Современные проблемы физики / PhysicalReviewpdf / Markeev

© å‡Í‚ Ä.è., 1998

96

ON DYNAMICS

OF A ROLLING BODY AND SOME CURIOUS PROPERTIES

OF A ROTATING TOP

A. P. MARKEEV

Problems of dynamics of bodies being contiguous to a rigid surface are discussed briefly. A theoretical basis is given for curious dynamical effects being observed in experiments, namely the changes in the direction of rotation of the celtic stone about the vertical without any external action, and the origin of rotation in any direction due to oscillations about the horizontal axis.

д ‡ЪНУ У·ТЫК‰‡˛ЪТfl Ф У·ОВП˚ ‰ЛМ‡ПЛНЛ ЪВО, ТУФ ЛН‡Т‡˛˘ЛıТfl Т Ъ‚В ‰УИ ФУ‚В ıМУТЪ¸˛. С‡ВЪТfl ЪВУ ВЪЛ˜ВТНУВ У·УТМУ‚‡МЛВ НЫ ¸ВБМ˚ı ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ˝ЩЩВНЪУ‚, М‡·О˛‰‡ВП˚ı ‚ ˝НТФВ ЛПВМЪ‡ı: ЛБПВМВМЛВ М‡Ф ‡‚ОВМЛfl ‚ ‡˘В- МЛfl НВО¸ЪТНУ„У Н‡ПМfl ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ ·ВБ ‡НЪЛ‚МУ„У ‚МВ¯МВ„У ‚УБ- ‰ВИТЪ‚Лfl Л ‚УБМЛНМУ‚В- МЛВ ‚ ‡˘ВМЛfl ‚ ЪУП ЛОЛ ЛМУП М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ Б‡ Т˜ВЪ НУОВ·‡МЛИ ‚УН Ы„ „У ЛБУМЪ‡О¸МУИ УТЛ.

й СазАеадЦ дАньфЦЙйль нЦгА а зЦдйнйкхп дмкъЦбзхп лЗйвлнЗАп ЗкАфАыфЦЙйль ЗйгудА

Д. и. еДкдЦЦЗ

еУТНУ‚ТНЛИ ‡‚Л‡ˆЛУММ˚И ЛМТЪЛЪЫЪ

ЗЗЦСЦзаЦ

аБЫ˜ВМЛВ Б‡‰‡˜ ‰ЛМ‡ПЛНЛ ЪВО, Н‡Ъfl˘ЛıТfl ФУ МВФУ‰‚ЛКМУИ ЛОЛ ‰‚ЛКЫ˘ВИТfl ФУ‚В ıМУТЪЛ, ЛПВВЪ ‰У- ‚УО¸МУ ‰ОЛЪВО¸МЫ˛ ЛТЪУ Л˛. й‰МУИ ЛБ ФВ ‚˚ı Ъ‡НЛı Б‡‰‡˜, ‚УБМЛН¯ВИ, ФУ-‚Л‰ЛПУПЫ, ЛБ ФУЪ В·МУТЪВИ ЪВıМЛНЛ, ·˚О‡ Б‡‰‡˜‡ У ‰‚ЛКВМЛЛ ЪflКВОУ„У У‰МУ У‰- МУ„У ˆЛОЛМ‰ ‡ (Н‡ЪН‡) ФУ М‡НОУММУИ ФОУТНУТЪЛ.

бМ‡˜ВМЛВ ЛТТОВ‰У‚‡МЛИ ФУ ‰ЛМ‡ПЛНВ Ъ‚В ‰У„У ЪВО‡, Л ‚ ˜‡ТЪМУТЪЛ ФУ ‰ЛМ‡ПЛНВ ЪВО‡, ТУФ ЛН‡Т‡˛- ˘В„УТfl Т Ъ‚В ‰УИ ФУ‚В ıМУТЪ¸˛, ıУ У¯У ТЩУ ПЫОЛ У‚‡МУ ‚ М‡˜‡ОВ XX ‚ВН‡ СК. иВ Л: “ЦТОЛ ·˚ У·ТЪУflЪВО¸МУПЫ ЛБЫ˜ВМЛ˛ ‚ ‡˘‡˛˘В„УТfl ‚УО˜Н‡ ·˚ОУ Ы‰ВОВМУ ·УО¸¯В ‚МЛП‡МЛfl, ЪУ ЫТФВıЛ (˜ВОУ‚В- ˜ВТЪ‚‡) ‚ У·О‡ТЪЛ Ф ЛНО‡‰МУИ ПВı‡МЛНЛ Л ‚У ПМУ„Лı УЪ ‡ТОflı Ф УП˚¯ОВММУТЪЛ ·˚ОЛ ·˚ ·УОВВ БМ‡˜Л- ЪВО¸М˚ПЛ”.

и Л ˝НТФВ ЛПВМЪ‡О¸МУП Л ЪВУ ВЪЛ˜ВТНУП ЛБЫ- ˜ВМЛЛ ‰ЛМ‡ПЛНЛ ЪВО‡, ТУФ ЛН‡Т‡˛˘В„УТfl Т ФУ‚В ı- МУТЪ¸˛ ‰ Ы„У„У ЪВО‡, ПМУ„У ‚МЛП‡МЛfl Ы‰ВОflОУТ¸ ‡М‡ОЛБЫ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУ„У ФУ‚В‰ВМЛfl ‡БОЛ˜МУ„У ЪЛФ‡ ‚УО˜НУ‚ М‡ МВФУ‰‚ЛКМУИ „У ЛБУМЪ‡О¸МУИ ФОУТНУТЪЛ. и Л ˝ЪУП У·М‡ ЫКЛОЛТ¸ О˛·УФ˚ЪМ˚В fl‚ОВМЛfl ‚ ФУ‚В‰ВМЛЛ ‚УО˜Н‡.

з‡Ф ЛПВ , ‚ ОЛЪВ ‡ЪЫ В ¯Л УНУ У·ТЫК‰‡ОЛТ¸ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ Т‚УИТЪ‚‡ ‚УО˜Н‡ ТЩВ Л˜ВТНУИ ЩУ П˚ ЛОЛ ‚УО˜Н‡ “ЪЛФ-ЪУФ” (ЛМ‡˜В “НЛЪ‡ИТНУ„У ‚УО˜Н‡”, ЛОЛ ‚УО˜Н‡ нУПТУМ‡) М‡ ФОУТНУТЪЛ Т Ъ ВМЛВП ТНУО¸- КВМЛfl. дУМТЪ ЫНЪЛ‚МУ Ъ‡НУИ ‚УО˜УН ТУТЪУЛЪ ЛБ Т ВБ‡ММУ„У ¯‡ ЛН‡ Т МУКНУИ, ‡ТФУОУКВММУИ ‚ ˆВМЪ В Т ВБ‡. З ЫТЪУИ˜Л‚УП ТУТЪУflМЛЛ ‡‚МУ‚ВТЛfl ‚УО˜УН УФЛ ‡ВЪТfl М‡ ФОУТНУТЪ¸ ЪУ˜НУИ Т‚УВИ ТЩВ-Л˜ВТНУИ ФУ‚В ıМУТЪЛ, ‡ В„У МУКН‡ М‡Ф ‡‚ОВМ‡ ‚В - ЪЛН‡О¸МУ ‚‚В ı. б‡ МУКНЫ ‚УО˜УН ПУКВЪ ·˚Ъ¸ Ф Л‚В- ‰ВМ ‚ ·˚ТЪ УВ ‚ ‡˘ВМЛВ. з‡˜‡‚ ‚ ‡˘‡Ъ¸Тfl, ‚УО˜УН ЪВ flВЪ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸, В„У МУКН‡ УЪНОУМflВЪТfl УЪ ФВ - ‚УМ‡˜‡О¸МУ„У ‚В ЪЛН‡О¸МУ„У ФУОУКВМЛfl. З НУМˆВ НУМˆУ‚ ‚УО˜УН ФВ В‚У ‡˜Л‚‡ВЪТfl Л Ф У‰УОК‡ВЪ ЫТЪУИ˜Л‚У ‚ ‡˘‡Ъ¸Тfl, УФЛ ‡flТ¸ М‡ ФОУТНУТЪ¸ Т‚УВИ МУКНУИ.

АМ‡ОУ„Л˜М˚И ˝ЩЩВНЪ М‡·О˛‰‡ВЪТfl Л ‚ ТОЫ˜‡В ‚УО˜Н‡ ˝ООЛФТУЛ‰‡О¸МУИ ЩУ П˚. С‚ЛКВМЛВ Ъ‡НУ„У ·˚ТЪ У Б‡Н Ы˜ВММУ„У М‡ ¯В УıУ‚‡ЪУИ ФОУТНУТЪЛ ‚УО˜Н‡ Ф УЛТıУ‰ЛЪ Ъ‡Н, ˜ЪУ УМ ЛПВВЪ ЪВМ‰ВМˆЛ˛ ‚ ‡˘‡Ъ¸Тfl ‚УН Ы„ М‡Л·УО¸¯ВИ Т‚УВИ УТЛ, НУЪУ ‡fl

лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹9, 1998

ТЪ ВПЛЪТfl Б‡МflЪ¸ ‚В ЪЛН‡О¸МУВ ФУОУКВМЛВ, ВТОЛ ЪУО¸НУ ‚ ‡˘ВМЛВ ‚УО˜Н‡ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ·˚ТЪ УВ. и Л- ПВ УП ПУКВЪ ТОЫКЛЪ¸ Ъ‚В ‰УВ ЪВОУ flИˆВ‚Л‰МУИ ЩУ П˚. З ‡˘ВМЛВ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ ‰Оfl Ъ‡НУ„У ЪВ- О‡, ОВК‡˘В„У М‡ ·УНЫ, МВЫТЪУИ˜Л‚У. и Л ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ·˚ТЪ УП ‚ ‡˘ВМЛЛ ЪВОУ ФУ‰МЛП‡ВЪТfl ЛБ Ъ‡НУ„У ФУОУКВМЛfl Л Ф У‰УОК‡ВЪ ‚ ‡˘‡Ъ¸Тfl М‡ УТЪ УП НУМ˜ЛНВ.

мФУПflМЫЪ˚В ˝ЩЩВНЪ˚ ‰У‚УО¸МУ ФУ‰ У·МУ УФЛ- Т‡М˚ ‚У ПМУ„Лı Ы˜В·МЛН‡ı ФУ ПВı‡МЛНВ Л ‚ М‡Ы˜МУФУФЫОfl МУИ ОЛЪВ ‡ЪЫ В [1, 2].

