Современные проблемы физики / PhysicalReviewpdf / Anishchenko-2

© ÄÌˢÂÌÍÓ Ç.ë., 1997

DYNAMIC SYSTEMS

V. S. ANISHCHENKO

The mathematical definition of a dynamic system is formulated. For the dynamic systems described by ordinary differential equations, four types of solution are illustrated: equilibrium state, stable periodic, quasiperiodic, and chaotic solutions. The definition of a strange attractor is introduced, the fundamental properties of periodic and chaotic solutions are discussed.

С‡МУ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУВ УФ В‰ВОВМЛВ ФУМflЪЛfl ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚. з‡ Ф ЛПВ В ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП, УФЛТ˚‚‡ВП˚ı У·˚НМУ‚ВММ˚ПЛ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ПЛ Ы ‡‚- МВМЛflПЛ, ЛОО˛ТЪ Л Ы- ˛ЪТfl ˜ВЪ˚ В ЪЛФ‡ В- ¯ВМЛИ: ТУТЪУflМЛВ ‡‚- МУ‚ВТЛfl, ЫТЪУИ˜Л‚УВ ФВ-ЛУ‰Л˜ВТНУВ В¯ВМЛВ, Н‚‡БЛФВ ЛУ‰Л˜ВТНУВ Л ı‡УЪЛ˜ВТНУВ В¯ВМЛfl. З‚У‰ЛЪТfl ФУМflЪЛВ ТЪ ‡М- МУ„У ‡ЪЪ ‡НЪУ ‡, У·ТЫК- ‰‡˛ЪТfl УТМУ‚М˚В Т‚УИТЪ‚‡ В„ЫОfl М˚ı Л ı‡У- ЪЛ˜ВТНЛı В¯ВМЛИ.

СазАеауЦлдаЦ лалнЦех

З. л. ДзафЦздй

л‡ ‡ЪУ‚ТНЛИ „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММ˚И ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ ЛП. з.Й. уВ М˚¯В‚ТНУ„У

ЗЗЦСЦзаЦ

й‰МУИ ЛБ ‚‡КМ˚ı М‡Ы˜М˚ı Ф У·ОВП ВТЪВТЪ‚УБМ‡- МЛfl fl‚ОflВЪТfl В¯ВМЛВ Б‡‰‡˜Л Ф В‰ТН‡Б‡МЛfl ФУ‚В‰В- МЛfl ЛБЫ˜‡ВПУ„У У·˙ВНЪ‡ ‚У ‚ ВПВМЛ Л Ф УТЪ ‡МТЪ‚В М‡ УТМУ‚В УФ В‰ВОВММ˚ı БМ‡МЛИ У В„У М‡˜‡О¸МУП ТУТЪУflМЛЛ. щЪ‡ Б‡‰‡˜‡ Т‚У‰ЛЪТfl Н М‡ıУК‰ВМЛ˛ МВНУЪУ У„У Б‡НУМ‡, НУЪУ ˚И ФУБ‚УОflВЪ ФУ ЛПВ˛˘ВИТfl ЛМЩУ П‡ˆЛЛ У· У·˙ВНЪВ ‚ М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ В- ПВМЛ t0 ‚ ÚÓ˜ÍÂ Ô ÓÒÚ ‡ÌÒÚ‚‡ x0 УФ В‰ВОЛЪ¸ В„У ·Ы‰Ы- ˘ВВ ‚ О˛·УИ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t > t0 . З Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ТЪВФВМЛ ТОУКМУТЪЛ Т‡ПУ„У У·˙ВНЪ‡ ˝ЪУЪ Б‡НУМ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ‰ВЪВ ПЛМЛ У‚‡ММ˚П ЛОЛ ‚В УflЪМУТЪ- М˚П, ПУКВЪ УФЛТ˚‚‡Ъ¸ ˝‚УО˛ˆЛ˛ У·˙ВНЪ‡ ЪУО¸НУ ‚У ‚ ВПВМЛ, ЪУО¸НУ ‚ Ф УТЪ ‡МТЪ‚В, ‡ ПУКВЪ УФЛТ˚‚‡Ъ¸ Ф УТЪ ‡МТЪ‚ВММУ-‚ ВПВММЫ˛ ˝‚УО˛ˆЛ˛.

и В‰ПВЪУП М‡¯В„У ‡М‡ОЛБ‡ ·Ы‰ЫЪ МВ У·˙ВНЪ˚ ‚У- У·˘В, ‡ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУП ФУМЛП‡МЛЛ ˝ЪУ„У ЪВ ПЛМ‡ [1].

СазДеауЦлдДь лалнЦеД а ЦЦ еДнЦеДнауЦлдДь ейСЦгъ

èÓ‰ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВПУИ ФУМЛП‡˛Ъ О˛·УИ У·˙ВНЪ ЛОЛ Ф УˆВТТ, ‰Оfl НУЪУ У„У У‰МУБМ‡˜МУ УФ В- ‰ВОВМУ ФУМflЪЛВ ТУТЪУflМЛfl Н‡Н ТУ‚УНЫФМУТЪЛ МВНУЪУ ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ ‚ ‰‡ММ˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ Л Б‡‰‡М Б‡НУМ, НУЪУ ˚И УФЛТ˚‚‡ВЪ ЛБПВМВМЛВ (˝‚УО˛ˆЛ˛) М‡˜‡О¸МУ„У ТУТЪУflМЛfl Т ЪВ˜ВМЛВП ‚ ВПВМЛ. щЪУЪ Б‡- НУМ ФУБ‚УОflВЪ ФУ М‡˜‡О¸МУПЫ ТУТЪУflМЛ˛ Ф Ó„ÌÓÁË-Ó‚‡Ú¸ ·Ы‰Ы˘ВВ ТУТЪУflМЛВ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚, В„У М‡Б˚‚‡˛Ъ Б‡НУМУП ˝‚УО˛ˆЛЛ. СЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚ – ˝ЪУ ПВı‡МЛ˜ВТНЛВ, ЩЛБЛ˜ВТНЛВ, ıЛПЛ˜В- ТНЛВ Л ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛВ У·˙ВНЪ˚, ‚˚˜ЛТОЛЪВО¸М˚В Ф УˆВТТ˚ Л Ф УˆВТТ˚ Ф ВУ· ‡БУ‚‡МЛfl ЛМЩУ П‡- ˆЛЛ, ТУ‚В ¯‡ВП˚В ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т НУМН ВЪМ˚ПЛ ‡О„У ЛЪП‡ПЛ. йФЛТ‡МЛfl ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП ‰Оfl Б‡‰‡МЛfl Б‡НУМ‡ ˝‚УО˛ˆЛЛ Ъ‡НКВ ‡БМУУ· ‡БМ˚: Т ФУПУ˘¸˛ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ, ‰ЛТН ВЪ- М˚ı УЪУ· ‡КВМЛИ, ЪВУ ЛЛ „ ‡ЩУ‚, ЪВУ ЛЛ П‡ НУ‚- ТНЛı ˆВФВИ Л Ъ.‰. З˚·У У‰МУ„У ЛБ ТФУТУ·У‚ УФЛТ‡- МЛfl Б‡‰‡ВЪ НУМН ВЪМ˚И ‚Л‰ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ПУ‰ВОЛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ВИ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ [2].

е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТН‡fl ПУ‰ВО¸ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ Т˜ЛЪ‡ВЪТfl Б‡‰‡ММУИ, ВТОЛ ‚‚В‰ВМ˚ Ф‡ ‡ПВЪ ˚ (НУ- У ‰ЛМ‡Ъ˚) ТЛТЪВП˚, УФ В‰ВОfl˛˘ЛВ У‰МУБМ‡˜МУ ВВ ТУТЪУflМЛВ, Л ЫН‡Б‡М Б‡НУМ ˝‚УО˛ˆЛЛ. З Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ТЪВФВМЛ Ф Л·ОЛКВМЛfl У‰МУИ Л ЪУИ КВ ТЛТЪВПВ ПУ„ЫЪ ·˚Ъ¸ ФУТЪ‡‚ОВМ˚ ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛВ ‡БОЛ˜М˚В П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУ‰ВОЛ.

аТТОВ‰У‚‡МЛВ В‡О¸М˚ı ТЛТЪВП Т‚У‰ЛЪТfl Н ЛБЫ- ˜ВМЛ˛ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı ПУ‰ВОВИ, ТУ‚В ¯ВМТЪ‚У‚‡- МЛВ Л ‡Б‚ЛЪЛВ НУЪУ ˚ı УФ В‰ВОfl˛ЪТfl ‡М‡ОЛБУП ˝НТФВ ЛПВМЪ‡О¸М˚ı Л ЪВУ ВЪЛ˜ВТНЛı ВБЫО¸Ъ‡ЪУ‚ Ф Л Лı ТУФУТЪ‡‚ОВМЛЛ. З Т‚flБЛ Т ˝ЪЛП ФУ‰ ‰ЛМ‡ПЛ- ˜ВТНУИ ТЛТЪВПУИ П˚ ·Ы‰ВП ФУМЛП‡Ъ¸ ЛПВММУ ВВ П‡- ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЫ˛ ПУ‰ВО¸. аТТОВ‰Ыfl У‰МЫ Л ЪЫ КВ ‰ЛМ‡- ПЛ˜ВТНЫ˛ ТЛТЪВПЫ (Н Ф ЛПВ Ы, ‰‚ЛКВМЛВ П‡flЪМЛН‡), ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ТЪВФВМЛ Ы˜ВЪ‡ ‡БОЛ˜М˚ı Щ‡НЪУ-У‚ П˚ ФУОЫ˜ЛП ‡БОЛ˜М˚В П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУ‰В- ОЛ. З Н‡˜ВТЪ‚В Ф ЛПВ ‡ ‡ТТПУЪ ЛП ПУ‰ВО¸ МВОЛМВИМУ„У НУМТВ ‚‡ЪЛ‚МУ„У УТˆЛООflЪУ ‡:

д‡Н ЛБ‚ВТЪМУ, ЩЫМНˆЛfl sinx ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl, Л ВВ‡БОУКВМЛВ ‚ fl‰ нВИОУ ‡ ‚˚„Оfl‰ЛЪ Ъ‡Н:

