Современные проблемы физики / PhysicalReviewpdf / Bezruchko

© ÅÂÁÛ˜ÍÓ Å.è., 2000

NONLINEAR PENDULA

AND THEIR MODELS

B. P. BEZRUCHKO

Dynamic chaos, hysteresis, multistability, and other phenomena inherent in oscillatory systems are shown using several pendula and their simple mathematical models.

л ФУПУ˘¸˛ П‡flЪМЛНУ‚ Л Лı Ф УТЪ˚ı П‡ЪВ- П‡ЪЛ˜ВТНЛı ПУ‰ВОВИ ‰ВПУМТЪ Л Ы˛ЪТfl ‰Л- М‡ПЛ˜ВТНЛИ ı‡УТ, „ЛТЪВ ВБЛТ, ПЫО¸ЪЛТЪ‡- ·ЛО¸МУТЪ¸ Л ‰ Ы„ЛВ ЩВМУПВМ˚, Ф ЛТЫ˘ЛВ МВОЛМВИМ˚П НУОВ·‡ЪВО¸М˚П ТЛТЪВП‡П.

www.issep.rssi.ru

ЗЗЦСЦзаЦ

иУБМ‡‚‡fl Ф Л У‰Ы, О˛‰Л УФЛ ‡˛ЪТfl М‡ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛfl У· У·˙ВНЪ‡ı Л fl‚ОВМЛflı, НУЪУ ˚В Т˜ЛЪ‡˛ЪТfl ФУМflЪМ˚- ПЛ Л Ф ЛУ· ВОЛ ТЪ‡ЪЫТ ˝Ъ‡ОУММ˚ı. СОfl НУОВ·‡ЪВО¸М˚ı ТЛТЪВП, ‰‚ЛКВМЛfl ‚ НУЪУ ˚ı У·О‡‰‡˛Ъ ЪУИ ЛОЛ ЛМУИ ТЪВФВМ¸˛ ФУ‚ЪУ flВПУТЪЛ ‚У ‚ ВПВМЛ, Ъ‡НЛПЛ ЛТНО˛- ˜ЛЪВО¸МУ Ы‰У·М˚ПЛ ˝Ъ‡ОУМ‡ПЛ fl‚Оfl˛ЪТfl П‡flЪМЛНЛ. аı‡ТТП‡Ъ Л‚‡ОЛ УТМУ‚‡ЪВОЛ ЩЛБЛНЛ Л ТУБ‰‡ЪВОЛ ТУ‚ В- ПВММУИ ЪВУ ЛЛ НУОВ·‡МЛИ Л ‚УОМ. д МЛП У· ‡˘‡˛ЪТfl Л ТВИ˜‡Т Ф Л ЛБЫ˜ВМЛЛ НУОВ·‡МЛИ ‚ НЫ Т‡ı У·˘ВИ ЩЛБЛНЛ, МУ, Н‡Н Ф ‡‚ЛОУ, У„ ‡МЛ˜Л‚‡˛ЪТfl ЫБНЛП НО‡ТТУП „‡ ПУМЛ˜ВТНЛı Л Б‡ЪЫı‡˛˘Лı Н‚‡БЛ„‡ ПУМЛ˜ВТНЛı ‰‚Л- КВМЛИ. ᇄОflМВП Т ФУПУ˘¸˛ П‡flЪМЛНУ‚ ‚ ·ВБ„ ‡МЛ˜- М˚И ПЛ ТОУКМ˚ı МВОЛМВИМ˚ı НУОВ·‡МЛИ, МВ ‚˚ıУ‰fl Ф Л ˝ЪУП Б‡ Ы У‚ВМ¸, ‰УТЪЫФМ˚И ‚УУ ЫКВММУПЫ НУП- Ф¸˛ЪВ УП ¯НУО¸МЛНЫ.

унй ийзаеАын ийС лгйЗйе “еАьнзад”