зУ УТУ·ВММУ Ы‰Л‚ЛЪВО¸МУ ФУ‚В‰ВМЛВ ‚УО˜Н‡, ФУОЫ˜Л‚¯В„У М‡Б‚‡МЛВ НВО¸ЪТНУ„У Н‡ПМfl. нВУ ВЪЛ˜ВТНУПЫ У·УТМУ‚‡МЛ˛ МВНУЪУ ˚ı НЫ ¸ВБМ˚ı Т‚УИТЪ‚ ˝ЪУ„У ‚УО˜Н‡ Л ФУТ‚fl˘ВМ‡ ‰‡ММ‡fl ТЪ‡Ъ¸fl.

дЦгънлдав дДеЦзъ а ЦЙй СазДеауЦлдаЦ лЗйвлнЗД

к‡ТТПУЪ ЛП Ъ‚В ‰УВ ЪВОУ, ФУ‚В ıМУТЪ¸ НУЪУ У„У ЛПВВЪ ‚˚ФЫНО˚И Ы˜‡ТЪУН ·ВБ Б‡УТЪ ВМЛИ Л В·В . нВОУ ‰‚ЛКВЪТfl ‚ У‰МУ У‰МУП ФУОВ ЪflКВТЪЛ, УФЛ ‡flТ¸ У‰МУИ ЪУ˜НУИ ‚˚ФЫНОУ„У Ы˜‡ТЪН‡ Т‚УВИ ФУ‚В ıМУТЪЛ М‡ МВФУ‰‚ЛКМЫ˛ „У ЛБУМЪ‡О¸МЫ˛ ФОУТНУТЪ¸. уВ ВБ G У·УБМ‡˜ЛП ˆВМЪ ЪflКВТЪЛ ЪВО‡. иЫТЪ¸ ‚˚ФЫНО˚И Ы˜‡ТЪУН ФУ‚В ıМУТЪЛ ЪВО‡ ЛПВВЪ Ъ‡НЫ˛ ЪУ˜НЫ M0 , НУЪУ ‡fl Ы‰У‚ОВЪ‚У flВЪ ТОВ‰Ы˛˘ЛП Ъ В·У‚‡МЛflП: ФОУТНУТЪ¸, Н‡Т‡ЪВО¸М‡fl Н ФУ‚В ıМУТЪЛ ЪВО‡ ‚ ЪУ˜НВ M0 , Ô ÔẨËÍÛÎfl ̇ ÓÚ ÂÁÍÛ M0G; УТ¸, М‡ НУЪУ УИ ОВКЛЪ УЪ ВБУН M0G, fl‚ÎflÂÚÒfl „·‚ÌÓÈ ˆÂÌÚ ‡Î¸ÌÓÈ ÓÒ¸˛ ËÌ ˆËË; Ó·ÓÁ̇˜ËÏ ˝ÚÛ ÓÒ¸ Gη, ‡ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы- ˛˘ЛИ ВИ ПУПВМЪ ЛМВ ˆЛЛ B. и В‰ФУОУКЛП, ˜ЪУ „О‡‚М˚В ‡‰ЛЫТ˚ Н Л‚ЛБМ˚ r1 Ë r2 ФУ‚В ıМУТЪЛ ‚ ЪУ˜НВ M0 ‡Á΢Ì˚ ÔÓ ‚Â΢ËÌÂ, ‡ Ì‡Ô ‡‚ÎÂÌËfl „·‚Ì˚ı ÓÒÂÈ ËÌ ˆËË Ú· ‰Îfl ÚÓ˜ÍË M0 МВ ТУ‚Ф‡- ‰‡˛Ъ Т М‡Ф ‡‚ОВМЛflПЛ ОЛМЛИ Н Л‚ЛБМ˚ ФУ‚В ıМУТЪЛ ‚ ˝ЪУИ ЪУ˜НВ. д УПВ ЪУ„У, ·Ы‰ВП Т˜ЛЪ‡Ъ¸, ˜ЪУ ПУПВМЪ˚ ЛМВ ˆЛЛ A Ë C ЪВО‡ УЪМУТЛЪВО¸МУ „О‡‚М˚ı ˆВМЪ ‡О¸М˚ı УТВИ ЛМВ ˆЛЛ Gξ Ë Gζ ‡БОЛ˜М˚. нВО‡, ФУ‚В ıМУТЪЛ Л ‡ТФ В‰ВОВМЛВ П‡ТТ НУЪУ ˚ı У·О‡‰‡- ˛Ъ ЫН‡Б‡ММ˚ПЛ Т‚УИТЪ‚‡ПЛ, ЛМУ„‰‡ (‚ ‰ЛМ‡ПЛНВ ‚УО˜Н‡) М‡Б˚‚‡˛Ъ НВО¸ЪТНЛПЛ Н‡ПМflПЛ.

н‡НУВ М‡Б‚‡МЛВ ЫФУПflМЫЪ˚В ЪВО‡ ФУОЫ˜ЛОЛ, ФУ- ‚Л‰ЛПУПЫ, ФУЪУПЫ, ˜ЪУ Лı МВУ·˚˜МУВ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУВ ФУ‚В‰ВМЛВ ·˚ОУ УЪН ˚ЪУ Ф Л ‡ ıВУОУ„Л˜ВТНЛı ЛТТОВ‰У‚‡МЛflı ‰ В‚МЛı ЪУФУ У‚ Л ЪВТО, ЛПВ˛˘Лı Ъ‡- НУВ М‡Б‚‡МЛВ (УЪ О‡Ъ. celtis – ‰УОУЪУ). ЗУБПУКМУ, ˝ЪУ Ъ‡НКВ Т‚flБ‡МУ Т М‡Б‚‡МЛВП „ ЫФФ˚ ФОВПВМ (Celtae – НВО¸Ъ˚), М‡ТВОfl‚¯Лı ПМУ„ЛВ ‡ИУМ˚ б‡Ф‡‰МУИ Ц‚-УФ˚ ‚ I Ъ˚Тfl˜ВОВЪЛЛ ‰У М.˝.

иВ ‚УВ М‡Ы˜МУВ ТУУ·˘ВМЛВ У Б‡ПВ˜‡ЪВО¸М˚ı ‰Л- М‡ПЛ˜ВТНЛı Т‚УИТЪ‚‡ı НВО¸ЪТНУ„У Н‡ПМfl ФУfl‚ЛОУТ¸ ‚ НУМˆВ Ф У¯ОУ„У ‚ВН‡ [3]. лУУ·˘‡ОУТ¸ У МВНУЪУ-˚ı М‡·О˛‰‡ВП˚ı ‚ ˝НТФВ ЛПВМЪ‡ı НЫ ¸ВБМ˚ı ‰Л- М‡ПЛ˜ВТНЛı Т‚УИТЪ‚‡ı НВО¸ЪТНУ„У Н‡ПМfl. ЦТОЛ ˝ЪУЪ Н‡ПВМ¸ ФУПВТЪЛЪ¸ М‡ „У ЛБУМЪ‡О¸МЫ˛ ФОУТНУТЪ¸ Л Б‡Н ЫЪЛЪ¸ ‚ УФ В‰ВОВММУП М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ ‚УН Ы„ ‚В - ЪЛН‡О¸МУИ УТЛ, ЪУ УМ ПУКВЪ ЫТЪУИ˜Л‚У Ф У‰УОК‡Ъ¸ ˝ЪУ ‚ ‡˘ВМЛВ. ЦТОЛ КВ М‡Ф ‡‚ОВМЛВ М‡˜‡О¸МУ„У

‚ ‡˘ВМЛfl ЛБПВМЛЪ¸ М‡ Ф УЪЛ‚УФУОУКМУВ, ЪУ УМ ПУКВЪ ТНУ У ФВ ВТЪ‡Ъ¸ ‚ ‡˘‡Ъ¸Тfl, М‡˜МВЪ НУОВ·‡Ъ¸Тfl ‚УН Ы„ „У ЛБУМЪ‡О¸МУИ УТЛ, ‡ Б‡ЪВП ·ВБ ‡НЪЛ‚МУ„У ‚МВ¯МВ„У ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl М‡˜МВЪ ‚ ‡˘‡Ъ¸Тfl ‚ У· ‡Ъ- МУП М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ. З МВНУЪУ ˚ı ТОЫ˜‡flı ЛБПВМВМЛВ М‡Ф ‡‚ОВМЛfl ‚ ‡˘ВМЛfl М‡·О˛‰‡ВЪТfl Ф Л О˛·УП М‡- Ф ‡‚ОВМЛЛ М‡˜‡О¸МУ„У ‚ ‡˘ВМЛfl Л ‰‡КВ ПУКВЪ ФУ- ‚ЪУ flЪ¸Тfl ПМУ„УН ‡ЪМУ. дВО¸ЪТНЛИ Н‡ПВМ¸ У·О‡‰‡ВЪ В˘В Л Ъ‡НЛП ТЪ ‡ММ˚П Т‚УИТЪ‚УП: ВТОЛ ФУНУfl˘ЛИТfl М‡ ФОУТНУТЪЛ Н‡ПВМ¸ Ф Л‚ВТЪЛ Н НУОВ·‡МЛflП ‚УН Ы„ „У ЛБУМЪ‡О¸МУИ УТЛ, ЪУ ˝ЪЛ НУОВ·‡МЛfl Т ЪВ˜ВМЛВП ‚ ВПВМЛ ‚˚БУ‚ЫЪ В„У ‚ ‡˘ВМЛВ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡О¸МУИ УТЛ, Ф Л˜ВП М‡Ф ‡‚ОВМЛВ ‚ ‡˘ВМЛfl Б‡‚ЛТЛЪ УЪ У Л- ВМЪ‡ˆЛЛ УЪМУТЛЪВО¸МУ Н‡ПМfl ЪУИ УТЛ, ‚УН Ы„ НУЪУ-УИ ‚М‡˜‡ОВ Н‡ПВМ¸ НУОВ·‡ОТfl.

еМУ„У˜ЛТОВММ˚В ˝НТФВ ЛПВМЪ˚, Ф У‚В‰ВММ˚В Т ˆВО¸˛ ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl ‰ЛМ‡ПЛНЛ НВО¸ЪТНЛı Н‡ПМВИ, ФУ‰ У·МУ УФЛТ‡М˚ ‚ ФУФЫОfl МУИ ТЪ‡Ъ¸В [4], М‡ФЛ- Т‡ММУИ У‰МУЩ‡ПЛО¸ˆВП ‡‚ЪУ ‡ М‡Ы˜МУ„У ТУУ·˘В- МЛfl [3].