è Ë Ï‡Î˚ı x ! 1 sinx . x. л Ы‚ВОЛ˜ВМЛВП x Ъ В·ЫВЪТfl Ы˜ВЪ ‚ЪУ У„У, Ъ ВЪ¸В„У Л Ъ.‰. ˜ОВМУ‚ fl‰‡, ˜ЪУ·˚ Т Б‡‰‡ММУИ ЪУ˜МУТЪ¸˛ ‡ФФ УНТЛПЛ У‚‡Ъ¸ sinx. èÓ˝ÚÓÏÛ ‚ ÒÎÛ˜‡Â x ! 1 Ï˚ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ Ò‡ÏÛ˛ Ô ÓÒÚÛ˛ ÏÓ‰Âθ χÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó Ï‡flÚÌË͇:

лОВ‰Ы˛˘ЛП Ф Л·ОЛКВМЛВП ·Ы‰ВЪ ПУ‰ВО¸ МВОЛМВИМУ„У П‡flЪМЛН‡:

Ë Ú.‰. ÑÎfl Í‡Ê‰Ó„Ó ÍÓÌÍ ÂÚÌÓ„Ó Á̇˜ÂÌËfl n ·Ы‰ВП ФУОЫ˜‡Ъ¸ МУ‚Ы˛ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЫ˛ ТЛТЪВПЫ, ‚ Б‡‰‡ММУП Ф Л·ОЛКВМЛЛ УФЛТ˚‚‡˛˘Ы˛ Ф УˆВТТ НУОВ·‡МЛИ ЩЛБЛ˜ВТНУ„У П‡flЪМЛН‡.

дазЦеДнауЦлдДь азнЦкикЦнДсаь лалнЦех СаооЦкЦзсаДгъзхп мкДЗзЦзав

к‡ТТПУЪ ЛП ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚, ПУ‰ВОЛ ЫВ- П˚В НУМВ˜М˚П ˜ЛТОУП У·˚НМУ‚ВММ˚ı ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ. и ЛПВМЛЪВО¸МУ Н Ъ‡НЛП ТЛТЪВП‡П ТУı ‡МЛОЛТ¸ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛfl Л ЪВ ПЛМУОУ„Лfl, ФВ ‚УМ‡˜‡О¸МУ ‚УБМЛН¯ЛВ ‚ ПВı‡МЛНВ. З ‡ТТП‡Ъ-Л‚‡ВПУП ТОЫ˜‡В ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ МВУ·ıУ‰ЛПУ ЫН‡Б‡Ъ¸ У·˙ВНЪ, ‰УФЫТН‡˛˘ЛИ УФЛТ‡МЛВ ТУТЪУflМЛfl Б‡‰‡МЛВП ‚ВОЛ˜ЛМ x1 , x2 , …, xN ‚ МВНУЪУ ˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t = t0 . ÇÂ΢ËÌ˚ xi ÏÓ- „ÛÚ Ô ËÌËχڸ Ô ÓËÁ‚ÓθÌ˚ Á̇˜ÂÌËfl, Ô Ë˜ÂÏ ‰‚ÛÏ ‡Á΢Ì˚Ï Ì‡·Ó ‡Ï ‚Â΢ËÌ xi Ë x'i УЪ‚В˜‡˛Ъ ‰‚‡ ‡БМ˚ı ТУТЪУflМЛfl. б‡НУМ ˝‚УО˛ˆЛЛ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТ-

НУИ ТЛТЪВП˚ ‚У ‚ ВПВМЛ Б‡ФЛТ˚‚‡ВЪТfl ТЛТЪВПУИ У·˚НМУ‚ВММ˚ı ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ [1, 2]

ÖÒÎË ‡ÒÒÏ‡Ú Ë‚‡Ú¸ ‚Â΢ËÌ˚ x1 , x2 , …, xN Í‡Í ÍÓÓ ‰Ë̇Ú˚ ÚÓ˜ÍË x ‚ N-ПВ МУП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В, ЪУ ФУОЫ˜‡ВЪТfl М‡„Оfl‰МУВ „ВУПВЪ Л˜ВТНУВ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛВ ТУТЪУflМЛfl ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ ‚ ‚Л‰В ˝ЪУИ ЪУ˜НЛ, НУЪУ Ы˛ М‡Б˚‚‡˛Ъ ËÁÓ· ‡Ê‡˛˘ÂÈ, ‡ ˜‡˘Â Ù‡ÁÓ‚ÓÈ ÚÓ˜ÍÓÈ, ‡ Ф УТЪ ‡МТЪ‚У ТУТЪУflМЛИ – Ù‡ÁÓ- ‚˚Ï Ô ÓÒÚ ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚. аБПВМВМЛ˛ ТУТЪУflМЛfl ТЛТЪВП˚ ‚У ‚ ВПВМЛ УЪ‚В˜‡ВЪ ‰‚Л- КВМЛВ Щ‡БУ‚УИ ЪУ˜НЛ ‚‰УО¸ МВНУЪУ УИ ОЛМЛЛ, М‡Б˚‚‡ВПУИ Ù‡ÁÓ‚ÓÈ Ú ‡ÂÍÚÓ ËÂÈ. З Щ‡БУ‚УП Ф У- ТЪ ‡МТЪ‚В ТЛТЪВП˚ Ы ‡‚МВМЛflПЛ (5) УФ В‰ВОflВЪТfl ‚ВНЪУ МУВ ФУОВ ТНУ УТЪВИ, ТУФУТЪ‡‚Оfl˛˘ВВ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ x ‚˚ıÓ‰fl˘ËÈ ËÁ Ì ‚ÂÍÚÓ ÒÍÓ ÓÒÚË F(x), НУПФУМВМЪ˚ НУЪУ У„У ‰‡˛ЪТfl Ф ‡‚˚ПЛ ˜‡ТЪflПЛ Ы ‡‚МВМЛИ (5):

[f1(x1, x2, …, xN), f2(x1, x2, …, xN), …, fN(x1, x2 , …, xN)].(6)

СЛМ‡ПЛ˜ВТН‡fl ТЛТЪВП‡ (5) ПУКВЪ ·˚Ъ¸ Б‡ФЛТ‡М‡ ‚ ‚ВНЪУ МУИ ЩУ ПВ:

„‰Â F(x) – ‚ВНЪУ -ЩЫМНˆЛfl ‡БПВ МУТЪЛ N.

зВУ·ıУ‰ЛПУ ЫЪУ˜МЛЪ¸ ‚Б‡ЛПУТ‚flБ¸ ФУМflЪЛИ ˜ЛТ- О‡ ТЪВФВМВИ Т‚У·У‰˚ Л ‡БПВ МУТЪЛ Щ‡БУ‚У„У Ф УТЪ-‡МТЪ‚‡ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚. иУ‰ ˜ЛТОУП ТЪВФВМВИ Т‚У·У‰˚ ФУМЛП‡ВЪТfl М‡ЛПВМ¸¯ВВ ˜ЛТОУ МВБ‡‚ЛТЛП˚ı НУУ ‰ЛМ‡Ъ, МВУ·ıУ‰ЛП˚ı ‰Оfl У‰МУБМ‡˜МУ„У УФ В‰В- ОВМЛfl ТУТЪУflМЛfl ТЛТЪВП˚. иУ‰ НУУ ‰ЛМ‡Ъ‡ПЛ ФВ - ‚УМ‡˜‡О¸МУ ФУМЛП‡ОЛТ¸ ЛПВММУ Ф УТЪ ‡МТЪ‚ВММ˚В ФВ ВПВММ˚В, ı‡ ‡НЪВ ЛБЫ˛˘ЛВ ‚Б‡ЛПМУВ ‡ТФУОУКВМЛВ ЪВО Л У·˙ВНЪУ‚. З ЪУ КВ ‚ ВПfl ‰Оfl У‰МУБМ‡˜МУ- „У В¯ВМЛfl ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Лı Ы ‡‚МВМЛИ ‰‚ЛКВМЛfl МВУ·ıУ‰ЛПУ ФУПЛПУ НУУ ‰ЛМ‡Ъ Б‡‰‡Ъ¸ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛- ˘ЛВ М‡˜‡О¸М˚В БМ‡˜ВМЛfl ЛПФЫО¸ТУ‚ ЛОЛ ТНУ УТЪВИ. З Т‚flБЛ Т ˝ЪЛП ТЛТЪВП‡ Т n ТЪВФВМflПЛ Т‚У·У‰˚ ı‡-‡НЪВ ЛБЫВЪТfl Щ‡БУ‚˚П Ф УТЪ ‡МТЪ‚УП ‚ ‰‚‡ ‡Б‡ ·УО¸¯ВИ ‡БПВ МУТЪЛ (N = 2n).

дгДллаоадДсаь СазДеауЦлдап лалнЦе

ЦТОЛ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТН‡fl ТЛТЪВП‡ Б‡‰‡М‡ Ы ‡‚МВМЛВП (7), ЪУ ФУТЪЫОЛ ЫВЪТfl, ˜ЪУ Н‡К‰УПЫ x(t0) ‚ Щ‡БУ‚УП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В ТЪ‡‚ЛЪТfl ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛВ ТУТЪУflМЛВ x(t), t > t0 , ÍÛ‰‡ Á‡ ‚ ÂÏfl t − t0 ФВ ВПВТЪЛЪТfl Щ‡БУ‚‡fl ЪУ˜Н‡, ‰‚ЛКЫ˘‡flТfl ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т Ы ‡‚МВМЛВП (7). З УФВ ‡ЪУ МУИ ЩУ ПВ (7) ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸ ‚ ‚Л‰В [2]

„‰Â Tt – Б‡НУМ (УФВ ‡ЪУ ) ˝‚УО˛ˆЛЛ. ЦТОЛ ˝ЪУЪ УФВ-‡ЪУ Ф ЛПВМЛЪ¸ Н М‡˜‡О¸МУПЫ ТУТЪУflМЛ˛ x(t0), ÚÓ Ï˚ ÔÓÎÛ˜ËÏ x(t), ЪУ ВТЪ¸ ТУТЪУflМЛВ ‚ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t > t0 . í‡Í Í‡Í x(t0) Ë x(t) Ô Ë̇‰ÎÂÊ‡Ú Ó‰ÌÓÏÛ Ë

ЪУПЫ КВ Щ‡БУ‚УПЫ Ф УТЪ ‡МТЪ‚Ы ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚, ЪУ П‡ЪВП‡ЪЛНЛ „У‚У flЪ ‚ ‰‡ММУИ ТЛЪЫ‡ˆЛЛ: УФВ ‡ЪУ Tt УЪУ· ‡К‡ВЪ Щ‡БУ‚УВ Ф УТЪ ‡МТЪ‚У ТЛТЪВП˚ М‡ ТВ·fl. З ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т ˝ЪЛП ПУКМУ М‡Б˚- ‚‡Ъ¸ УФВ ‡ЪУ Tt УФВ ‡ЪУ УП УЪУ· ‡КВМЛfl ЛОЛ Ф У- ТЪУ УЪУ· ‡КВМЛВП.

СЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚ ПУКМУ НО‡ТТЛЩЛˆЛ У- ‚‡Ъ¸ ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ‚Л‰‡ УФВ ‡ЪУ ‡ УЪУ· ‡КВМЛfl Л ТЪ ЫНЪЫ ˚ Щ‡БУ‚У„У Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡. ЦТОЛ УФВ ‡ЪУ Ф В‰ЫТП‡Ъ Л‚‡ВЪ ЛТНО˛˜ЛЪВО¸МУ ОЛМВИМ˚В Ф ВУ·-‡БУ‚‡МЛfl М‡˜‡О¸МУ„У ТУТЪУflМЛfl, ЪУ УМ М‡Б˚‚‡ВЪТfl ОЛМВИМ˚П. гЛМВИМ˚И УФВ ‡ЪУ У·О‡‰‡ВЪ Т‚УИТЪ‚УП ТЫФВ ФУБЛˆЛЛ: T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t). ЦТОЛ УФВ ‡ЪУ МВОЛМВИМ˚И, ЪУ Л ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘‡fl ‰ЛМ‡- ПЛ˜ВТН‡fl ТЛТЪВП‡ М‡Б˚‚‡ВЪТfl МВОЛМВИМУИ. ê‡Á΢‡- ˛Ú ÌÂÔ Â ˚‚Ì˚Â Ë ‰ËÒÍ ÂÚÌ˚ ÓÔ ‡ÚÓ ˚ Ë ÒÓÓÚ- ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ТЛТЪВП˚ Т МВФ В ˚‚М˚П Л ‰ЛТН ВЪМ˚П ‚ ВПВМВП. лЛТЪВП˚, ‰Оfl НУЪУ ˚ı УЪУ· ‡КВМЛВ x(t) Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ÓÔ ‡ÚÓ ‡ T ПУКВЪ ·˚Ъ¸ УФ В‰ВОВМУ ‰Оfl О˛·˚ı t > t0 (МВФ В ˚‚МУ ‚У ‚ ВПВМЛ), М‡Б˚‚‡˛Ъ Ъ‡НКВ ФУЪУН‡ПЛ ФУ ‡М‡ОУ„ЛЛ ТУ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚П ЪВ- ˜ВМЛВП КЛ‰НУТЪЛ. ЦТОЛ УФВ ‡ЪУ УЪУ· ‡КВМЛfl УФ-В‰ВОВМ М‡ ‰ЛТН ВЪМУП ПМУКВТЪ‚В БМ‡˜ВМЛИ ‚ ВПВМЛ, ЪУ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛВ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚ М‡Б˚‚‡˛Ъ ͇Ò͇‰‡ÏË ЛОЛ ТЛТЪВП‡ПЛ Т ‰ЛТН ВЪМ˚П ‚ ВПВМВП.

лФУТУ·˚ Б‡‰‡МЛfl УФВ ‡ЪУ ‡ УЪУ· ‡КВМЛfl T Ú‡Í- Ê ÏÓ„ÛÚ ‡Á΢‡Ú¸Òfl. éÔ ‡ÚÓ T ПУКМУ Б‡‰‡Ъ¸ ‚ ‚Л‰В ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУ„У ЛОЛ ЛМЪВ„ ‡О¸МУ„У Ф В- У· ‡БУ‚‡МЛfl, ‚ ‚Л‰В П‡Ъ Лˆ˚ ЛОЛ Ъ‡·ОЛˆ˚, ‚ ‚Л‰В „ ‡ЩЛН‡ ЛОЛ ЩЫМНˆЛЛ Л Ъ.‰.

дйгЦЕДнЦгъзхЦ лалнЦех а ап лЗйвлнЗД

З‡КМЫ˛ „ ЫФФЫ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП Ф В‰ТЪ‡‚- Оfl˛Ъ ТЛТЪВП˚, ‚ НУЪУ ˚ı ‚УБПУКМ˚ НУОВ·‡МЛfl. дУОВ·‡ЪВО¸М˚В ТЛТЪВП˚ Т ЪУ˜НЛ Б ВМЛfl Лı П‡ЪВП‡ЪЛ˜В- ТНЛı ПУ‰ВОВИ ‡Б‰ВОfl˛Ъ М‡ УФ В‰ВОВММ˚В НО‡ТТ˚. к‡БОЛ˜‡˛Ъ ОЛМВИМ˚В Л МВОЛМВИМ˚В НУОВ·‡ЪВО¸М˚В ТЛТЪВП˚, ТУТ В‰УЪУ˜ВММ˚В Л ‡ТФ В‰ВОВММ˚В, НУМТВ ‚‡ЪЛ‚М˚В Л ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚В, ‡‚ЪУМУПМ˚В Л МВ- ‡‚ЪУМУПМ˚В. йТУ·˚И НО‡ТТ Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛Ъ Ъ‡Н М‡- Б˚‚‡ВП˚В ‡‚ЪУНУОВ·‡ЪВО¸М˚В ТЛТЪВП˚. йТМУ‚М˚В Т‚УИТЪ‚‡ ЫН‡Б‡ММ˚ı ТЛТЪВП ФУ‰ У·МУ У·ТЫК‰‡˛ЪТfl ‚ ‡·УЪ‡ı ФУ ЪВУ ЛЛ НУОВ·‡МЛИ.

дУОВ·‡ЪВО¸М‡fl ТЛТЪВП‡ М‡Б˚‚‡ВЪТfl ОЛМВИМУИ ËÎË МВОЛМВИМУИ ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ЪУ„У, ОЛМВИМ‡ ЛОЛ МВОЛМВИМ‡ УФЛТ˚‚‡˛˘‡fl ВВ ТЛТЪВП‡ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ. гЛМВИМ˚В ТЛТЪВП˚ fl‚Оfl˛ЪТfl ˜‡ТЪМ˚П ТОЫ˜‡ВП МВОЛМВИМ˚ı. й‰М‡НУ ‚ ТЛОЫ Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸- МУИ ‚‡КМУТЪЛ ОЛМВИМ˚ı ТЛТЪВП Ф Л ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ ‚УФ УТУ‚ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ НУОВ·‡МЛИ, ‡ Ъ‡НКВ ‚УБПУКМУТЪЛ ЛТФУО¸БУ‚‡МЛfl Ф ЛМˆЛФ‡ ТЫФВ ФУБЛˆЛЛ В- ¯ВМЛИ Ъ‡Н‡fl НО‡ТТЛЩЛН‡ˆЛfl УФ ‡‚‰‡ММ‡.

СЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚, ПУ‰ВОЛ ЫВП˚В НУМВ˜- М˚П ˜ЛТОУП У·˚НМУ‚ВММ˚ı ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ, М‡Б˚‚‡˛Ъ ÒÓÒ Â‰ÓÚÓ˜ÂÌÌ˚ÏË ËÎË ÚӘ˜- Ì˚ÏË ТЛТЪВП‡ПЛ. йМЛ УФЛТ˚‚‡˛ЪТfl Т ФУПУ˘¸˛ НУ-

МВ˜МУПВ МУ„У Щ‡БУ‚У„У Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ Л ı‡ ‡НЪВ Л- БЫ˛ЪТfl НУМВ˜М˚П ˜ЛТОУП ТЪВФВМВИ Т‚У·У‰˚. й‰М‡ Л Ъ‡ КВ ТЛТЪВП‡ ‚ ‡БОЛ˜М˚ı ЫТОУ‚Лflı ПУКВЪ ‡ТТП‡Ъ-Л‚‡Ъ¸Тfl ОЛ·У Н‡Н ТУТ В‰УЪУ˜ВММ‡fl, ОЛ·У Н‡Н ‡Т- Ф В‰ВОВММ‡fl. е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУ‰ВОЛ ‡ÒÔ Â‰ÂÎÂÌ- Ì˚ı ТЛТЪВП – ˝ЪУ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚В Ы ‡‚МВМЛfl ‚ ˜‡ТЪМ˚ı Ф УЛБ‚У‰М˚ı, ЛМЪВ„ ‡О¸М˚В Ы ‡‚МВМЛfl ЛОЛ У·˚НМУ‚ВММ˚В Ы ‡‚МВМЛfl Т Б‡Ф‡Б‰˚‚‡˛˘ЛП

‡ „ЫПВМЪУП. уЛТОУ ТЪВФВМВИ Т‚У·У‰˚ ‡ТФ В‰ВОВММУИ ТЛТЪВП˚ ·ВТНУМВ˜МУ, Л Ъ В·ЫВЪТfl ·ВТНУМВ˜МУВ ˜ЛТОУ ‰‡ММ˚ı ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl ВВ ТУТЪУflМЛfl.