й· ‡ЪЛПТfl Н “оЛБЛ˜ВТНУПЫ ˝МˆЛНОУФВ‰Л˜ВТНУПЫ ТОУ- ‚‡ ˛”: “å‡flÚÌËÍ – Ъ‚В ‰УВ ЪВОУ, ТУ‚В ¯‡˛˘ВВ ФУ‰ ‰ВИТЪ‚ЛВП Ф ЛОУКВММ˚ı ТЛО НУОВ·‡МЛfl УНУОУ МВФУ- ‰‚ЛКМУИ ЪУ˜НЛ ЛОЛ ‚УН Ы„ УТЛ. й·˚˜МУ ФУ‰ П‡flЪМЛНУП ФУМЛП‡˛Ъ ЪВОУ, ТУ‚В ¯‡˛˘ВВ НУОВ·‡МЛfl ФУ‰ ‰ВИТЪ‚Л- ВП ТЛО˚ ЪflКВТЪЛ, Ф Л ˝ЪУП УТ¸ П‡flЪМЛН‡ МВ ‰УОКМ‡ Ф УıУ‰ЛЪ¸ ˜В ВБ ˆВМЪ ЪflКВТЪЛ ЪВО‡. и УТЪВИ¯ЛИ П‡- flЪМЛН ТУТЪУЛЪ ЛБ МВ·УО¸¯У„У П‡ТТЛ‚МУ„У „ ЫБ‡, ФУ‰‚В- ¯ВММУ„У М‡ МЛЪЛ (ЛОЛ ОВ„НУП ТЪВ КМВ). ЦТОЛ Т˜ЛЪ‡Ъ¸ МЛЪ¸ МВ ‡ТЪflКЛПУИ Л Ф ВМВ· В˜¸ ‡БПВ ‡ПЛ „ ЫБ‡ ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т ‰ОЛМУИ МЛЪЛ, ‡ П‡ТТУИ МЛЪЛ ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т П‡ТТУИ „ ЫБ‡, ЪУ „ ЫБ М‡ МЛЪЛ ПУКМУ ‡ТТП‡Ъ Л‚‡Ъ¸ Н‡Н П‡ЪВ Л‡О¸МЫ˛ ЪУ˜НЫ, М‡ıУ‰fl˘Ы˛Тfl М‡ МВЛБПВММУП‡ТТЪУflМЛЛ УЪ ЪУ˜НЛ ФУ‰‚ВТ‡ ( ЛТ. 1, ‡). í‡ÍÓÈ Ï‡flÚÌËÍ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛП…” и Л‚В‰ВММУВ ‚ ˝МˆЛНОУФВ‰ЛЛ УФ В‰ВОВМЛВ УЪМУТЛЪТfl Н У·˙ВНЪ‡П ПВı‡МЛНЛ,

‡ ‚ М‡ТЪУfl˘ВВ ‚ ВПfl ЪВ ПЛМ “П‡flЪМЛН” ¯Л УНУ ЛТФУО¸- БЫ˛Ъ ‚ Ф ЛОУКВМЛЛ Н ТЛТЪВП‡П ‡БОЛ˜МУИ Ф Л У‰˚ (ТП., М‡Ф ЛПВ , [1]). н‡Н, ˝ОВНЪ Л˜ВТНЛП П‡flЪМЛНУП М‡Б˚‚‡˛Ъ ˆВФ¸, ТУТЪУfl˘Ы˛ ЛБ НУМ‰ВМТ‡ЪУ ‡ Л Н‡ЪЫ¯- НЛ ЛМ‰ЫНЪЛ‚МУТЪЛ (НУОВ·‡ЪВО¸М˚И НУМЪЫ , ЛТ. 1, ·), ıЛПЛ˜ВТНЛП – ÒÏÂÒ¸ ıËÏË͇ÚÓ‚, ‚ÒÚÛÔ‡˛˘Ëı ‚ ÍÓÎÂ- ·‡ÚÂθÌÛ˛ Â‡ÍˆË˛, ˝НУОУ„Л˜ВТНЛП П‡flЪМЛНУП – ‰‚В

‚Б‡ЛПУ‰ВИТЪ‚Ы˛˘ЛВ ФУФЫОflˆЛЛ ıЛ˘МЛНУ‚ Л КВ Ъ‚. щЪУЪ КВ ЪВ ПЛМ Ф ЛПВМflВЪТfl Н ˝НУМУПЛ˜ВТНЛП ТЛТЪВ- П‡П, ‚ НУЪУ ˚ı ЛПВ˛Ъ ПВТЪУ НУОВ·‡ЪВО¸М˚В Ф УˆВТТ˚.

С‡ОВВ П˚ ·Ы‰ВП М‡Б˚‚‡Ъ¸ П‡flЪМЛНУП ТЛТЪВПЫ, ТФУТУ·МЫ˛ ТУ‚В ¯‡Ъ¸ НУОВ·‡МЛfl УНУОУ ФУОУКВМЛfl ‡‚МУ- ‚ВТЛfl. и Л ˝ЪУП У„ ‡МЛ˜ЛПТfl ТЪ У„У ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚ПЛ ТЛТЪВП‡ПЛ, ‰Оfl УФЛТ‡МЛfl ТУТЪУflМЛfl НУЪУ ˚ı Ф Л УЪТЫЪТЪ‚ЛЛ ‚МВ¯МЛı ‚УБ‰ВИТЪ‚ЛИ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ЫН‡Б‡Ъ¸ ‰‚В ФВ ВПВММ˚В ‚ВОЛ˜ЛМ˚: x, М‡Б˚‚‡ВПЫ˛ НУУ ‰ЛМ‡ЪУИ, Л ТНУ УТЪ¸ ВВ ЛБПВМВМЛfl x˙= dx ⁄ dt 1. е‡flЪМЛН, ‚˚‚В‰ВМ- М˚И ЛБ ТУТЪУflМЛfl ‡‚МУ‚ВТЛfl Л Ф В‰УТЪ‡‚ОВММ˚И Т‡П ТВ·В, ТУ‚В ¯‡ВЪ НУОВ·‡МЛfl, М‡Б˚‚‡ВП˚В ТУ·ТЪ‚ВММ˚- ПЛ. С‚ЛКВМЛfl П‡flЪМЛН‡ Ф Л М‡ОЛ˜ЛЛ ‚МВ¯МВ„У ‚УБ- ‰ВИТЪ‚Лfl ЛПВМЫ˛Ъ ‚˚МЫК‰ВММ˚ПЛ.