нВОУ, У·О‡‰‡˛˘ВВ Т‚УИТЪ‚‡ПЛ НВО¸ЪТНУ„У Н‡П- Мfl, МВЪ Ы‰МУ ТНУМТЪ ЫЛ У‚‡Ъ¸ ‰‡КВ ‚ ‰УП‡¯МЛı ЫТОУ‚Лflı. з‡Ф ЛПВ , В„У ПУКМУ Т‰ВО‡Ъ¸ ‚ ЩУ ПВ ФУОУ‚ЛМ˚ flИˆ‡ ( ЛТ. 1), М‡ ‚В ıМВП „У ЛБУМЪ‡О¸МУП Т ВБВ НУЪУ УИ Ф Л ФУПУ˘Л ‚ЛМЪ‡ Б‡Н ВФОВМ ТЪВ - КВМ¸, ‡ТФУОУКВММ˚И ФУ‰ МВНУЪУ ˚П Ы„ОУП Н Ф У- ‰УО¸МУИ УТЛ Т ВБ‡. иУТ В‰ТЪ‚УП ЛБПВМВМЛfl ˝ЪУ„У Ы„О‡ ПУКМУ ЛБПВМflЪ¸ ПУПВМЪ˚ ЛМВ ˆЛЛ A Ë C Ë Ì‡- Ô ‡‚ÎÂÌËfl „·‚Ì˚ı ÓÒÂÈ ËÌ ˆËË Gξ Ë Gζ Л ЪВП Т‡- П˚П ФУОЫ˜‡Ъ¸ НВО¸ЪТНЛВ Н‡ПМЛ Т ·УОВВ ЛОЛ ПВМВВВБНУ ‚˚ ‡КВММ˚ПЛ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛПЛ Т‚УИТЪ‚‡ПЛ, ı‡ ‡НЪВ М˚ПЛ ‰Оfl ˝ЪЛı Н‡ПМВИ.

иВ ‚УВ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУВ ЛТТОВ‰У‚‡МЛВ ‰‚ЛКВМЛfl Ъ‚В ‰˚ı ЪВО ЪЛФ‡ НВО¸ЪТНЛı Н‡ПМВИ ·˚ОУ Ф У‚В‰ВМУ ‚ НУМˆВ Ф У¯ОУ„У ‚ВН‡ ‡‚ЪУ УП ФВ ‚У„У М‡Ы˜МУ„У ТУУ·˘ВМЛfl [3] У НЫ ¸ВБМ˚ı Т‚УИТЪ‚‡ı НВО¸ЪТНУ„У Н‡ПМfl. ᇉ‡˜Ы ВТЪВТЪ‚ВММУ ‡ТТП‡Ъ Л‚‡Ъ¸ Т ‰‚Ыı ТЪУ УМ, ‡Б‰ВОflfl ‚УФ УТ У· ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ ЫТЪУИ˜Л- ‚УТЪЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У ‚ ‡˘ВМЛfl ЪВО‡ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛ- Н‡ОЛ Л ‚УФ УТ˚ ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl МВОЛМВИМ˚ı НУОВ·‡- МЛИ ЪВО‡ М‡ ФОУТНУТЪЛ.

êËÒ. 1. åÓ‰Âθ ÍÂθÚÒÍÓ„Ó Í‡ÏÌfl

млнйвуаЗйлнъ лнДсайзДкзйЙй ЗкДфЦзаь ЗйдкмЙ ЗЦкнадДга

ᇉ‡˜‡ У· ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У ‚ ‡˘В- МЛfl ЪВО‡ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ ТЪ У„У В¯ВМ‡ ‚ ‡·УЪ‡ı З.З. кЫПflМˆВ‚‡, а.л. АТЪ‡ФУ‚‡ Л А.З. д‡ ‡ФВЪflМ‡ (ТП. [5]), „‰В Ф В‰ФУО‡„‡ОУТ¸, ˜ЪУ ЪВОУ ‰‚ЛКВЪТfl ФУ ФОУТНУТЪЛ ·ВБ ТНУО¸КВМЛfl (‚ Ъ‡НУП ТОЫ˜‡В „У‚У flЪ, ˜ЪУ ФОУТНУТЪ¸ ‡·ТУО˛ЪМУ ¯В УıУ‚‡Ъ‡fl). аБЫ˜‡ОТfl Ъ‡НКВ ТОЫ˜‡И ‰‚ЛКВМЛfl ТУ ТНУО¸КВМЛВП. иУН‡Б‡МУ, ˜ЪУ Л Ф Л М‡ОЛ˜ЛЛ ‚flБНУ„У Ъ ВМЛfl ‚ МВНУЪУ ˚ı ТОЫ- ˜‡flı ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ УЪ М‡- Ф ‡‚ОВМЛfl ‚ ‡˘ВМЛfl ЪВО‡ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ.

З ТЪ‡Ъ¸В ‡ТТП‡Ъ Л‚‡ВЪТfl ТОЫ˜‡И ‡·ТУО˛ЪМУ ¯В-УıУ‚‡ЪУИ ФОУТНУТЪЛ.

С‚ЛКВМЛВ ЪВО‡ УЪМВТВП Н МВФУ‰‚ЛКМУИ ТЛТЪВПВ НУУ ‰ЛМ‡Ъ Oxyz Ò Ì‡˜‡ÎÓÏ ‚ ÚӘ͠O УФУ МУИ ФОУТНУТЪЛ z = 0 ( ËÒ. 2). éÒ¸ Oz М‡Ф ‡‚ОВМ‡ ‚В ЪЛН‡О¸МУ ‚‚В ı. лЛТЪВП‡ НУУ ‰ЛМ‡Ъ Gξηζ, УТЛ НУЪУ УИ М‡- Ф ‡‚ОВМ˚ ‚‰УО¸ „О‡‚М˚ı ˆВМЪ ‡О¸М˚ı УТВИ ЛМВ - ˆЛЛ ЪВО‡, КВТЪНУ Т‚flБ‡М‡ Т ЪВОУП. йТЛ В˘В У‰МУИ ФУ‰‚ЛКМУИ ТЛТЪВП˚ НУУ ‰ЛМ‡Ъ Gxyz ‚˚·Ë ‡˛ÚÒfl Ú‡Í, ˜ÚÓ·˚ ÓÌË ·˚ÎË Ô‡ ‡ÎÎÂθÌ˚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛- ˘ËÏ ÓÒflÏ ÌÂÔÓ‰‚ËÊÌÓ„Ó Ú Âı„ ‡ÌÌË͇ Oxyz. й Л- ВМЪ‡ˆЛ˛ ЪВО‡ ‚ Ф УТЪ ‡МТЪ‚В Б‡‰‡‰ЛП Ъ ВПfl Ы„О‡ПЛ щИОВ ‡ ψ,θ, ϕ: ψ – Ы„УО Ф ВˆВТТЛЛ, θ – Ы„УО МЫЪ‡ˆЛЛ, ϕ – Ы„УО ТУ·ТЪ‚ВММУ„У ‚ ‡˘ВМЛfl. ЙВУПВЪ Л˜ВТНЛИ ТП˚ТО ˝ЪЛı Ы„ОУ‚ flТВМ ЛБ ЛТ. 2. иВ ВıУ‰ УЪ ТЛТЪВП˚ НУУ ‰ЛМ‡Ъ Gxyz Н ТЛТЪВПВ Gξηζ УТЫ˘ВТЪ‚ОflВЪТfl Ф Л ФУПУ˘Л Ъ Вı ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸М˚ı ФУ‚У УЪУ‚: М‡ Ы„УО ψ ‚УН Ы„ УТЛ Gz (ФУТОВ ˝ЪУ„У ФУ‚У УЪ‡ УТ¸ Gx Б‡ИПВЪ ФУОУКВМЛВ, Б‡‰‡‚‡ВПУВ Ф flПУИ GN, НУЪУ Ы˛ М‡Б˚- ‚‡˛Ъ ОЛМЛВИ ЫБОУ‚), М‡ Ы„УО θ ‚УН Ы„ ОЛМЛЛ ЫБОУ‚ Л М‡ Ы„УО ϕ ‚УН Ы„ УТЛ Gζ.

н‚В ‰УВ ЪВОУ М‡ МВФУ‰‚ЛКМУИ ‡·ТУО˛ЪМУ ¯В У- ıУ‚‡ЪУИ ФОУТНУТЪЛ Ф В‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ Ъ‡Н М‡Б˚‚‡В- ПЫ˛ ТЛТЪВПЫ у‡ФО˚„ЛМ‡. СЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚В Ы ‡‚- МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl ‚ ЩУ ПВ, ‰‡ММУИ л.А. у‡ФО˚„ЛМ˚П, ·Ы‰ЫЪ УФЛТ˚‚‡Ъ¸ ЛБПВМВМЛВ Ы„ОУ‚ ψ,θ, ϕ ‚У ‚ ВПВМЛ. щЪЛ Ы ‡‚МВМЛfl ‚‚Л‰Ы „ УПУБ‰НУТЪЛ Б‰ВТ¸ МВ Ф Л‚У- ‰flЪТfl. йЪПВЪЛП ЪУО¸НУ, ˜ЪУ Ы„УО Ф ВˆВТТЛЛ ψ МВ ‚ıУ‰ЛЪ ‚ Ы ‡‚МВМЛfl ‰‚ЛКВМЛfl (‚ Ы ‡‚МВМЛflı ТУ‰В - К‡ЪТfl Ф УЛБ‚У‰М˚В ˝ЪУ„У Ы„О‡ ФУ ‚ ВПВМЛ) Л УМЛ ЛПВ˛Ъ ˜‡ТЪМУВ В¯ВМЛВ

щЪУ В¯ВМЛВ УЪ‚В˜‡ВЪ ‚ ‡˘ВМЛ˛ ЪВО‡ Т Ф УЛБ‚УО¸- МУИ ФУТЪУflММУИ ФУ ‚ВОЛ˜ЛМВ Ы„ОУ‚УИ ТНУ УТЪ¸˛ ‚УН Ы„ УТЛ Gη, Б‡МЛП‡˛˘ВИ ‚В ЪЛН‡О¸МУВ ФУОУКВМЛВ. и Л ˝ЪУП ЪВОУ ТУФ ЛН‡Т‡ВЪТfl Т ФОУТНУТЪ¸˛ ЪУ˜НУИ M0 Т‚УВИ ФУ‚В ıМУТЪЛ ( ЛТ. 3). ЗВОЛ˜ЛМ‡ ω ПУКВЪ ЛПВЪ¸ О˛·УИ БМ‡Н. и Л ω > 0 ЪВОУ ‚ ‡˘‡ВЪТfl Ф УЪЛ‚ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНЛ, Ф Л ω < 0 – ФУ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНВ (ВТОЛ ТПУЪ ВЪ¸ Т‚В ıЫ ТУ ТЪУ УМ˚ ФУОУКЛЪВО¸МУ„У М‡Ф ‡‚ОВМЛfl УТЛ Gη). и Л ω = 0 ЪВОУ ФУНУЛЪТfl УФЛ ‡flТ¸ М‡ ФОУТНУТЪ¸ ‚ ЪУ˜НВ M0 Т‚УВИ ФУ- ‚В ıМУТЪЛ. йФЛТ‡ММУВ ‰‚ЛКВМЛВ ЪВО‡ ‚ ‰‡О¸МВИ¯ВП ·Ы‰ВП М‡Б˚‚‡Ъ¸ МВ‚УБПЫ˘ВММ˚П ‰‚ЛКВМЛВП. С‚Л- КВМЛfl, ·ОЛБНЛВ Н МВПЫ, М‡Б˚‚‡˛ЪТfl ‚УБПЫ˘ВММ˚- ПЛ. и Л ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ ‚УБПЫ˘ВММ˚ı ‰‚ЛКВМЛИ ФУ- О‡„‡ВП, ˜ЪУ

„‰Â |xi | ! 1, i = 1, 2, 3.