иУ ˝МВ „ВЪЛ˜ВТНУПЫ Ф ЛБМ‡НЫ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚ ‰ВОflЪТfl М‡ НУМТВ ‚‡ЪЛ‚М˚В Л МВНУМТВ ‚‡- ЪЛ‚М˚В. дУМТВ ‚‡ЪЛ‚М˚В ТЛТЪВП˚ ı‡ ‡НЪВ ЛБЫ˛ЪТfl МВЛБПВММ˚П ‚У ‚ ВПВМЛ Б‡Ф‡ТУП ˝МВ „ЛЛ. З ПВı‡- МЛНВ Лı М‡Б˚‚‡˛Ъ „‡ÏËθÚÓÌÓ‚˚ÏË. СОfl НУМТВ ‚‡- ЪЛ‚М˚ı ТЛТЪВП Т n ТЪВФВМflПЛ Т‚У·У‰˚ УФ В‰ВОflВЪТfl „‡ÏËθÚÓÌË‡Ì ТЛТЪВП˚ H(p, q), „‰Â qi – Ó·Ó·˘ÂÌÌ˚ ÍÓÓ ‰Ë̇Ú˚, pi – У·У·˘ВММ˚В ЛПФЫО¸Т˚ ТЛТЪВП˚, i = 1, 2, …, n. Й‡ПЛО¸ЪУМЛ‡М ФУОМУТЪ¸˛ ı‡ ‡НЪВ ЛБЫВЪ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЫ˛ Ф Л У‰Ы ТЛТЪВП˚ Л Т ЩЛБЛ˜ВТНУИ ЪУ˜НЛ Б ВМЛfl ‚ ·УО¸¯ЛМТЪ‚В ТОЫ˜‡В‚ Ф В‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ ВВ ФУОМЫ˛ ˝МВ „Л˛. щ‚УО˛ˆЛfl ‚У ‚ ВПВМЛ НУМТВ ‚‡ЪЛ‚М˚ı ТЛТЪВП УФЛТ˚‚‡ВЪТfl Ы ‡‚МВМЛflПЛ ПВı‡МЛНЛ Й‡ПЛО¸ЪУМ‡

СЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚ Т ЛБПВМfl˛˘ЛПТfl ‚У ‚ ВПВМЛ Б‡Ф‡ТУП ˝МВ „ЛЛ М‡Б˚‚‡˛ЪТfl МВНУМТВ ‚‡- ЪЛ‚М˚ПЛ. лЛТЪВП˚, ‚ НУЪУ ˚ı ˝МВ „Лfl ЫПВМ¸¯‡ВЪТfl ‚У ‚ ВПВМЛ ЛБ-Б‡ Ъ ВМЛfl ЛОЛ ‡ТТВflМЛfl, М‡Б˚‚‡˛Ъ- Тfl ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚ПЛ. З ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т ˝ЪЛП ТЛТЪВП˚, ˝МВ „Лfl НУЪУ ˚ı ‚У ‚ ВПВМЛ М‡ ‡ТЪ‡ВЪ, М‡Б˚‚‡˛ЪТfl ТЛТЪВП‡ПЛ Т УЪ Лˆ‡ЪВО¸М˚П Ъ ВМЛВП ЛОЛ УЪ Лˆ‡- ЪВО¸МУИ ‰ЛТТЛФ‡ˆЛВИ. н‡НЛВ ТЛТЪВП˚ ПУКМУ ‡Т- ТП‡Ъ Л‚‡Ъ¸ Н‡Н ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚В Ф Л ТПВМВ М‡Ф ‡‚- ОВМЛfl УЪТ˜ВЪ‡ ‚ ВПВМЛ М‡ Ф УЪЛ‚УФУОУКМУВ.

СЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚ М‡Б˚‚‡˛ЪТfl ‡‚ЪУМУПМ˚- ПЛ, ВТОЛ УМЛ МВ ФУ‰‚В КВМ˚ ‰ВИТЪ‚Л˛ ‚МВ¯МЛı ТЛО, ФВ ВПВММ˚ı ‚У ‚ ВПВМЛ. м ‡‚МВМЛfl ‡‚ЪУМУП- М˚ı ТЛТЪВП fl‚МУИ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ‚ ВПВМЛ МВ ТУ- ‰В К‡Ъ. ЕУО¸¯ЛМТЪ‚У В‡О¸М˚ı НУОВ·‡ЪВО¸М˚ı ТЛТЪВП ‚ ЩЛБЛНВ, ‡‰ЛУЩЛБЛНВ, ·ЛУОУ„ЛЛ, ıЛПЛЛ Л ‰ Ы„Лı У·О‡ТЪflı БМ‡МЛИ МВНУМТВ ‚‡ЪЛ‚М˚. л В‰Л МЛı ‚˚‰ВОflВЪТfl УТУ·˚И НО‡ТТ ‡‚ЪУНУОВ·‡ЪВО¸М˚ı ТЛТЪВП, НУЪУ ˚В Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸МУ МВНУМТВ ‚‡ЪЛ‚М˚ Л МВОЛМВИМ˚. А‚ЪУНУОВ·‡ЪВО¸МУИ М‡Б˚‚‡˛Ъ ‰ЛМ‡- ПЛ˜ВТНЫ˛ ТЛТЪВПЫ, Ф ВУ· ‡БЫ˛˘Ы˛ ˝МВ „Л˛ ЛТЪУ˜- МЛН‡ ‚ ˝МВ „Л˛ МВБ‡ЪЫı‡˛˘Лı НУОВ·‡МЛИ, Ф Л˜ВП УТМУ‚М˚В ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ НУОВ·‡МЛИ (‡ПФОЛЪЫ‰‡, ˜‡ТЪУЪ‡, ЩУ П‡ НУОВ·‡МЛИ Л Ъ.‰.) УФ В‰ВОfl˛ЪТfl Ф‡-‡ПВЪ ‡ПЛ ТЛТЪВП˚ Л ‚ УФ В‰ВОВММ˚ı Ф В‰ВО‡ı МВ Б‡‚ЛТflЪ УЪ ‚˚·У ‡ ЛТıУ‰МУ„У М‡˜‡О¸МУ„У ТУТЪУflМЛfl.

êËÒ. 1. ‡ – НУОВ·‡ЪВО¸М˚И НУМЪЫ , ПУ‰ВОЛ ЫВП˚И Ы ‡‚МВМЛflПЛ (16); · – Ù‡ÁÓ‚˚È ÔÓ Ú ÂÚ ÍÓη‡- ÌËÈ Ô Ë Á‡‰‡ÌÌÓÏ Û Ó‚Ì ˝Ì „ËË

З·ОЛБЛ ˆВМЪ У‚ Щ‡БУ‚˚И ФУ Ъ ВЪ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ ОЛМВИМУПЫ УТˆЛООflЪУ Ы: Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛Ъ ТУ·УИ Б‡ПНМЫЪ˚В Н Л‚˚В, ·ОЛБНЛВ Н УН ЫКМУТЪflП,

êËÒ. 2. î‡ÁÓ‚˚È ÔÓ Ú ÂÚ ÓÒˆËÎÎflÚÓ ‡ (20)

˜ЪУ УЪ‚В˜‡ВЪ ФУ ‡ПФОЛЪЫ‰В НУОВ·‡МЛflП, ·ОЛБНЛП Н „‡ ПУМЛ˜ВТНЛП. уВ ВБ МВЫТЪУИ˜Л‚˚В ЪУ˜НЛ Ф УıУ- ‰flЪ УТУ·˚В ЛМЪВ„ ‡О¸М˚В Н Л‚˚В Γ0 , ̇Á˚‚‡ÂÏ˚ ÒÂÔ‡ ‡Ú ËÒ‡ÏË. йМЛ ‡Б‰ВОfl˛Ъ Щ‡БУ‚УВ Ф УТЪ ‡МТЪ- ‚У М‡ У·О‡ТЪЛ Т ‡БОЛ˜М˚П ФУ‚В‰ВМЛВП. л Ы‚ВОЛ˜ВМЛВП ˝МВ „ЛЛ П‡flЪМЛН‡ В„У НУОВ·‡МЛfl УЪ Н‚‡БЛ„‡ ПУМЛ˜ВТНЛı ‚·ОЛБЛ ЪУ˜ВН ЪЛФ‡ ˆВМЪ ˝‚УО˛ˆЛУМЛ Ы˛Ъ Н МВОЛМВИМ˚П ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛП НУОВ·‡МЛflП ‚·ОЛБЛ ТВФ‡ ‡Ъ ЛТ. С‡О¸МВИ¯ВВ Ы‚ВОЛ˜ВМЛВ ˝МВ „ЛЛ Ф Л- ‚В‰ВЪ Н ‚ ‡˘‡ЪВО¸МУПЫ ‰‚ЛКВМЛ˛ (‰‚ЛКВМЛВ ‚МВ ТВФ‡ ‡Ъ ЛТ). е‡ОВИ¯ЛВ УЪНОУМВМЛfl ˝МВ „ЛЛ ‚ ЪЫ ЛОЛ ЛМЫ˛ ТЪУ УМЫ УЪ ˝МВ „ЛЛ ‰‚ЛКВМЛfl ФУ ТВФ‡ ‡Ъ-ЛТВ Ф Л‚У‰flЪ Н Н‡˜ВТЪ‚ВММУ ‡БОЛ˜М˚П ЪЛФ‡П ‰‚Л- КВМЛfl: НУОВ·‡ЪВО¸МУПЫ ЛОЛ ‚ ‡˘‡ЪВО¸МУПЫ.

