ВМУТМ˚В ТЛО˚ ЛМВ - ˆЛЛ Л ‡НЪЛ‚М˚В ТЛО˚, ‰ВИТЪ‚Ы˛˘ЛВ М‡ ТЛТЪВПЫ; A(t, q) – ТЛППВЪ Л˜М‡fl, ФУОУКЛЪВО¸МУ-УФ В‰ВОВМ- М‡fl П‡Ъ Лˆ‡ ‡БПВ МУТЪЛ k × k НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚

ËÌ ˆËË asi(t, q), QT = (QT1, QT2, …, QTk ) – Ó·Ó·˘ÂÌ- Ì˚ ÒËÎ˚ Ú ÂÌËfl ÒÍÓθÊÂÌËfl, ÓÔ Â‰ÂÎflÂÏ˚ ‚ ÒÓ-

УЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т Б‡НУМ‡ПЛ дЫОУМ‡ ФУ ЩУ ПЫОВ

„‰Â s = 1, 2, …, k*, k* # k, |Ns | – ПУ‰ЫОЛ МУ П‡О¸М˚ıВ‡НˆЛИ ‚ ЪУ˜Н‡ı ТУФ ЛНУТМУ‚ВМЛfl Ъ Ы˘ЛıТfl ЪВО,

гВ„НУ Б‡ПВЪЛЪ¸, ˜ЪУ МВ ‡‚ВМТЪ‚У (12) ‚ ЪУ˜НВ θ = θ0 Ф УЪЛ‚УФУОУКМУ МВ ‡‚ВМТЪ‚Ы (6), НУЪУ УВ Ф Л‚ВОУ Н Ф УЪЛ‚У В˜ЛflП. еЛМЛП‡О¸МУВ БМ‡˜ВМЛВ Ф ‡‚УИ ˜‡ТЪЛ (12) Ф Л·ОЛБЛЪВО¸МУ ‡‚МУ 2,8. н‡НЛП У· ‡- БУП, ТЪ У„У У·УТМУ‚˚‚‡ВЪТfl УˆВМН‡ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ Ъ ВМЛfl f, ‰Оfl НУЪУ ˚ı Ф‡ ‡‰УНТУ‚ иВМО‚ МВ ‚УБМЛН‡ВЪ.

бДдгыуЦзаЦ

З У‰МУП Щ‡МЪ‡ТЪЛ˜ВТНУП ‡ТТН‡БВ ЛБУ· ВЪ‡ЪВО¸ ТУБ‰‡О ЫТЪ УИТЪ‚У, ЫМЛ˜ЪУК‡˛˘ВВ Ъ ВМЛВ. и В‰- ТЪ‡‚¸ЪВ ТВ·В ОВЪfl˘ЛВ ·ВБ УТЪ‡МУ‚НЛ ФУВБ‰‡, ТЪ‡ОНЛ- ‚‡˛˘ЛВТfl ‡‚ЪУПУ·ЛОЛ, Ф‡‰‡˛˘ЛВ Ф УıУКЛВ М‡ ЫОЛˆВ. зУ ˝ЪУ ОЛ¯¸ ФУ‚В ıМУТЪМ˚И ‚Б„Оfl‰. з‡ Т‡- ПУП ‰ВОВ Н‡ ЪЛМ‡ ·Ы‰ВЪ „У ‡Б‰У ·УОВВ „ ‡М‰ЛУБМУИ: ‚ТВ, ˜ЪУ ‰‚ЛКВЪТfl, МВ ТПУКВЪ УТЪ‡МУ‚ЛЪ¸Тfl, ‚ТВ, ˜ЪУ

6.å‡Ú ÓÒÓ‚ Ç.å., îËÌÓ„ÂÌÍÓ à.А. й ‡Б В¯ЛПУТЪЛ Ы ‡‚МВМЛИ ‰‚ЛКВМЛfl ПВı‡МЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП Т Ъ ВМЛВП ТНУО¸КВМЛfl // и ЛНО. П‡ЪВП‡ЪЛН‡ Л ПВı‡МЛН‡. 1994. н. 58, ‚˚Ф. 6. л. 3–13.

7.ãÛ ¸Â А.à. А̇ÎËÚ˘ÂÒ͇fl ÏÂı‡ÌË͇. å.: îËÁχڄËÁ, 1961. 824 Ò.

* * *

а‚‡М АМ‡ЪУО¸В‚Л˜ оЛМУ„ВМНУ, Н‡М‰Л‰‡Ъ ЩЛБЛ- НУ-П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı М‡ЫН, ‰УˆВМЪ Н‡ЩВ‰ ˚ П‡ЪВП‡- ЪЛ˜ВТНУ„У ‡М‡ОЛБ‡ а НЫЪТНУ„У „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММУ„У ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ‡, ТЪ‡ ¯ЛИ М‡Ы˜М˚И ТУЪ Ы‰МЛН аМТЪЛЪЫЪ‡ ‰ЛМ‡ПЛНЛ ТЛТЪВП Л ЪВУ ЛЛ ЫФ ‡‚ОВМЛfl лЛ·Л - ТНУ„У УЪ‰ВОВМЛfl кАз. й·О‡ТЪ¸ М‡Ы˜М˚ı ЛМЪВ ВТУ‚ – ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚В Ы ‡‚МВМЛfl, ЩЫМНˆЛУМ‡О¸М˚И ‡М‡ОЛБ, ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚ Л ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ ‰‚ЛКВМЛfl. А‚ЪУ ·УОВВ 50 М‡Ы˜М˚ı ТЪ‡ЪВИ.