СОfl ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У ‚ ‡˘ВМЛfl (1) Л ‡М‡ОЛБ‡ НУОВ·‡МЛИ ‚ В„У УН ВТЪМУТЪЛ

η (B)

ω

O2

‚Û˛˘ÂÈ r1 ( ËÒ. 3), ÓÌ ÓÚÒ˜ËÚ˚‚‡ÂÚÒfl ÓÚ ÓÒË Gζ Ô Ó- ÚË‚ ˜‡ÒÓ‚ÓÈ ÒÚ ÂÎÍË, ÂÒÎË ÒÏÓÚ ÂÚ¸ ̇‚ÒÚ Â˜Û ÓÒË Gη, Б‡МЛП‡˛˘ВИ ‚В ЪЛН‡О¸МУВ ФУОУКВМЛВ ‚ МВ‚УБПЫ˘ВММУП ‰‚ЛКВМЛЛ (1).

O1

(A)

G

ξ

(C)

êËÒ. 3. ЙВУПВЪ Лfl МВ‚УБПЫ˘ВММУ„У ТЪ‡ˆЛУМ‡ - МУ„У ‚ ‡˘ВМЛfl. M0 – ЪУ˜Н‡ Н‡Т‡МЛfl ЪВО‡ Л ФОУТНУТЪЛ, M0rj – ÎËÌËfl, ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘‡fl „·‚ÌÓÏÛ ‡-

‰ËÛÒÛ Í Ë‚ËÁÌ˚ rj , j = 1, 2; M0O1 = r1 , M0O2 = r2 ; ÓÒË Gζ Ë Gξ „У ЛБУМЪ‡О¸М˚ Л Ф‡ ‡ООВО¸М˚ УТflП M0ζ Ë

M0ξ; A, B Ë C – ПУПВМЪ˚ ЛМВ ˆЛЛ УЪМУТЛЪВО¸МУ УТВИ Gξ, Gη Ë Gζ

З ‡·УЪ‡ı З.З. кЫПflМˆВ‚‡, а.л. АТЪ‡ФУ‚‡ Л А.З. д‡ ‡ФВЪflМ‡ ФУН‡Б‡МУ, ˜ЪУ Ф Л ‚˚ФУОМВМЛЛ ЫТОУ‚ЛИ

ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУВ ‚ ‡˘ВМЛВ (1) ЫТЪУИ˜Л‚У, Ф Л˜ВП ‡ТЛПФЪУЪЛ˜ВТНЛ ФУ УЪМУ¯ВМЛ˛ Н ‚УБПЫ˘ВМЛflП ‚В-

΢ËÌ θ, θ˙, ϕ, ϕ˙, ψ˙. и Л ТЪ У„УП М‡ Ы¯ВМЛЛ ıУЪfl ·˚ У‰МУ„У ЛБ МВ ‡‚ВМТЪ‚ (4), (5) ‰‚ЛКВМЛВ (1) МВЫТЪУИ- ˜Л‚У.

зВ ‡‚ВМТЪ‚‡ (4) Б‡‰‡˛Ъ У„ ‡МЛ˜ВМЛfl М‡ ‡ТФ В- ‰ВОВМЛВ П‡ТТ ЪВО‡, „ВУПВЪ Л˛ В„У ФУ‚В ıМУТЪЛ Л ‚ВОЛ˜ЛМЫ Ы„ОУ‚УИ ТНУ УТЪЛ, ‡ МВ ‡‚ВМТЪ‚У (5) М‡- О‡„‡ВЪ У„ ‡МЛ˜ВМЛfl Л М‡ БМ‡Н Ы„ОУ‚УИ ТНУ УТЪЛ (М‡Ф ‡‚ОВМЛВ ‚ ‡˘ВМЛfl ЪВО‡). и Л ЫТЪУИ˜Л‚УП ‚ ‡- ˘ВМЛЛ ОЛМЛfl М‡ЛПВМ¸¯В„У ‡‰ЛЫТ‡ Н Л‚ЛБМ˚ ФУ- ‚В ıМУТЪЛ ЪВО‡ ‚ ЪУ˜НВ В„У Н‡Т‡МЛfl Т ФОУТНУТЪ¸˛ ‚ МВ‚УБПЫ˘ВММУП ‰‚ЛКВМЛЛ Л‰ВЪ ‚ФВ В‰Л „У ЛБУМ- Ъ‡О¸МУИ УТЛ, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ВИ ПВМ¸¯ВПЫ ЛБ „О‡‚- М˚ı ˆВМЪ ‡О¸М˚ı ПУПВМЪУ‚ ЛМВ ˆЛЛ. (ЦТОЛ r1 < r2 Ë C < A, ЪУ ЛТ. 3 ЛОО˛ТЪ Л ЫВЪ ТОЫ˜‡И ЫТЪУИ˜Л‚У„У ‚ ‡˘ВМЛfl.)

R = [(A + C − B + 2mh2)2 − (A + C − B + 2mh2)mh(r1 +

+r2) + m2h2r1r2]ω2 − (A + mh2)[(A − B)ω2 + m(h − l1)(g +

+ω2h)] − (C + mh2)[(C − B)ω2 + m(h − l2)(g + ω2h)],

S = (A − B)(C − B)ω4 + m(g + ω2h)ω2[A(h − l2) +

+ C(h − l1) − B(2h − r1 − r2)] + m2(g + ω2h)2(h − r1)(h − r2),

l = (r2 − r1)sinαcosα,

l1 = r1 sin2α + r2 cos2α, l2 = r1 cos2α + r2 sin2α.

á‰ÂÒ¸ m – χÒÒ‡ Ú·, g – ÛÒÍÓ ÂÌË ҂ӷӉÌÓ„Ó Ô‡‰Â- ÌËfl, A, B, C – ЫКВ ЫФУПЛМ‡‚¯ЛВТfl „О‡‚М˚В ˆВМЪ ‡О¸- М˚В ПУПВМЪ˚ ЛМВ ˆЛЛ, h – ‡ТТЪУflМЛВ УЪ ˆВМЪ ‡ ЪflКВТЪЛ G ‰У УФУ МУИ ФОУТНУТЪЛ ‚ МВ‚УБПЫ˘ВММУП ‰‚ЛКВМЛЛ (‰ОЛМ‡ УЪ ВБН‡ M0G), r1 Ë r2 – „О‡‚М˚В ‡- ‰ЛЫТ˚ Н Л‚ЛБМ˚ ФУ‚В ıМУТЪЛ ЪВО‡ ‚ ЪУ˜НВ M0 , α – Û„ÓÎ ÏÂÊ‰Û ÓÒ¸˛ Gζ Л ОЛМЛВИ Н Л‚ЛБМ˚, ТУУЪ‚ВЪТЪ-

й еДгхп дйгЦЕДзаьп З йдкЦлнзйлна лнДсайзДкзйЙй ЗкДфЦзаь

к‡ТТПУЪ ЛП У‰ЛМ ˜‡ТЪМ˚И ТОЫ˜‡И П‡О˚ı (ОЛМВИМ˚ı) НУОВ·‡МЛИ ЪВО‡ ‚·ОЛБЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У ‚ ‡- ˘ВМЛfl (1). иЫТЪ¸ ıУЪfl ·˚ У‰М‡ ЛБ ‚ВОЛ˜ЛМ ω, A − C, r2 − r1 , sin2α ‡‚̇ ÌÛβ. íÓ„‰‡ Q = 0 Ë Ì ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó

(5) МВ ‚˚ФУОМflВЪТfl. п‡ ‡НЪВ ЛТЪЛ˜ВТНУВ Ы ‡‚МВМЛВ

(3) ФУ-Ф ВКМВПЫ ЛПВВЪ У‰ЛМ МЫОВ‚УИ НУ ВМ¸, ‡ УТ- Ъ‡О¸М˚В ˜ВЪ˚ В НУ Мfl Ы‰У‚ОВЪ‚У fl˛Ъ ·ЛН‚‡‰ ‡ЪМУПЫ Ы ‡‚МВМЛ˛. иЫТЪ¸ ·ЛН‚‡‰ ‡ЪМУВ Ы ‡‚МВМЛВ ЛПВВЪ ‰‚В Ф‡ ˚ ˜ЛТЪУ ПМЛП˚ı НУ МВИ ±iω1 , ±iω2 , ω1 > > ω2 > 0. нУ„‰‡ ‚ ОЛМВИМУП Ф Л·ОЛКВМЛЛ ТЪ‡ˆЛУ- М‡ МУВ ‚ ‡˘ВМЛВ (1) ЫТЪУИ˜Л‚У, ‡ ЪВОУ ТУ‚В ¯‡ВЪ П‡О˚В НУОВ·‡МЛfl ‚·ОЛБЛ ˝ЪУ„У ‚ ‡˘ВМЛfl Т ‰‚ЫПfl ˜‡ТЪУЪ‡ПЛ ω1 Ë ω2 .