гЛМВИМ˚И УТˆЛООflЪУ Т Б‡ЪЫı‡МЛВП. СЛТТЛФ‡ˆЛfl ˝МВ „ЛЛ, У·ЫТОУ‚ОВММ‡fl М‡ОЛ˜ЛВП ФУЪВ ¸, УН‡Б˚‚‡- ВЪ Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸МУВ ‚ОЛflМЛВ М‡ ı‡ ‡НЪВ ‰‚ЛКВМЛfl ТЛТЪВП˚. з‡Л·УОВВ Ф УТЪ˚В Б‡НУМУПВ МУТЪЛ Ф У- fl‚Оfl˛ЪТfl ‚ ТЛТЪВП‡ı Т ФУОМУИ ‰ЛТТЛФ‡ˆЛВИ ˝МВ - „ЛЛ, НУ„‰‡ ТЛО˚ Ъ ВМЛfl ‰ВИТЪ‚Ы˛Ъ ФУ ‚ТВП ТЪВФВМflП Т‚У·У‰˚, ‡ ФУТЪЫФОВМЛВ ˝МВ „ЛЛ ЛБ‚МВ УЪТЫЪТЪ‚ЫВЪ. к‡ТТПУЪ ЛП Ф УˆВТТ˚ ‚ ОЛМВИМУП ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚МУП УТˆЛООflЪУ В, НУ„‰‡ ТЛО‡ Ъ ВМЛfl Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸М‡ ТНУ УТЪЛ ЛБПВМВМЛfl НУУ ‰ЛМ‡Ъ˚. и ЛПВ УП Ъ‡НУИ ТЛТЪВП˚ ТОЫКЛЪ НУОВ·‡ЪВО¸М˚И НУМЪЫ , ТУ‰В К‡- ˘ЛИ ‡НЪЛ‚МУВ ТУФ УЪЛ‚ОВМЛВ R. м ‡‚МВМЛВ НУМЪЫ ‡

Б‡ПВМУИ ФВ ВПВММ˚ı Т‚У‰ЛЪТfl Н ·ВБ ‡БПВ МУИ ЩУ ПВ

и Л δ = 0 ЛПВВП НУМТВ ‚‡ЪЛ‚М˚И ОЛМВИМ˚И УТˆЛООflЪУ , ‡ТТПУЪ ВММ˚И ‚˚¯В. З‚В‰ВМЛВ П‡ОУ„У Ъ ВМЛfl Н‡˜ВТЪ‚ВММУ ПВМflВЪ Щ‡БУ‚˚И ФУ Ъ ВЪ ТЛТЪВ- П˚. СОfl 0 < δ < 1 В¯ВМЛВП Ы ‡‚МВМЛfl (20) fl‚ОflВЪТfl

x = Aexp(−δτ)cos(ωτ + ψ), ω = (1 − δ2)1/2, (21)

„‰Â A Л ψ – Ф УЛБ‚УО¸М˚В ФУТЪУflММ˚В, УФ В‰ВОflВ- П˚В М‡˜‡О¸М˚ПЛ ЫТОУ‚ЛflПЛ. з‡ Щ‡БУ‚УИ ФОУТНУТЪЛ ‰Оfl О˛·˚ı М‡˜‡О¸М˚ı ‰‡ММ˚ı ЛПВ˛Ъ ПВТЪУ ТН Ы˜Л- ‚‡˛˘ЛВТfl ТФЛ ‡ОЛ, ФУ НУЪУ ˚П Щ‡БУ‚˚В ЪУ˜НЛ ‡ТЛПФЪУЪЛ˜ВТНЛ Ф Л·ОЛК‡˛ЪТfl Н М‡˜‡ОЫ НУУ ‰Л- М‡Ъ, ı‡ ‡НЪВ ЛБЫfl Б‡ЪЫı‡˛˘ЛИ НУОВ·‡ЪВО¸М˚И Ф У- ˆВТТ. зЫО¸ НУУ ‰ЛМ‡Ъ fl‚ОflВЪТfl УТУ·УИ ЪУ˜НУИ ТЛТЪВП˚, НУЪУ ‡fl ‚ ТОЫ˜‡В δ < 1 ВТЪ¸ ЫТЪУИ˜Л‚˚И ЩУНЫТ ( ËÒ. 3, ‡). ЦТОЛ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ Ъ ВМЛfl δ > 1, Ф УˆВТТ ‚ ТЛТЪВПВ ‡ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛИ:

Л Щ‡БУ‚˚В Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ ‚˚„Оfl‰flЪ Н‡Н ТВПВИТЪ‚У ı‡-‡НЪВ М˚ı Н Л‚˚ı, ФУ НУЪУ ˚П, Н‡Н Л ‚ Ф В‰˚‰Ы- ˘ВП ТОЫ˜‡В, ЛБУ· ‡К‡˛˘ЛВ ЪУ˜НЛ ТЪ ВПflЪТfl Н МЫО˛

êËÒ. 3. о‡БУ‚˚И ФУ Ъ ВЪ ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚МУ„У УТˆЛООflЪУ ‡ (23) Т Ф‡ ‡ПВЪ УП δ < 1 (‡) Ë δ > 1 (·)

ÍÓÓ ‰ËÌ‡Ú ( ËÒ. 3, ·). éÒÓ·‡fl ÚӘ͇ ‚ Û͇Á‡ÌÌ˚ı ÛÒÎÓ‚Ëflı fl‚ÎflÂÚÒfl ЫТЪУИ˜Л‚˚П ЫБОУП.

аЪ‡Н, Ф Л О˛·˚ı БМ‡˜ВМЛflı ЩЛБЛ˜ВТНЛı Ф‡ ‡- ПВЪ У‚ ТЛТЪВП˚, НУ„‰‡ δ > 0, ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚И П‡flЪМЛН ı‡ ‡НЪВ ЛБЫВЪТfl В‰ЛМТЪ‚ВММ˚П „ОУ·‡О¸МУ ЫТЪУИ˜Л‚˚П ТУТЪУflМЛВП ‡‚МУ‚ВТЛfl ‚ МЫОВ Щ‡БУ‚˚ı НУУ ‰ЛМ‡Ъ. зВБ‡‚ЛТЛПУ УЪ ‚˚·У ‡ М‡˜‡О¸М˚ı ЫТОУ- ‚ЛИ М‡·О˛‰‡ВЪТfl Б‡ЪЫı‡˛˘ВВ НУОВ·‡ЪВО¸МУВ ЛОЛ ‡ФВ ЛУ‰Л˜ВТНУВ ‰‚ЛКВМЛВ. и Л t О˛·‡fl (!) ЛБУ· ‡К‡˛˘‡fl ЪУ˜Н‡ ТЪ ВПЛЪТfl Н М‡˜‡ОЫ НУУ ‰ЛМ‡Ъ ‚ ЫТЪУИ˜Л‚˚И ЩУНЫТ ОЛ·У ЫБВО.

йФЛТ‡ММУВ Т‚УИТЪ‚У fl‚ОflВЪТfl У·˘ЛП ‰Оfl ‰ЛМ‡- ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП Т ФУОМУИ ‰ЛТТЛФ‡ˆЛВИ ˝МВ „ЛЛ. иУОУКВМЛfl ‡‚МУ‚ВТЛfl ЪЛФ‡ ЫТЪУИ˜Л‚У„У ЩУНЫТ‡ ЛОЛ ЫБО‡ fl‚Оfl˛ЪТfl Б‰ВТ¸ „ÎÓ·‡Î¸ÌÓ Ô ËÚfl„Ë‚‡˛˘ËÏË

‚ ЪУП ТП˚ТОВ, ˜ЪУ Щ‡БУ‚˚В Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ ЛБ О˛·УИ ЪУ˜НЛ Щ‡БУ‚У„У Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ ‡ТЛПФЪУЪЛ˜ВТНЛ Н МЛП ТЪ ВПflЪТfl. лЪ‡ˆЛУМ‡ М˚В МВБ‡ЪЫı‡˛˘ЛВ НУОВ- ·‡МЛfl ‚ ОЛМВИМ˚ı ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚ı ТЛТЪВП‡ı УН‡Б˚- ‚‡˛ЪТfl МВ‚УБПУКМ˚ПЛ. л ЩЛБЛ˜ВТНУИ ЪУ˜НЛ Б ВМЛfl ˝ЪУ ФУМflЪМУ – МВЪ ЫТОУ‚ЛИ ФУ‰‰В К‡МЛfl НУОВ·‡- МЛИ. щМВ „Лfl, ‡ТıУ‰ЫВП‡fl М‡ Ф ВУ‰УОВМЛВ ТЛО Ъ В- МЛfl, МВ ‚УТФУОМflВЪТfl.

ДЗнйдйгЦЕДнЦгъзхЦ лалнЦех

ЗУБПУКМУТЪ¸ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl ФВ ЛУ‰Л˜ВТНУ„У ‡ТЛПФЪУЪЛ˜ВТНЛ ЫТЪУИ˜Л‚У„У ‰‚ЛКВМЛfl, ЛБУ· ‡К‡- ВПУ„У ЛБУОЛ У‚‡ММУИ Б‡ПНМЫЪУИ Ъ ‡ВНЪУ ЛВИ ‚ Щ‡- БУ‚УП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В, Н НУЪУ УИ ТУ ‚ ВПВМВП Ф ЛЪfl- „Л‚‡˛ЪТfl Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ ЛБ МВНУЪУ УИ УН ВТЪМУТЪЛ МВБ‡‚ЛТЛПУ УЪ М‡˜‡О¸М˚ı ЫТОУ‚ЛИ, У·ВТФВ˜Л‚‡ВЪТfl ЪУО¸НУ ‚ МВОЛМВИМ˚ı ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚ı ТЛТЪВП‡ı. щЪУЪ ЪЛФ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП М‡ТЪУО¸НУ ‚‡КВМ Ф Л ЛБЫ˜ВМЛЛ НУОВ·‡ЪВО¸М˚ı Ф УˆВТТУ‚, ˜ЪУ ‰Оfl В„У ‚˚‰ВОВМЛfl А.А. АМ‰ УМУ‚ Ф В‰ОУКЛО ТФВˆЛ‡О¸М˚И ЪВ ПЛМ – ‡‚ЪУНУОВ·‡ЪВО¸М˚В ТЛТЪВП˚. е‡ЪВП‡ЪЛ- ˜ВТНЛП У· ‡БУП ‡‚ЪУНУОВ·‡МЛИ ТОЫКЛЪ Ô Â‰ÂθÌ˚È ˆËÍÎ èÛ‡Ì͇  – Б‡ПНМЫЪ‡fl ЛБУОЛ У‚‡ММ‡fl Ъ ‡ВНЪУ-Лfl ‚ Щ‡БУ‚УП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В, УЪ‚В˜‡˛˘‡fl ФВ ЛУ‰Л- ˜ВТНУПЫ ‰‚ЛКВМЛ˛.