к‡ТТПУЪ ЛП НУ МЛ Ы ‡‚МВМЛfl (3) Ф Л П‡О˚ı Qω. З˚˜ЛТОВМЛfl ФУН‡Б˚‚‡˛Ъ, ˜ЪУ ‚ ФВ ‚УП Ф Л·ОЛКВМЛЛ

УЪМУТЛЪВО¸МУ Qω Û ÍÓ ÌÂÈ ±iωj , j = 1, 2, ФУПЛПУ ФУ- Ф ‡‚УН Н Лı ПМЛП˚П ˜‡ТЪflП ФУfl‚Оfl˛ЪТfl В˘В Л ‚В- ˘ВТЪ‚ВММ˚В ˜‡ТЪЛ σj , j = 1, 2:

D = (A + mh2)(C + mh2)(ω21 –ω22).

èÛÒÚ¸, Ì‡Ô ËÏ , Qω > 0, ÚÓ ÂÒÚ¸ Ì ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó (5) Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ó flÂÚÒfl. àÁ (6) ÚÓ„‰‡ ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ ÂÒÎË

ω22 < ω2 < ω21 , ÚÓ σj > 0, j = 1, 2, Л П‡О˚В НУОВ·‡МЛfl ЪВО‡, ·ОЛБНЛВ В„У ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУПЫ ‚ ‡˘ВМЛ˛ (1), ·Ы- ‰ЫЪ ˝НТФУМВМˆЛ‡О¸МУ Б‡ЪЫı‡Ъ¸; ВТОЛ 0 < ω2 < ω22 , ÚÓ σ1 < 0, σ2 > 0 Л ˝НТФУМВМˆЛ‡О¸МУ Б‡ЪЫı‡˛Ъ ‚˚ТУНУ˜‡- ТЪУЪМ˚В НУОВ·‡МЛfl (Т ˜‡ТЪУЪУИ ω1), ‡ МЛБНУ˜‡ТЪУЪ- М˚В (Т ˜‡ТЪУЪУИ ω2) ˝НТФУМВМˆЛ‡О¸МУ ‚УБ ‡ТЪ‡˛Ъ; ВТОЛ КВ ω2 > ω21 , ЪУ, М‡У·У УЪ, Б‡ЪЫı‡˛Ъ МЛБНУ˜‡Т- ЪУЪМ˚В НУОВ·‡МЛfl, ‡ ‚˚ТУНУ˜‡ТЪУЪМ˚В ‡ТЪЫЪ. и Л Qω < 0 ı‡ ‡НЪВ ‡Б‚ЛЪЛfl П‡О˚ı НУОВ·‡МЛИ ·Ы‰ВЪ Ф УЪЛ‚УФУОУКМ˚П.

икаЕгаЬЦззхЦ мкДЗзЦзаь зЦгазЦвзхп дйгЦЕДзав ЗЕгаба ийгйЬЦзаь кДЗзйЗЦлаь

иЫТЪ¸ ‚ ‰‚ЛКВМЛЛ (1) ω = 0, ЪУ ВТЪ¸ ЪВОУ ФУНУЛЪТfl М‡ ФОУТНУТЪЛ УФЛ ‡flТ¸ М‡ МВВ У‰МУИ Т‚УВИ ЪУ˜- НУИ M0 . зВУ·ıУ‰ЛП˚П Л ‰УТЪ‡ЪУ˜М˚П ЫТОУ‚ЛВП ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ˝ЪУ„У ФУОУКВМЛfl ‡‚МУ‚ВТЛfl ·Ы‰ВЪ, ТУ„О‡ТМУ З.З. кЫПflМˆВ‚Ы, ‚˚ФУОМВМЛВ МВ ‡‚ВМТЪ‚

r1 > h, r2 > h, (7)

ЪУ ВТЪ¸ ‡‚МУ‚ВТЛВ ЪВО‡ М‡ ‡·ТУО˛ЪМУ ¯В УıУ‚‡ЪУИ ФОУТНУТЪЛ ЫТЪУИ˜Л‚У ЪУ„‰‡ Л ЪУО¸НУ ЪУ„‰‡, НУ„‰‡ ˆВМЪ ЪflКВТЪЛ G Ú· ̇ıÓ‰ËÚÒfl ÌËÊ ӷÓËı „·‚- Ì˚ı ˆÂÌÚ Ó‚ Í Ë‚ËÁÌ˚ O1 Ë O2 ФУ‚В ıМУТЪЛ ЪВО‡ ‚ ЪУ˜НВ M0 В„У Н‡Т‡МЛfl Т УФУ МУИ ФОУТНУТЪ¸˛ ( ЛТ. 3).

л˜ЛЪ‡fl ЫТОУ‚Лfl (7) ‚˚ФУОМВММ˚ПЛ, ‡ТТПУЪ ЛП ‰‚ЛКВМЛВ ЪВО‡ ‚·ОЛБЛ ФУОУКВМЛfl ‡‚МУ‚ВТЛfl. З˚- ˜ЛТОВМЛfl ФУН‡Б˚‚‡˛Ъ, ˜ЪУ Ы ‡‚МВМЛfl ‚УБПЫ˘ВММУ- „У ‰‚ЛКВМЛfl ЛПВ˛Ъ ‚Л‰

(A + mh2)x˙˙= mg(h –l )x –mgl x + X ,

1 2 1 2 1

(C + mh2)x˙˙= –mgl x + mg(h –l )x + X , (8)

2 1 1 2 2

B x˙ = X ,

3 3

„‰Â ˜Â ÂÁ Xi , i = 1, 2, 3, У·УБМ‡˜ВМ‡ ТУ‚УНЫФМУТЪ¸ ˜ОВМУ‚ ‚˚¯В ФВ ‚УИ ТЪВФВМЛ УЪМУТЛЪВО¸МУ x j, x˙j , j = 1, 2, 3.

З ОЛМВ‡ ЛБУ‚‡ММУИ ТЛТЪВПВ (8) ФВ ‚˚В ‰‚‡ Ы ‡‚- МВМЛfl, УФЛТ˚‚‡˛˘ЛВ ЛБПВМВМЛВ ‚У ‚ ВПВМЛ Ы„ОУ‚ МЫЪ‡ˆЛЛ Л ТУ·ТЪ‚ВММУ„У ‚ ‡˘ВМЛfl, УЪ‰ВОfl˛ЪТfl УЪ Ъ ВЪ¸В„У Ы ‡‚МВМЛfl, УФЛТ˚‚‡˛˘В„У ‚ ‡˘ВМЛВ ЪВО‡ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ. аБПВМВМЛВ Ы„ОУ‚ МЫЪ‡ˆЛЛ Л ТУ·- ТЪ‚ВММУ„У ‚ ‡˘ВМЛfl ‚У ‚ ВПВМЛ ЛПВВЪ НУОВ·‡ЪВО¸-

Ì˚È ı‡ ‡ÍÚÂ Ò ‰‚ÛÏfl ˜‡ÒÚÓÚ‡ÏË Ω1 , Ω2 . ùÚË ˜‡ÒÚÓÚ˚ (Ω1 > Ω2 > 0) fl‚Îfl˛ÚÒfl ÍÓ ÌflÏË ·ËÍ‚‡‰ ‡ÚÌÓ„Ó Û ‡‚ÌÂÌËfl

(A + mh2)(C + mh2)Ω4 − mg[(A + mh2)(l1 − h) + + (C + mh2)(l2 − h)]Ω2 + m2g2(r1 − h)(r2 − h) = 0.

м ‡‚МВМЛfl ‚УБПЫ˘ВММУ„У ‰‚ЛКВМЛfl (8) Ф У˘В ЛТТОВ‰У‚‡Ъ¸, ВТОЛ Ф В‰‚‡ ЛЪВО¸МУ ЫФ УТЪЛЪ¸ Лı ОЛМВИМЫ˛ ˜‡ТЪ¸ Ф Л ФУПУ˘Л Б‡ПВМ˚ ФВ ВПВММ˚ı x1 , x2 , x3 y1 , y2 , y3 , Á‡‰‡‚‡ÂÏÓÈ ÙÓ ÏÛ·ÏË

x1 = u11y1 + u12y2 , x2 = u21y1 + u22y2 , x3 = y3 ,

u1j = kjmgl, u2j = kj[(A + mh2)Ω2j + mg(h − l2)], j = 1, 2,

k j = {(A + mh2)(mgl)2 + (C + mh2)[(A + mh2)Ω2j +

+mg(h –l2) ]2 }–1 ⁄ 2.

ÇМУ‚˚ı ФВ ВПВММ˚ı Ы ‡‚МВМЛfl ‚УБПЫ˘ВММУ„У ‰‚Л- КВМЛfl (8) Б‡ФЛ¯ЫЪТfl ‚ ‚Л‰В

„‰Â Yi , i = 1, 2, 3, Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛Ъ ТУ·УИ ТУ‚УНЫФМУТЪ¸

˜ОВМУ‚ ‚˚¯В ФВ ‚УИ ТЪВФВМЛ УЪМУТЛЪВО¸МУ y , y˙,

1 1

y , y˙, y .

2 2 3

ÖÒÎË ‚ (9) ÓÚ· ÓÒËÚ¸ ÙÛÌ͈ËË Yi , ЪУ ФУОЫ˜ЛП ОЛМВИМ˚В Ы ‡‚МВМЛfl, У·˘ВВ В¯ВМЛВ НУЪУ ˚ı ПУКВЪ ·˚Ъ¸ Б‡ФЛТ‡МУ ‚ ‚Л‰В

„‰Â ρ1 , ρ2 , ρ3 , β1 , β2 – ФУТЪУflММ˚В. ЗВОЛ˜ЛМ˚ ρ1 Ë ρ2 fl‚Оfl˛ЪТfl ‡ПФОЛЪЫ‰‡ПЛ ‚˚ТУНУ˜‡ТЪУЪМ˚ı (Т ˜‡ТЪУЪУИ Ω1) Л МЛБНУ˜‡ТЪУЪМ˚ı (Т ˜‡ТЪУЪУИ Ω2) ÍÓη‡ÌËÈ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ. ë˜ËÚ‡ÂÏ, ˜ÚÓ ρj $ 0, j = 1, 2.

ÖÒÎË Ê ‚ Û ‡‚ÌÂÌËflı (9) Û˜ÂÒÚ¸ ‚Â΢ËÌ˚ Yi , ЪУВ¯ВМЛВ ТМУ‚‡ ПУКМУ ЛТН‡Ъ¸ ‚ ‚Л‰В (10), Т˜ЛЪ‡fl ЪВФВ ¸ ЫКВ ρ1 , ρ2 , ρ3 , β1 , β2 МВ ФУТЪУflММ˚ПЛ ‚ВОЛ˜Л- М‡ПЛ, ‡ МВЛБ‚ВТЪМ˚ПЛ ЩЫМНˆЛflПЛ ‚ ВПВМЛ. З˚- ˜ЛТОВМЛfl ФУН‡Б˚‚‡˛Ъ, ˜ЪУ Ф Л·ОЛКВММ‡fl ТЛТЪВП‡ Ы ‡‚МВМЛИ, НУЪУ УИ Ы‰У‚ОВЪ‚У fl˛Ъ ˝ЪЛ ЩЫМНˆЛЛ, ·Ы‰ВЪ Ъ‡НУИ:

γ(A –C)mh(r2 –r1)sinαcosα

=-----------------------------------------------------------------------------. 2(A + mh2)(C + mh2)(Ω21 –Ω22)

Ç(11) УЪ· У¯ВМ˚ ˜ОВМ˚ ‚˚¯В ФВ ‚УИ, ‡ ‚ (12) – ‚˚- ¯В ‚ЪУ УИ ТЪВФВМЛ УЪМУТЛЪВО¸МУ ρk , k = 1, 2, 3.

м ‡‚МВМЛfl (11) УЪ‰ВОfl˛ЪТfl УЪ Ы ‡‚МВМЛИ (12) Л Т ‡БЫ ЛМЪВ„ Л Ы˛ЪТfl. иУОЫ˜‡ВП βj(t) = βj(0) = const. лЛТЪВП‡ КВ (12) УФЛТ˚‚‡ВЪ ˝‚УО˛ˆЛ˛ ‡ПФОЛЪЫ‰ ρ1 Ë ρ2 ‚˚ТУНУ- Л МЛБНУ˜‡ТЪУЪМ˚ı НУОВ·‡МЛИ Л Ы„ОУ‚УИ ТНУ УТЪЛ ρ3 ‚ ‡˘ВМЛfl ЪВО‡ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ. йМ‡ fl‚ОflВЪТfl УТМУ‚МУИ Ф Л ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ МВОЛМВИМ˚ı НУОВ·‡МЛИ ЪВО‡ ‚·ОЛБЛ В„У ‡‚МУ‚ВТЛfl М‡ ФОУТНУТЪЛ.

зЦгазЦвзхЦ дйгЦЕДзаь дЦгънлдйЙй дДезь

зВФУТ В‰ТЪ‚ВММУИ Ф У‚В НУИ ПУКМУ Ы·В‰ЛЪ¸Тfl, ˜ЪУ ТЛТЪВП‡ Ы ‡‚МВМЛИ (12) ЛПВВЪ ЛМЪВ„ ‡О˚

„‰В µ Л ν – ФУТЪУflММ˚В, УФ В‰ВОflВП˚В ЛБ М‡˜‡О¸М˚ı ЫТОУ‚ЛИ.

н ‡ВНЪУ ЛЛ ТЛТЪВП˚ (12) Ф В‰ТЪ‡‚ОВМ˚ М‡ ЛТ. 4

‚ Ú ÂıÏ ÌÓÏ Ô ÓÒÚ ‡ÌÒÚ‚Â ρ1 , ρ2 , ρ3 . йМЛ ‡ТФУОУКВМ˚ ‚ У·О‡ТЪЛ ρ1 $ 0, ρ2 $ 0 Ë Ô Â‰ÒÚ‡‚Îfl˛Ú ÒÓ·ÓÈ

ρ3 μ

P1

A2 ρ2

A P3

ρ1

P2 −μ

êËÒ. 4. д ‡М‡ОЛБЫ МВОЛМВИМ˚ı НУОВ·‡МЛИ.

Aj = µ BΩ–j 1 , j = 1, 2; Б‡¯Ъ ЛıУ‚‡М‡ ФОУТНУТЪ¸

ρ1Ω21 = ρ2Ω22

Н Л‚˚В, fl‚Оfl˛˘ЛВТfl ФВ ВТВ˜ВМЛВП ФУ‚В ıМУТЪЛ ˝ООЛФТУЛ‰‡ (13) Л ˆЛОЛМ‰ Л˜ВТНУИ ФУ‚В ıМУТЪЛ (14). и Л Б‡‰‡ММУП БМ‡˜ВМЛЛ ФУТЪУflММУИ µ ‚ВОЛ˜Л- М‡ ν ‰УОКМ‡ Ы‰У‚ОВЪ‚У flЪ¸ МВ ‡‚ВМТЪ‚‡П

è Ë ν > ν* ‰‚ЛКВМЛВ МВ‚УБПУКМУ. тЪ ЛıУ‚НУИ М‡ЛТ. 4 ФУН‡Б‡М‡ ФОУТНУТЪ¸ ρ1Ω21 = ρ2Ω22 , М‡ НУЪУ УИ У· ‡˘‡ВЪТfl ‚ МЫО¸ Ф ‡‚‡fl ˜‡ТЪ¸ Ъ ВЪ¸В„У Ы ‡‚МВМЛfl ТЛТЪВП˚ (12). н ‡ВНЪУ ЛЛ ТЛППВЪ Л˜М˚ УЪМУТЛЪВО¸МУ ФОУТНУТЪЛ ρ3 = 0. з‡Ф ‡‚ОВМЛВ ‰‚ЛКВМЛfl ФУ Ъ ‡ВНЪУ ЛflП ФУН‡Б‡МУ ТЪ ВОН‡ПЛ. з‡ ЛТ. 4 Ф В‰- ТЪ‡‚ОВМ ТОЫ˜‡И γ > 0; Ф Л γ < 0 М‡Ф ‡‚ОВМЛВ ‰‚ЛКВМЛfl ЛБПВМЛЪТfl М‡ У· ‡ЪМУВ.

йТЪ‡МУ‚ЛПТfl ФУ‰ У·МУ М‡ Т‚УИТЪ‚‡ı В¯ВМЛИ ТЛТЪВП˚ (12) Л Лı Т‚flБЛ Т ı‡ ‡НЪВ УП ‰‚ЛКВМЛfl

НВО¸ЪТНУ„У Н‡ПМfl ФУ ФОУТНУТЪЛ. нУ˜НЛ P1 = (0, 0, µ), P2 = (0, 0, −µ), P3 = (ρ01, ρ02, 0) ̇ ËÒ. 4 fl‚Îfl˛ÚÒfl ÓÒÓ-

·˚ПЛ ЪУ˜Н‡ПЛ ТЛТЪВП˚ (12). нУ˜Н‡П P1 Ë P2 УЪ‚В˜‡˛Ъ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚В ‚ ‡˘ВМЛfl ЪВО‡ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ Ф УЪЛ‚ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНЛ Т Ы„ОУ‚УИ ТНУ-УТЪ¸˛ µ Л ФУ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНВ Т Ы„ОУ‚УИ ТНУ УТЪ¸˛ −µ. й·‡ ˝ЪЛı ‚ ‡˘ВМЛfl МВЫТЪУИ˜Л‚˚, ˜ЪУ ЛОО˛ТЪ Л-ЫВЪТfl ЛТ. 4 Л М‡ıУ‰ЛЪТfl ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т УЪПВ˜‡‚- ¯ВИТfl ‚˚¯В МВЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸˛ (Ф Л γ 0) ТЪ‡ˆЛУ- М‡ МУ„У ‚ ‡˘ВМЛfl (1) Ф Л ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ П‡О˚ı |ω|.

íӘ͠P3 УЪ‚В˜‡˛Ъ ЫТЪУИ˜Л‚˚В НУОВ·‡МЛfl ЪВО‡ Т ‰‚ЫПfl ˜‡ТЪУЪ‡ПЛ Ω1 Ë Ω2 . è Ë ˝ÚÓÏ ν = ν*, ‡

СОfl Ъ‡НЛı НУОВ·‡МЛИ МВ М‡·О˛‰‡˛ЪТfl ˝ЩЩВНЪ˚, ı‡-‡НЪВ М˚В ‰Оfl НВО¸ЪТНЛı Н‡ПМВИ: НУОВ·‡МЛfl ‚УН Ы„ „У ЛБУМЪ‡О¸М˚ı УТВИ МВ ‚˚Б˚‚‡˛Ъ ‚ ‡˘ВМЛfl ЪВО‡ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ (ρ3 ≡ 0).

лЛТЪВП‡ Ы ‡‚МВМЛИ (12) ЛПВВЪ ‰‚‡ ТОВ‰Ы˛˘Лı ˜‡ТЪМ˚ı В¯ВМЛfl, ‚ НУЪУ ˚ı ρ1 ËÎË ρ2 ÚÓʉÂÒÚ‚ÂÌÌÓ‡‚Ì˚ ÌÛβ:

щЪЛ В¯ВМЛfl М‡ ЛТ. 4 Ф В‰ТЪ‡‚ОВМ˚ ‡ТЛПФЪУЪЛ˜ВТНЛПЛ Ъ ‡ВНЪУ ЛflПЛ, ТУВ‰ЛМfl˛˘ЛПЛ УТУ·˚В ЪУ˜НЛ

P1 Ë P2 .