З Н‡˜ВТЪ‚В Ф ЛПВ ‡ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ Т Ф В- ‰ВО¸М˚П ˆЛНОУП иЫ‡МН‡ В ‡ТТПУЪ ЛП НО‡ТТЛ˜ВТНЛИ

МВОЛМВИМ˚И УТˆЛООflЪУ З‡М ‰В иУОfl, Ы ‡‚МВМЛВ НУОВ·‡МЛИ НУЪУ У„У

è‡ ‡ÏÂÚ a, ı‡ ‡НЪВ ЛБЫ˛˘ЛИ ФУ‰Н‡˜НЫ ˝МВ „ЛЛ ‚ ТЛТЪВПЫ УЪ ‚МВ¯МВ„У ЛТЪУ˜МЛН‡, fl‚ОflВЪТfl ТЫ˘ВТЪ- ‚ВММ˚П Ф‡ ‡ПВЪ УП УТˆЛООflЪУ ‡ Л М‡Б˚‚‡ВЪТfl Ô‡-‡ÏÂÚ ÓÏ ‚ÓÁ·ÛʉÂÌËfl. аБ Т ‡‚МВМЛfl Ы ‡‚МВМЛИ (23) Л (20) ТОВ‰ЫВЪ, ˜ЪУ УТˆЛООflЪУ З‡М ‰В иУОfl УФЛТ˚‚‡ВЪ ·УОВВ ТОУКМ˚И НУОВ·‡ЪВО¸М˚И НУМЪЫ , ı‡ ‡НЪВ ‰ЛТТЛФ‡ˆЛЛ ‚ НУЪУ УП Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ФВ В- ПВММУИ x. З Щ‡БУ‚˚ı НУУ ‰ЛМ‡Ъ‡ı Ы ‡‚МВМЛВ НУОВ- ·‡МЛИ УТˆЛООflЪУ ‡ (23) Ф В‰ТЪ‡‚ОflВЪТfl Н‡Н

x˙ = x ,

1 2

АМ‡ОЛЪЛ˜ВТНЛ Ы ‡‚МВМЛfl (24) МВ В¯‡˛ЪТfl, Л ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl Ф У‚У‰flЪТfl Т ЛТФУО¸БУ‚‡МЛВП ˜ЛТОВМ- М˚ı ПВЪУ‰У‚. З Ф ‡НЪЛ˜ВТНЛ ‚‡КМУП ТОЫ˜‡В (a > 0, b > 0) Ы ‡‚МВМЛfl (24) ЛПВ˛Ъ В‰ЛМТЪ‚ВММУВ ЫТЪУИ˜Л- ‚УВ В¯ВМЛВ ‚ ‚Л‰В Ô Â‰ÂθÌÓ„Ó ˆËÍ· Γ, ЛБУ· ‡КВММУ„У М‡ ЛТ. 4, a.

иУОУКВМЛВ ‡‚МУ‚ВТЛfl ‚ М‡˜‡ОВ НУУ ‰ЛМ‡Ъ, ‚ НУЪУ УП ‚·ОЛБЛ МЫОfl ПУКМУ Ф ВМВ· В˜¸ МВОЛМВИМУТЪ¸˛, fl‚ОflВЪТfl МВЫТЪУИ˜Л‚˚П ЩУНЫТУП. н ‡ВНЪУ ЛЛ ЛБ УН ВТЪМУТЪЛ ТУТЪУflМЛfl ‡‚МУ‚ВТЛfl ‡ТЛПФЪУЪЛ˜В- ТНЛ ТЪ ВПflЪТfl Н Ф В‰ВО¸МУПЫ ˆЛНОЫ. д‡Н ФУН‡Б˚‚‡ВЪ ‡М‡ОЛБ, Ф В‰ВО¸М˚И ˆЛНО fl‚ОflВЪТfl ЫТЪУИ˜Л‚УИ ЛБУ-

‡

ОЛ У‚‡ММУИ ТЪ ЫНЪЫ УИ, Ф ЛЪfl„Л‚‡˛˘ВИ Н ТВ·В Ъ ‡- ВНЪУ ЛЛ ЛБ О˛·УИ ЪУ˜НЛ М‡ Щ‡БУ‚УИ ФОУТНУТЪЛ.

н‡НЛП У· ‡БУП, ‚ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı Т МВОЛМВИМУИ Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸˛ ‰ЛТТЛФ‡ˆЛЛ ˝МВ „ЛЛ УЪ ФВ ВПВММУИ, ТУ‚В ¯‡˛˘ВИ НУОВ·‡МЛfl, ‚ФВ ‚˚В ФУfl‚ОflВЪТfl Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸МУ МУ‚˚И ЪЛФ ЫТЪУИ˜Л‚У„У Ф В‰ВО¸МУ„У ПМУКВТЪ‚‡ Щ‡БУ‚˚ı Ъ ‡ВНЪУ ЛИ – Ф В- ‰ВО¸М˚И ˆЛНО. з‡ Ф В‰ВО¸МУП ˆЛНОВ Б‡ ‚ ВПfl ФВ ЛУ- ‰‡ НУОВ·‡МЛИ ‰УОЛ ‡ТТВЛ‚‡ВПУИ Л ‚МУТЛПУИ ˝МВ - „ЛЛ ТЪ У„У НУПФВМТЛ Ы˛ЪТfl.

з‡НУМВˆ, ‡ТТПУЪ ЛП В˘В У‰ЛМ ТОЫ˜‡И ЪЛФЛ˜МУИ ТЪ ЫНЪЫ ˚ ‚ Щ‡БУ‚УП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚, ‚УБМЛН‡˛˘ВИ, М‡Ф ЛПВ , Ф Л ФВ ЛУ‰Л˜ВТНУП ‚УБПЫ˘ВМЛЛ ТЛТЪВП˚ Т ЫТЪУИ˜Л‚˚П Ф В‰ВО¸М˚П ˆЛНОУП. СУ·‡‚ЛП ‚ Ы ‡‚МВМЛВ (23) ЛТЪУ˜МЛН „‡ ПУМЛ˜ВТНУ„У ‰ВИТЪ‚Лfl Т ‡‚МЛЪВО¸МУ П‡ОУИ ‡ПФОЛЪЫ- ‰˚ B Ë ˜‡ÒÚÓÚ˚ p, НУЪУ Ы˛ Т˜ЛЪ‡ВП ‡ˆЛУМ‡О¸МУ МВ Т‚flБ‡ММУИ Т ˜‡ТЪУЪУИ ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛı НУОВ·‡МЛИ ‡‚- ЪУМУПМУ„У УТˆЛООflЪУ ‡:

иВ ЛУ‰Л˜ВТН‡fl ПУ‰ЫОflˆЛfl Ф В‰ВО¸МУ„У ˆЛНО‡ ‡‚- ЪУМУПМУИ ТЛТЪВП˚ Ф Л‚У‰ЛЪ Н ЪУПЫ, ˜ЪУ Щ‡БУ‚‡fl Ъ ‡ВНЪУ Лfl Т Б‡‰‡ММУИ ˜‡ТЪУЪУИ p ‚ ‡˘‡ВЪТfl ‚УН Ы„ Ф В‰ВО¸МУ„У ˆЛНО‡ Л ОВКЛЪ М‡ ‰‚ЫПВ МУИ ФУ‚В ıМУТЪЛ, Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛˘ВИ ТУ·УИ ФУ‚В ıМУТЪ¸ ЪУ ‡. АМ‡- ОУ„Л˜МУ ТОЫ˜‡˛ Ф В‰ВО¸МУ„У ˆЛНО‡ ˝Ъ‡ ФУ‚В ıМУТЪ¸ ·Ы‰ВЪ ЫТЪУИ˜Л‚˚П Ф В‰ВО¸М˚П ПМУКВТЪ‚УП, Н НУЪУ-УПЫ ТЪfl„Л‚‡˛ЪТfl ТУ ‚ ВПВМВП ‚ТВ Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ ЛБ МВНУЪУ УИ УН ВТЪМУТЪЛ ЪУ ‡ (Н‡Н ЛБМЫЪ Л МВ„У, Ъ‡Н Л ТМ‡ ЫКЛ!). зВЪ Ы‰МУ Ф В‰ТЪ‡‚ЛЪ¸ ТВ·В, ˜ЪУ ПЛМЛ- П‡О¸М‡fl ‡БПВ МУТЪ¸ Щ‡БУ‚У„У Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡, ‚ НУЪУ УВ ПУКМУ ‚ОУКЛЪ¸ ‰‚ЫПВ М˚И ЪУ , ‡‚М‡ Ъ ВП.

·

ç‡ ËÒ. 4, · ФУН‡Б‡М‡ Ф УВНˆЛfl М‡ ФОУТНУТЪ¸ ФВ-ВПВММ˚ı x1 , x2 Щ‡БУ‚УИ Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ М‡ ‰‚ЫПВ - МУП ЪУ В, ФУОЫ˜ВММ‡fl ˜ЛТОВММ˚П ЛМЪВ„ Л У‚‡- МЛВП ТЛТЪВП˚ (24).

кЦЙмгькзхЦ а лнкДззхЦ ДннкДднйкх СазДеауЦлдап лалнЦе

к‡ТТПУЪ ВММ˚В Ф ЛПВ ˚ ЛОО˛ТЪ Л Ы˛Ъ ЪЛФЛ˜- М˚В Ф В‰ВО¸М˚В ПМУКВТЪ‚‡ Ъ ‡ВНЪУ ЛИ М‡ Щ‡БУ‚УИ ФОУТНУТЪЛ: ТУТЪУflМЛfl ‡‚МУ‚ВТЛfl, ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛВ ‰‚ЛКВМЛfl Л УТУ·˚В Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ ЪЛФ‡ ТВФ‡ ‡Ъ ЛТМ˚ı НУМЪЫ У‚. мН‡Б‡ММ˚В Ф В‰ВО¸М˚В ПМУКВТЪ‚‡ ФУОМУТЪ¸˛ ЛТ˜В Ф˚‚‡˛Ъ ‚УБПУКМ˚В ТЛЪЫ‡ˆЛЛ М‡ Щ‡БУ- ‚УИ ФОУТНУТЪЛ. аП УЪ‚В˜‡˛Ъ Ъ Л ‡БОЛ˜М˚ı ЪЛФ‡В¯ВМЛИ Ы ‡‚МВМЛИ.

С‚ЛКВМЛfl ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚ı ТЛТЪВП ˆВОВТУУ· ‡Б- МУ ‡Б‰ВОЛЪ¸ М‡ ‰‚‡ НО‡ТТ‡: НО‡ТТ ФВ ВıУ‰М˚ı, МВТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ‰‚ЛКВМЛИ, УЪ‚В˜‡˛˘Лı ВО‡НТ‡ˆЛЛ УЪ М‡˜‡О¸МУ„У Н Ф В‰ВО¸МУПЫ ПМУКВТЪ‚Ы ТУТЪУflМЛИ, Л НО‡ТТ ЫТЪ‡МУ‚Л‚¯ЛıТfl ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ‰‚ЛКВМЛИ, Щ‡БУ‚˚В Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ НУЪУ ˚ı ˆВОЛНУП Ф ЛМ‡‰ОВК‡Ъ Ф В‰ВО¸М˚П ПМУКВТЪ‚‡П. З‡КМ˚ПЛ Т ЩЛБЛ˜ВТНУИ ЪУ˜НЛ Б ВМЛfl fl‚Оfl˛ЪТfl Ф ЛЪfl„Л‚‡˛˘ЛВ Ф В‰ВО¸М˚В ПМУКВТЪ‚‡ – ‡ÚÚ ‡ÍÚÓ ˚. л ЪВ˜ВМЛВП ‚ ВПВМЛ Ф УЛБ‚УО¸МУВ М‡˜‡О¸МУВ ТУТЪУflМЛВ ЛБ МВНУЪУ УИ У·О‡ТЪЛ Ф ЛЪflКВМЛfl G, ‚Íβ˜‡˛˘ÂÈ ‚ Ò·fl ‡ÚÚ ‡Í- ÚÓ G0 , ·ÍÒË ÛÂÚ Í G0 . С‚ЛКВМЛВ, НУЪУ УПЫ УЪ‚В- ˜‡ВЪ Щ‡БУ‚‡fl Ъ ‡ВНЪУ Лfl ‚ У·О‡ТЪЛ Ф ЛЪflКВМЛfl, ВТЪ¸ ФВ ВıУ‰МУИ Ф УˆВТТ. мТЪ‡МУ‚Л‚¯ВВТfl ‰‚ЛКВМЛВ ı‡ ‡НЪВ ЛБЫВЪТfl Ф ЛМ‡‰ОВКМУТЪ¸˛ Щ‡БУ‚˚ı Ъ ‡ВНЪУ ЛИ Ф В‰ВО¸МУПЫ ПМУКВТЪ‚Ы, ЪУ ВТЪ¸ ‡ЪЪ ‡Н- ЪУ Ы G0 .

д ˜ВПЫ ПУКВЪ Ф Л‚ВТЪЛ ФУ‚˚¯ВМЛВ ‡БПВ МУТЪЛ ТЛТЪВП˚, М‡Ф ЛПВ ‰У N = 3, ЪУ ВТЪ¸ ‚˚ıУ‰ Т ФОУТНУТЪЛ ‚ Ъ ВıПВ МУВ Щ‡БУ‚УВ Ф УТЪ ‡МТЪ‚У? лУ‚ТВП МВ‰‡‚МУ, ‰У М‡˜‡О‡ 60-ı „У‰У‚, Т Ы‚ВОЛ˜ВМЛВП ‡Б- ПВ МУТЪЛ Щ‡БУ‚У„У Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚ı ТЛТЪВП Т‚flБ˚‚‡ОЛ ‚УБПУКМУТЪ¸ ФУfl‚ОВМЛfl (‚ ‰У- ФУОМВМЛВ Н ЫН‡Б‡ММ˚П ‚˚¯В) ОЛ¯¸ Н‚‡БЛФВ ЛУ‰Л- ˜ВТНЛı ‡ЪЪ ‡НЪУ У‚, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Лı ‰‚ЛКВМЛflП М‡ p-Ï Ì˚ı ÚÓ ‡ı.

З‡КМ˚П ВБЫО¸Ъ‡ЪУП ЛТТОВ‰У‚‡МЛИ ФУТОВ‰МЛı ОВЪ fl‚ЛОУТ¸ У·М‡ ЫКВМЛВ Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸МУ МУ‚˚ı ЪЛФУ‚ ‰‚ЛКВМЛИ ‚ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı. н‡НЛП ‰‚ЛКВМЛflП ‚ Щ‡БУ‚УП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В ‡БПВ МУТЪЛ N $ 3 ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ ТОУКМ˚П У· ‡БУП ЫТЪ УВММ˚В Ф ЛЪfl„Л‚‡˛˘ЛВ ПМУКВТЪ‚‡, Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ ЛБУ· ‡К‡- ˛˘Лı ЪУ˜ВН НУЪУ ˚ı МВ Ф ЛМ‡‰ОВК‡Ъ МЛ Н У‰МУПЫ ЛБ УФЛТ‡ММ˚ı ‚˚¯В ЪЛФУ‚ ‡ЪЪ ‡НЪУ У‚. о‡БУ‚˚В Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛ЪТfl Б‰ВТ¸ ‚ ‚Л‰В ·ВТНУМВ˜- МУИ, МЛ„‰В МВ ФВ ВТВН‡˛˘ВИТfl ОЛМЛЛ. и Л t Ъ ‡ВНЪУ Лfl МВ ФУНЛ‰‡ВЪ Б‡ПНМЫЪУИ У·О‡ТЪЛ Л МВ Ф Л- Ъfl„Л‚‡ВЪТfl Н ЛБ‚ВТЪМ˚П ЪЛФ‡П ‡ЪЪ ‡НЪУ У‚ [2–6]. аПВММУ Т ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛВП Ъ‡НЛı Ъ ‡ВНЪУ ЛИ Т‚flБ˚- ‚‡˛Ъ ‚УБПУКМУТЪ¸ ı‡УЪЛ˜ВТНУ„У ФУ‚В‰ВМЛfl ‰ВЪВ - ПЛМЛ У‚‡ММ˚ı ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП Т ‡БПВ МУТ- Ъ¸˛ Щ‡БУ‚У„У Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ N $ 3.

ЗФВ ‚˚В ФУ‰У·М˚В Т‚УИТЪ‚‡ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ ‚ 1963 „У‰Ы У·М‡ ЫКЛО щ. гУ ВМˆ Ф Л ˜ЛТОВММУП ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ ‰ЛМ‡ПЛНЛ Ъ ВıПВ МУИ ПУ‰ВОЛ ЪВФОУ‚УИ НУМ‚ВНˆЛЛ. лФЫТЪfl ‚УТВП¸ ОВЪ ‚ ЪВУ ВЪЛ- ˜ВТНУИ ‡·УЪВ С. к˛˝Оfl Л о. н‡НВМТ‡ Ф ЛЪfl„Л‚‡˛- ˘‡fl У·О‡ТЪ¸ ‚ Щ‡БУ‚УП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚, ı‡ ‡НЪВ ЛБЫВП‡fl ВКЛПУП ЫТЪ‡МУ‚Л‚¯ЛıТfl МВФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛı НУОВ·‡МЛИ, ·˚О‡ М‡Б‚‡М‡ ÒÚ ‡ÌÌ˚Ï ‡ÚÚ ‡ÍÚÓ ÓÏ. щЪУЪ ЪВ ПЛМ ·˚О Т ‡БЫ ‚УТФ ЛМflЪ ЛТТОВ‰У‚‡ЪВОflПЛ Л ЫЪ‚В ‰ЛОТfl ‰Оfl У·У- БМ‡˜ВМЛfl П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУ„У У· ‡Б‡ ВКЛП‡ МВ В„Ы- Оfl М˚ı НУОВ·‡МЛИ ‰ВЪВ ПЛМЛ У‚‡ММ˚ı ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП [2–6].

АЪЪ ‡НЪУ ˚ ‚ ‚Л‰В ТУТЪУflМЛИ ‡‚МУ‚ВТЛfl, Ф В- ‰ВО¸М˚ı ˆЛНОУ‚ ЛОЛ l-Ï Ì˚ı ÚÓ Ó‚ ̇Á˚‚‡˛Ú Ô Ó- ÒÚ˚ÏË ËÎË Â„ÛÎfl Ì˚ÏË, ФУ‰˜В НЛ‚‡fl ЪВП Т‡П˚П, ˜ЪУ ‰‚ЛКВМЛfl М‡ МЛı УЪ‚В˜‡˛Ъ ТОУКЛ‚¯ЛПТfl Ф В‰- ТЪ‡‚ОВМЛflП У· ЫТЪУИ˜Л‚УП ФУ гflФЫМУ‚Ы ‰ВЪВ ПЛМЛ-У‚‡ММУП ФУ‚В‰ВМЛЛ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚. лУ ÒÚ ‡ÌÌ˚Ï ‡ЪЪ ‡НЪУ УП Т‚flБ˚‚‡ВЪТfl В‡ОЛБ‡ˆЛfl МВ-В„ЫОfl МУ„У (‚ ТП˚ТОВ УЪТЫЪТЪ‚Лfl ФВ ЛУ‰Л˜МУТЪЛ) НУОВ·‡ЪВО¸МУ„У ВКЛП‡, НУЪУ ˚И ‚У ПМУ„УП ТıУ‰ВМ Т М‡¯ЛПЛ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛflПЛ У ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ТОЫ- ˜‡ИМ˚ı Ф УˆВТТ‡ı.