кВ¯ВМЛВ (15) УЪ‚В˜‡ВЪ Ъ‡НЛП ‰‚ЛКВМЛflП ЪВО‡, НУ„‰‡ УМУ, ‚ ‡˘‡flТ¸ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ, ТУ‚В ¯‡ВЪ МЛБНУ˜‡ТЪУЪМ˚В НУОВ·‡МЛfl Т ˜‡ТЪУЪУИ Ω2 . ÖÒÎË ρ3(0) # 0, ЪУ ВТЪ¸ ‚ М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ЪВОУ ОЛ·У ТУ‚- ТВП МВ Б‡Н Ы˜ВМУ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ, ОЛ·У Б‡Н Ы˜ВМУ ФУ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНВ, ЪУ Т ЪВ˜ВМЛВП ‚ ВПВМЛ ‡ПФОЛЪЫ‰‡ НУОВ·‡МЛИ ρ2 ПУМУЪУММУ Ы·˚‚‡ВЪ (Ф Л γ > 0, Н‡Н М‡ ЛТ. 4) УЪ ВВ М‡˜‡О¸МУ„У БМ‡˜ВМЛfl ρ2(0) ‰У МЫОfl, ‡ Ы„ОУ‚‡fl ТНУ УТЪ¸ ‚УБ ‡ТЪ‡ВЪ ФУ ПУ‰ЫО˛. З Ф В‰ВОВ ЪВОУ ТУ‚В ¯‡ВЪ ˜ЛТЪУВ ‚ ‡˘ВМЛВ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ ФУ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНВ Т Ы„ОУ‚УИ ТНУ УТЪ¸˛ −µ. ЦТОЛ КВ ρ3(0) > 0, ЪУ ВТЪ¸ ‚ М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ЪВОУ Б‡Н Ы˜ВМУ Ф УЪЛ‚ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНЛ, ЪУ Ф В‰ВО¸МУВ ‰‚ЛКВМЛВ ЪВО‡ ·Ы‰ВЪ Ъ‡НЛП КВ, Н‡Н Л Ф Л ρ3(0) # 0, МУ ˝‚УО˛- ˆЛfl ‰‚ЛКВМЛfl ТЫ˘ВТЪ‚ВММУ ЛМ‡fl. и Л 0 < t < t* = −e1 ‡ПФОЛЪЫ‰‡ НУОВ·‡МЛИ ρ2 ПУМУЪУММУ ‚УБ ‡ТЪ‡ВЪ, ‡ ЪВОУ ‚ ‡˘‡ВЪТfl ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ Ф УЪЛ‚ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНЛ Т ЫПВМ¸¯‡˛˘ВИТfl Ы„ОУ‚УИ ТНУ УТЪ¸˛. З ПУПВМЪ t = t* Ы„ОУ‚‡fl ТНУ УТЪ¸ У· ‡˘‡ВЪТfl ‚ МЫО¸, ‡ ‡ПФОЛЪЫ‰‡ НУОВ·‡МЛИ ρ2 ‰ÓÒÚË„‡ÂÚ Ò‚ÓÂ„Ó Ï‡ÍÒË- χθÌÓ„Ó Á̇˜ÂÌËfl A2 . è Ë t > t* ЪВОУ ЫКВ ‚ ‡˘‡ВЪТfl ФУ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНВ Т ‚УБ ‡ТЪ‡˛˘ВИ ФУ ПУ‰ЫО˛ Ы„- ОУ‚УИ ТНУ УТЪ¸˛, ‡ ‡ПФОЛЪЫ‰‡ НУОВ·‡МЛИ ПУМУЪУММУ Ы·˚‚‡ВЪ. н‡НЛП У· ‡БУП, Ф Л ρ3(0) > 0 Б‡ ‚ ВПfl ˝‚УО˛ˆЛЛ ‰‚ЛКВМЛfl У‰ЛМ ‡Б Ф УЛТıУ‰ЛЪ ТПВМ‡ М‡- Ф ‡‚ОВМЛfl ‚ ‡˘ВМЛfl ЪВО‡ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ.

кВ¯ВМЛВ (16) УФЛТ˚‚‡ВЪ ‰‚ЛКВМЛfl, ‚ НУЪУ ˚ı ЪВОУ, ‚ ‡˘‡flТ¸ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ, ТУ‚В ¯‡ВЪ ‚˚ТУНУ˜‡ТЪУЪМ˚В НУОВ·‡МЛfl. АМ‡ОЛБ ˝‚УО˛ˆЛЛ ‰‚ЛКВМЛfl ‡М‡ОУ„Л˜ВМ Ф В‰˚‰Ы˘ВПЫ ТОЫ˜‡˛. и В‰ВО¸М˚П ‰‚ЛКВМЛВП Б‰ВТ¸ ·Ы‰ВЪ ˜ЛТЪУВ ‚ ‡˘ВМЛВ ‚УН Ы„ ‚В - ЪЛН‡ОЛ Ф УЪЛ‚ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНЛ Т Ы„ОУ‚УИ ТНУ У- ТЪ¸˛ µ. ЦТОЛ ‚ М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ ЪВОУ Б‡- Н Ы˜ВМУ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ ФУ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНВ, ЪУ Ф Л t = −e2 Ф УЛТıУ‰ЛЪ ТПВМ‡ М‡Ф ‡‚ОВМЛfl ‚ ‡˘В- МЛfl. З ˝ЪУЪ ПУПВМЪ ‡ПФОЛЪЫ‰‡ НУОВ·‡МЛИ ρ1 ‰ÓÒÚË- „‡ÂÚ Ò‚ÓÂ„Ó Ï‡ÍÒËχθÌÓ„Ó Á̇˜ÂÌËfl A1 .

к‡ТТПУЪ ЛП ЪВФВ ¸ В¯ВМЛfl ТЛТЪВП˚ (12), УЪОЛ˜М˚В УЪ УТУ·˚ı ЪУ˜ВН P1 , P2 , P3 Л В¯ВМЛИ (15), (16). аБ ЛМЪВ„ ‡ОУ‚ (13), (14) ЛПВВП

èÓ‰ÒÚ‡‚Ë‚ ρ3 ЛБ (17) ‚ ФВ ‚УВ Ы ‡‚МВМЛВ ТЛТЪВП˚ (12) Л ‡Б‰ВОЛ‚ ФВ ВПВММ˚В, ФУОЫ˜ЛП

ÖÒÎË ÓÚÒ˛‰‡ ̇ȉÂ̇ ÙÛÌ͈Ëfl ρ1(t), ÚÓ ρ2(t) Ë ρ3(t) М‡ıУ‰flЪТfl ЛБ ТУУЪМУ¯ВМЛИ (17).

з‡ИЪЛ ‚ fl‚МУП ‚Л‰В ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТНЫ˛ Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ ρ1(t) ‚ У·˘ВП ТОЫ˜‡В МВ‚УБПУКМУ. зУ Н‡˜ВТЪ‚ВММ˚И ı‡ ‡НЪВ ‰‚ЛКВМЛfl ПУКМУ ФУОЫ˜ЛЪ¸ МВФУТ В‰ТЪ- ‚ВММУ ЛБ ТЛТЪВП˚ Ы ‡‚МВМЛИ (12). иЫТЪ¸, М‡Ф ЛПВ , ‚ М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ Ф ‡‚‡fl ˜‡ТЪ¸ Ъ ВЪ¸В„У Ы ‡‚МВМЛfl ТЛТЪВП˚ (12) Л ‚ВОЛ˜ЛМ‡ ρ3 ФУОУКЛЪВО¸- М˚. д‡ ЪЛМ‡ ‰‚ЛКВМЛfl ·Ы‰ВЪ Ъ‡НУИ (ТП. ЛТ. 4). и Л t > 0 ÚÂÎÓ ‚Ò ·˚ÒÚ Â ‚ ‡˘‡ÂÚÒfl ‚ÓÍ Û„ ‚ ÚË͇ÎË Ô ÓÚË‚ ˜‡ÒÓ‚ÓÈ ÒÚ ÂÎÍË (ρ3 ‡ТЪВЪ). и Л ˝ЪУП ‡ПФОЛЪЫ‰‡ ρ1 ‚˚ТУНУ˜‡ТЪУЪМ˚ı НУОВ·‡МЛИ ЫПВМ¸¯‡ВЪТfl, ‡ ‡ПФОЛЪЫ‰‡ ρ2 МЛБНУ˜‡ТЪУЪМ˚ı НУОВ·‡МЛИ Ы‚В- ОЛ˜Л‚‡ВЪТfl. щЪУ Ф Л‚В‰ВЪ ‚ НУМˆВ НУМˆУ‚ Н ЪУПЫ, ˜ЪУ Ф ‡‚‡fl ˜‡ТЪ¸ Ъ ВЪ¸В„У Ы ‡‚МВМЛfl ТЛТЪВП˚ (12) У· ‡ЪЛЪТfl ‚ МЫО¸. з‡ ЛТ. 4 ˝ЪУ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ ПУПВМЪЫ, НУ„‰‡ Ъ ‡ВНЪУ Лfl ФВ ВТВН‡ВЪ ФОУТНУТЪ¸

ρ1Ω21 = ρ2Ω22 . З ˝ЪУЪ ПУПВМЪ Ы„ОУ‚‡fl ТНУ УТЪ¸ ρ3 ‚ ‡˘ВМЛfl ЪВО‡ ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ ‰УТЪЛ„‡ВЪ П‡НТЛ- П‡О¸МУ„У БМ‡˜ВМЛfl Л ‚ТОВ‰ Б‡ ˝ЪЛП ПУПВМЪУП М‡˜Л- М‡ВЪ Ы·˚‚‡Ъ¸ УТЪ‡‚‡flТ¸ ФУОУКЛЪВО¸МУИ (ЪВОУ Ф У- ‰УОК‡ВЪ ‚ ‡˘‡Ъ¸Тfl ‚УН Ы„ ‚В ЪЛН‡ОЛ Ф УЪЛ‚ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНЛ). и Л ˝ЪУП ρ1 ФУ-Ф ВКМВПЫ ЫПВМ¸- ¯‡ВЪТfl, ‡ ρ2 ‡ÒÚÂÚ. ùÚÓ Ô Ó‰ÓÎʇÂÚÒfl ‰Ó ÚÂı ÔÓ , ÔÓ- ͇ Û„ÎÓ‚‡fl ÒÍÓ ÓÒÚ¸ ρ3 МВ У· ‡ЪЛЪТfl ‚ МЫО¸. З ˝ЪУЪ ПУПВМЪ ρ1 Ë ρ2 ‰УТЪЛ„‡˛Ъ Т‚УЛı ПЛМЛП‡О¸МУ„У Л П‡НТЛП‡О¸МУ„У БМ‡˜ВМЛИ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ, ‡ ‰‡ОВВ ρ1 ̇˜Ë̇ÂÚ ‚ÓÁ ‡ÒÚ‡Ú¸, ‡ ρ2 – Ы·˚‚‡Ъ¸, ‡ ЪВОУ ‚ ‡˘‡ВЪТfl ЫКВ ‚ У· ‡ЪМУП М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ ФУ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНВ (ρ3 < 0) ÒÓ ‚Ò‚ÓÁ ‡ÒÚ‡˛˘ÂÈ ÔÓ ÏÓ‰Ûβ Û„ÎÓ‚ÓÈ ÒÍÓ-ÓÒÚ¸˛. ì·˚‚‡ÌË ρ2 Ë ‚ÓÁ ‡ÒÚ‡ÌË ρ1 Ф Л‚В‰ЫЪ Н ЪУПЫ, ˜ЪУ Ф ‡‚‡fl ˜‡ТЪ¸ Ъ ВЪ¸В„У Ы ‡‚МВМЛfl ТЛТЪВП˚ (12) ТМУ‚‡ У· ‡ЪЛЪТfl ‚ МЫО¸ (М‡ ЛТ. 4 Ъ ‡ВНЪУ Лfl

ТМУ‚‡ ФВ ВТВ˜ВЪ ФОУТНУТЪ¸ ρ1Ω21 = ρ2Ω22 , ÌÓ ÛÊ ‚ ӷ·ÒÚË ÓÚ Ëˆ‡ÚÂθÌ˚ı Á̇˜ÂÌËÈ ρ3). З ˝ЪУЪ ПУПВМЪ ‰УТЪЛ„‡ВЪТfl М‡Л·УО¸¯‡fl ФУ ПУ‰ЫО˛ Ы„ОУ‚‡fl ТНУ-УТЪ¸ ‚ ‡˘ВМЛfl ЪВО‡ ФУ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНВ Л ‚ТОВ‰ Б‡ ˝ЪЛП М‡˜МВЪТfl Б‡ПВ‰ОВМЛВ ‚ ‡˘ВМЛfl ЪВО‡. и Л ˝ЪУП ρ1 Ô Ó‰ÓÎʇÂÚ ‚ÓÁ ‡ÒÚ‡Ú¸, ‡ ρ2 – Û·˚‚‡Ú¸. í‡Í Ô Ó- ‰ÓÎʇÂÚÒfl ‰Ó ÚÂı ÔÓ , ÔÓ͇ ρ3 Ì ӷ ‡ÚËÚÒfl ‚ ÌÛθ, ÍÓ„‰‡ ρ1 Ë ρ2 ‰УТЪЛ„‡˛Ъ Т‚УЛı П‡НТЛП‡О¸МУ„У Л ПЛМЛП‡О¸МУ„У БМ‡˜ВМЛИ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ, ‡ ЪВОУ ЛБПВМflВЪ ‚ ‡˘ВМЛВ Т М‡Ф ‡‚ОВМЛfl ФУ ˜‡ТУ‚УИ ТЪ ВОНВ М‡ У· ‡ЪМУВ. З ‰‡О¸МВИ¯ВП Н‡ ЪЛМ‡ ‰‚ЛКВМЛfl ·Ы‰ВЪ ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛ ФУ‚ЪУ flЪ¸Тfl. йФЛТ‡ММУПЫ ˆЛНОЫ ‰‚ЛКВМЛfl М‡ ЛТ. 4 ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ Б‡ПНМЫЪ‡fl Ъ ‡ВНЪУ Лfl. иВ ЛУ‰ НУОВ·‡МЛИ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ М‡И‰ВМ ЛБ Ы ‡‚МВМЛfl (18).

иУОЫ˜ВММ˚В ВБЫО¸Ъ‡Ъ˚ М‡ıУ‰flЪТfl ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ- ‚ЛЛ Т УЪПВ˜ВММ˚ПЛ ‚ ˝НТФВ ЛПВМЪ‡ı [3, 4] МВУ- ·˚˜М˚ПЛ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛПЛ Т‚УИТЪ‚‡ПЛ НВО¸ЪТНУ„У Н‡ПМfl М‡ „У ЛБУМЪ‡О¸МУИ ФОУТНУТЪЛ Л ‰‡˛Ъ ЛП Н‡- ˜ВТЪ‚ВММУВ У·˙flТМВМЛВ.

бДдгыуЦзаЦ

ᇉ‡˜Л У Н‡˜ВМЛЛ ЪВО‡ ФУ Ъ‚В ‰УИ ФУ‚В ıМУТЪЛ У·˚˜МУ Ф Л‚У‰flЪ Н МВУ·ıУ‰ЛПУТЪЛ ЛБЫ˜ВМЛfl Ъ‡Н М‡- Б˚‚‡ВП˚ı МВ„УОУМУПМ˚ı ТЛТЪВП. и УТЪВИ¯ЛП Ф Л- ПВ УП МВ„УОУМУПМУИ ТЛТЪВП˚ fl‚ОflВЪТfl ¯‡ , ‰‚ЛКЫ- ˘ЛИТfl ·ВБ ТНУО¸КВМЛfl ФУ ФОУТНУТЪЛ. аТТОВ‰У‚‡МЛfl ‰ЛМ‡ПЛНЛ Н‡Ъfl˘В„УТfl ЪВО‡ ‚У ПМУ„УП УФ В‰ВОЛОЛ‡Б‚ЛЪЛВ ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТНУИ ПВı‡МЛНЛ МВ„УОУМУПМ˚ı ТЛТЪВП ‚ НУМˆВ XIX – М‡˜‡ОВ XX ‚ВН‡. еУКМУ ТН‡- Б‡Ъ¸, ˜ЪУ ‰Оfl ‡Б‚ЛЪЛfl МВ„УОУМУПМУИ ПВı‡МЛНЛ Б‡‰‡- ˜‡ У ‰‚ЛКВМЛЛ Ъ‚В ‰У„У ЪВО‡ ФУ ФУ‚В ıМУТЪЛ ‰ Ы„У„У ЪВО‡ ЛПВВЪ Ъ‡НУВ КВ (ЛОЛ ‡М‡ОУ„Л˜МУВ) БМ‡˜ВМЛВ, Н‡- НУВ ЛПВО‡ Л ЛПВВЪ Б‡‰‡˜‡ Ъ Вı ЪВО ‰Оfl ‡Б‚ЛЪЛfl ПВЪУ‰У‚ МВ·ВТМУИ ПВı‡МЛНЛ.

к‡Б‚ЛЪЛВ ЪВУ ЛЛ Н‡˜ВМЛfl Ъ‚В ‰˚ı ЪВО ФУБ‚УОЛОУ ‰‡Ъ¸ „ОЫ·УНЛИ ‡М‡ОЛБ Ф ЛОУКВМЛfl ˝ЪУИ ЪВУ ЛЛ ‚ ЪВıМЛНВ. л˛‰‡ УЪМУТЛЪТfl Ф ВК‰В ‚ТВ„У ‡ТТПУЪ В- МЛВ ‚УФ УТУ‚ ‰ЛМ‡ПЛНЛ КВОВБМУ‰У УКМУ„У ТУТЪ‡- ‚‡, ‡‚ЪУПУ·ЛОfl, ПУЪУˆЛНО‡, ‚ВОУТЛФВ‰‡.

нВУ Лfl ‰‚ЛКВМЛfl ЪВО‡, ТУФ ЛН‡Т‡˛˘В„УТfl Т ФУ- ‚В ıМУТЪ¸˛ ‰ Ы„У„У ЪВО‡, Л ТВ„У‰Мfl МВ ФУЪВ flО‡ Т‚У- В„У БМ‡˜ВМЛfl ‰Оfl Ф ЛОУКВМЛИ ‚ П‡¯ЛМУТЪ УВМЛЛ, Ф Л·У УТЪ УВМЛЛ, Ъ ‡МТФУ ЪВ. йМ‡ Ъ‡НКВ ФУ-Ф ВКМВПЫ ТЪЛПЫОЛ ЫВЪ ‡Б‚ЛЪЛВ ПВЪУ‰У‚ ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТНУИ ПВı‡МЛНЛ, ЪВУ ЛЛ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ‰‚ЛКВМЛfl Л ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУИ „ВУПВЪ ЛЛ.

ЕУОВВ ФУ‰ У·МУ Т Ф У·ОВП‡ПЛ ‰ЛМ‡ПЛНЛ ЪВО, ТУ- Ф ЛН‡Т‡˛˘ЛıТfl Т Ъ‚В ‰УИ ФУ‚В ıМУТЪ¸˛, ПУКМУ ФУБМ‡НУПЛЪ¸Тfl ФУ ВНУПВМ‰ЫВПУИ МЛКВ ОЛЪВ ‡ЪЫ В.

ганЦкДнмкД

1.ëË‚ÛıËÌ Ñ.Ç. й·˘ЛИ НЫ Т ЩЛБЛНЛ. е.: з‡ЫН‡, 1989. н. 1: еВı‡МЛН‡. 576 Т.

2.èÂ Ë ÑÊ. З ‡˘‡˛˘ЛИТfl ‚УО˜УН. е.; г.: ЙО. В‰. М‡Ы˜.-ФУФЫО. Л ˛МУ¯. ОЛЪ., 1935. 92 Т.

3.Walker G.T. On a Curious Dynamical Property of Celts // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1895. Vol. 8, Pt. 5. P. 305–306.

4.Walker J. The Mysterious “Rattleback”: A Stone That Spins in One Direction and Then Reverses // Sci. Amer. 1979. Vol. 241, ‹ 4. P. 144–149.

5.ä‡ ‡ÔÂÚflÌ А.Ç., êÛÏfl̈‚ Ç.Ç. мТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ НУМТВ - ‚‡ЪЛ‚М˚ı Л ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚ı ТЛТЪВП // аЪУ„Л М‡ЫНЛ Л ЪВıМЛНЛ. й·˘‡fl ПВı‡МЛН‡. е.: Зазана. 1983. н. 6.

131Ò.

6.çÂÈχ Í û.à., îÛه‚ ç.А. СЛМ‡ПЛН‡ МВ„УОУМУП- М˚ı ТЛТЪВП. е.: з‡ЫН‡, 1967. 519 Т.

7.å‡ Í‚ А.è. ÑË̇ÏË͇ Ú·, ÒÓÔ Ë͇҇˛˘Â„ÓÒfl Ò Ú‚Â ‰ÓÈ ÔÓ‚Â ıÌÓÒÚ¸˛. å.: ç‡Û͇, 1992. 335 Ò.

* * *

АМ‡ЪУОЛИ и‡‚ОУ‚Л˜ е‡ НВВ‚, ‰УНЪУ ЩЛБЛНУ- П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı М‡ЫН, Ф УЩВТТУ еУТНУ‚ТНУ„У ‡‚Л‡ˆЛУММУ„У ЛМТЪЛЪЫЪ‡, „О‡‚М˚И М‡Ы˜М˚И ТУЪ Ы‰- МЛН аМТЪЛЪЫЪ‡ Ф У·ОВП ПВı‡МЛНЛ кАз. й·О‡ТЪ¸ М‡- Ы˜М˚ı ЛМЪВ ВТУ‚: ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl ‰ЛМ‡ПЛН‡, ЪВУ Лfl ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ Л МВОЛМВИМ˚ı НУОВ·‡МЛИ, МВ·ВТМ‡fl ПВı‡МЛН‡. А‚ЪУ ·УОВВ 100 ТЪ‡ЪВИ Л ˜ВЪ˚ Вı ПУМУ- „ ‡ЩЛИ.