í ÏËÌ ÒÎÛ˜‡ÈÌ˚È ЛПВВЪ ‚ФУОМВ УФ В‰ВОВММ˚И ТП˚ТО. лОЫ˜‡ИМУВ ‰‚ЛКВМЛВ МВФ В‰ТН‡БЫВПУ ОЛ·У Ф В‰ТН‡БЫВПУ Т УФ В‰ВОВММУИ ‚В УflЪМУТЪ¸˛. С Ы- „ЛПЛ ТОУ‚‡ПЛ, Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ ТОЫ˜‡ИМУ„У ‰‚ЛКВМЛfl МВО¸Бfl ПМУ„УН ‡ЪМУ Л У‰МУБМ‡˜МУ ‚УТФ УЛБ‚ВТЪЛ МЛ ‚ ˜ЛТОВММУП, МЛ ‚ ЩЛБЛ˜ВТНУП ˝НТФВ ЛПВМЪВ. и ЛПВ УП ТОЫКЛЪ НО‡ТТЛ˜ВТНУВ ‰‚ЛКВМЛВ · УЫМУ‚ТНУИ ˜‡ТЪЛˆ˚. З ТОЫ˜‡В ТЪ ‡ММУ„У ‡ЪЪ ‡НЪУ ‡ ЛПВВЪТfl ТЪ У„‡fl Ф В‰ТН‡БЫВПУТЪ¸ ‚ ТП˚ТОВ ‰ВЪВ ПЛМЛ У‚‡ММУТЪЛ Б‡НУМ‡ ˝‚УО˛ˆЛЛ. кВ¯ВМЛВ Ы ‡‚МВМЛИ (Н‡Н Л ‰Оfl В„ЫОfl М˚ı ‡ЪЪ ‡НЪУ У‚) ФУ‰˜ЛМflВЪТfl ЪВУ ВПВ В‰ЛМТЪ‚ВММУТЪЛ Л У‰МУБМ‡˜МУ ‚УТФ УЛБ‚У- ‰ЛЪТfl Ф Л ЩЛНТЛ У‚‡ММ˚ı М‡˜‡О¸М˚ı ЫТОУ‚Лflı. иУ˝ЪУПЫ ‰Оfl У·УБМ‡˜ВМЛfl ТОУКМ˚ı “¯ЫПУФУ‰У·- М˚ı” ‡‚ЪУНУОВ·‡МЛИ, П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛП У· ‡БУП НУЪУ ˚ı ТОЫКЛЪ ТЪ ‡ММ˚И ‡ЪЪ ‡НЪУ , ЛТФУО¸БЫ˛ЪТfl ЪВ ПЛМ˚ ЪЛФ‡ ‰Ë̇Ï˘ÂÒ͇fl ÒÚÓı‡ÒÚ˘ÌÓÒÚ¸, ‰Â- Ú ÏËÌË Ó‚‡ÌÌ˚È ı‡ÓÒ Л ФУ‰У·М˚В. З‡КМУ УЪОЛ˜‡Ъ¸ ˝ЪЛ Ф УˆВТТ˚ УЪ ТЪУı‡ТЪЛ˜ВТНЛı ‚ НО‡ТТЛ˜ВТНУП ТП˚ТОВ, НУЪУ ˚В Ф Л УФЛТ‡МЛЛ Ъ В·Ы˛Ъ Ы˜ВЪ‡ ЩОЫНЪЫ‡ˆЛИ ‚ ЛТıУ‰М˚ı ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛflı ОЛ·У МВФУТ В‰ТЪ‚ВММУ ФУ‰˜ЛМfl˛ЪТfl Ы ‡‚МВМЛflП ‰Оfl ФОУЪМУТЪЛ ‡ТФ В‰ВОВМЛfl ‚В УflЪМУТЪВИ ТЪ‡ЪЛТЪЛ- ˜ВТНУИ ЪВУ ЛЛ [2, 5].

и ЛПВ УП ТЛТЪВП˚ Т ı‡УЪЛ˜ВТНЛП ‡ЪЪ ‡НЪУ УП fl‚Оfl˛ЪТfl Ы ‡‚МВМЛfl „ВМВ ‡ЪУ ‡ Т ЛМВ ˆЛУММУИ МВОЛМВИМУТЪ¸˛ („ВМВ ‡ЪУ ‡ АМЛ˘ВМНУ–АТЪ‡ıУ‚‡). щЪ‡ ТЛТЪВП‡ fl‚ОflВЪТfl У·У·˘ВМЛВП Ы ‡‚МВМЛИ З‡М ‰В иУОfl М‡ ТОЫ˜‡И Ъ ВıПВ МУ„У Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ [2]:

z˙= –gz + gI( x) x2,

z

êËÒ. 5. ëÚ ‡ÌÌ˚È ‡ÚÚ ‡ÍÚÓ ‚ ÏÓ‰ÂÎË „ÂÌ ‡ÚÓ ‡ АÌˢÂÌÍÓ–АÒÚ‡ıÓ‚‡ (27)

кВБЫО¸Ъ‡Ъ˚ ˜ЛТОВММУ„У В¯ВМЛfl Ы ‡‚МВМЛfl (27) ‰Оfl БМ‡˜ВМЛИ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ m = 1,5, g = 0,2 Ф Л‚В‰ВМ˚ М‡ ЛТ. 5, НУЪУ ˚И Ъ‡НКВ ЛОО˛ТЪ Л ЫВЪ ı‡УЪЛ˜ВТНЛИ ‡ЪЪ ‡НЪУ .

бДдгыуЦзаЦ

З ТЪ‡Ъ¸В ‰‡МУ У·˘ВВ УФ В‰ВОВМЛВ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ Л Ф Л‚В‰ВМ˚ Ф ЛПВ ˚ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП, УФЛТ˚‚‡ВП˚ı У·˚НМУ‚ВММ˚ПЛ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ- ‡О¸М˚ПЛ Ы ‡‚МВМЛflПЛ. н‡НЛВ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ ТЛТЪВ- П˚ ПУ„ЫЪ ЛПВЪ¸ ˜ВЪ˚ В ЪЛФ‡ В¯ВМЛИ: ТУТЪУflМЛВ

‡‚МУ‚ВТЛfl, ФВ ЛУ‰Л˜ВТНУВ ‰‚ЛКВМЛВ, Н‚‡БЛФВ ЛУ- ‰Л˜ВТНУВ ‰‚ЛКВМЛВ Л ı‡УЪЛ˜ВТНУВ. щЪЛП ЪЛФ‡П В- ¯ВМЛИ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ ‡ЪЪ ‡НЪУ ˚ ТЛТЪВП˚ ‚ ‚Л‰В ЫТЪУИ˜Л‚У„У ‡‚МУ‚ВТЛfl, Ф В‰ВО¸МУ„У ˆЛНО‡, Н‚‡БЛФВ ЛУ‰Л˜ВТНУ„У ‡ЪЪ ‡НЪУ ‡ (p-ПВ МУ„У ЪУ ‡) Л ı‡У- ЪЛ˜ВТНУ„У (ЛОЛ ТЪ ‡ММУ„У) ‡ЪЪ ‡НЪУ ‡. З‡КМ˚П fl‚- ОflВЪТfl ЪУ, ˜ЪУ Ф УТЪВИ¯ЛВ ЪЛФ˚ Н‚‡БЛФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛı Л ı‡УЪЛ˜ВТНЛı ‡ЪЪ ‡НЪУ У‚ ПУ„ЫЪ В‡ОЛБУ‚˚‚‡Ъ¸Тfl ‚ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı Т ‡БПВ МУТЪ¸˛ Щ‡БУ‚У„У Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ МВ ПВМВВ Ъ Вı.

ганЦкДнмкД

1.АÌÓÒÓ‚ Ñ.Ç. СЛМ‡ПЛ˜ВТН‡fl ТЛТЪВП‡ // е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТ- Н‡fl ˝МˆЛНОУФВ‰Лfl. е.: лУ‚. ˝МˆЛНОУФВ‰Лfl, 1979.

2.АÌˢÂÌÍÓ Ç.ë. лОУКМ˚В НУОВ·‡МЛfl ‚ Ф УТЪ˚ı ТЛТЪВ- П‡ı. е.: з‡ЫН‡, 1990.

3.ãËıÚÂÌ·Â „ А., ãË·Â Ï‡Ì å. ê„ÛÎfl ̇fl Ë ÒÚÓı‡ÒÚË- ˜ÂÒ͇fl ‰Ë̇ÏË͇. å.: åË , 1984.

4.тЫТЪВ Й. ÑÂÚ ÏËÌË Ó‚‡ÌÌ˚È ı‡ÓÒ. å.: åË , 1988.

5.çÂÈχ Í û.à., ã‡Ì‰‡ è.ë. лЪУı‡ТЪЛ˜ВТНЛВ Л ı‡УЪЛ- ˜ВТНЛВ НУОВ·‡МЛfl. е.: з‡ЫН‡, 1987.

6.гУТНЫЪУ‚ А.ы., åËı‡ÈÎÓ‚ А.ë. ǂ‰ÂÌË ‚ ÒËÌ „Â- ÚËÍÛ. å.: ç‡Û͇, 1990.

* * *

З‡‰ЛП лВПВМУ‚Л˜ АМЛ˘ВМНУ, ‰УНЪУ ЩЛБЛНУ- П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı М‡ЫН, Ф УЩВТТУ , Б‡‚. Н‡ЩВ‰ УИ‡‰ЛУЩЛБЛНЛ л‡ ‡ЪУ‚ТНУ„У „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММУ„У ЫМЛ- ‚В ТЛЪВЪ‡, Б‡ТОЫКВММ˚И ‰ВflЪВО¸ М‡ЫНЛ кУТТЛИТНУИ о‰ ‡ˆЛЛ, ˜ОВМ-НУ ВТФУМ‰ВМЪ еВК‰ЫМ‡ У‰МУИ ‡Н‡‰ВПЛЛ ЛМЩУ П‡ЪЛБ‡ˆЛЛ. й·О‡ТЪ¸ М‡Ы˜М˚ı ЛМЪВ ВТУ‚: ‰ЛМ‡ПЛН‡ МВОЛМВИМ˚ı ТЛТЪВП, ЪВУ Лfl НУОВ·‡МЛИ Л ТЪ‡ЪЛТЪЛ˜ВТН‡fl ‡‰ЛУЩЛБЛН‡. А‚ЪУ ·У- ОВВ 200 М‡Ы˜М˚ı ‡·УЪ, ¯ВТЪ¸ ЛБ НУЪУ ˚ı М‡Ы˜М˚В ПУМУ„ ‡ЩЛЛ.