лйЕлнЗЦззхЦ дйгЦЕАзаь

аБ НЫТН‡ ФО‡ТЪЛОЛМ‡, Н‡ ‡М‰‡¯‡ Л Л„УОНЛ ТУБ‰‡‰ЛП НУМТЪ ЫНˆЛ˛, М‡ФУПЛМ‡˛˘Ы˛ П‡flЪМЛН, ЫФУПflМЫЪ˚И ‚ ˝МˆЛНОУФВ‰ЛЛ, Л ФУ˝НТФВ ЛПВМЪЛ ЫВП Т МВИ. уЪУ ·˚ П˚ МЛ Ф У‰ВО˚‚‡ОЛ, МУ Ф В‰УТЪ‡‚ОВММ˚И Т‡ПУПЫ ТВ·В М‡¯ П‡flЪМЛН ‚ НУМˆВ НУМˆУ‚ УН‡Б˚‚‡ВЪТfl ‚ ТУТЪУflМЛЛ ЫТЪУИ˜Л‚У„У ‡‚МУ‚ВТЛfl, ‚ НУЪУ УП ТЪВ КВМ¸ М‡Ф ‡‚ОВМ

1 СОfl ЩЛБЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚МУТЪ¸ УБМ‡˜‡ВЪ М‡ОЛ˜ЛВ ФУЪВ ¸ ˝МВ „ЛЛ. З ·УОВВ ¯Л УНУП ТП˚ТОВ, М‡ flБ˚НВ Ф В‰- ТЪ‡‚ОВМЛИ ‚ Щ‡БУ‚УП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В (Ф УТЪ ‡МТЪ‚В ТУТЪУflМЛИ), ˝ЪУ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ ТК‡ЪЛ˛ М‡˜‡О¸МУ„У Щ‡БУ‚У„У У·˙ВП‡. лОУ- ‚УП “ТЪ У„У” ФУ‰˜В НЛ‚‡ВЪТfl МВ‚УБПУКМУТЪ¸ ‡‚ЪУНУОВ·‡МЛИ. и Л М‡ОЛ˜ЛЛ ‚МВ¯МВ„У ФВ ЛУ‰Л˜ВТНУ„У ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl П‡flЪМЛН Ъ ВıПВ ВМ. СОfl УФЛТ‡МЛfl В„У ТУТЪУflМЛfl Н УПВ НУУ ‰Л- М‡Ъ˚ Л ТНУ УТЪЛ МВУ·ıУ‰ЛПУ Ф ЛМЛП‡Ъ¸ ‚У ‚МЛП‡МЛВ В˘В Л Щ‡БЫ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl.

‚ ÚË͇θÌÓ, ‡ „ ÛÁ ‡ÒÔÓ·„‡ÂÚÒfl ÌËÊ ÓÒË ( ËÒ. 1, ‡). З Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ М‡˜‡О¸М˚ı ФУОУКВМЛfl Л ТНУ УТЪЛ, ЩУ П˚, П‡ТТ˚, Ъ ВМЛfl ‚ УТЛ ˝ЪУПЫ Ф В‰¯ВТЪ‚Ы˛Ъ ‡Б- ОЛ˜М˚В ‚‡ Л‡МЪ˚ ‰‚ЛКВМЛИ.

ЕЫ‰ВП ı‡ ‡НЪВ ЛБУ‚‡Ъ¸ ТУТЪУflМЛВ П‡flЪМЛН‡ ‚ВОЛ- ˜ЛМУИ Ы„О‡ УЪНОУМВМЛfl УЪ ‚В ЪЛН‡ОЛ x Л ‡ТТП‡Ъ Л‚‡Ъ¸ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ x Ë Û„ÎÓ‚ÓÈ ÒÍÓ ÓÒÚË x˙УЪ ‚ ВПВМЛ t. ä‡- ˜ÂÒÚ‚ÂÌÌ˚È ‚ˉ „ ‡ÙËÍÓ‚ x(t) Ë x˙(t) (‚ ВПВММ˚ı В‡- ОЛБ‡ˆЛИ) Ф Л‚В‰ВМ М‡ ЛТ. 1, ‡. з‡ ЛТЫМНВ ˆ‚ВЪУ‚˚П ЩУМУП ‚˚‰ВОВМ˚ ‰‚В У·О‡ТЪЛ, ‚ НУЪУ ˚ı ‰‚ЛКВМЛfl Н‡- ˜ВТЪ‚ВММУ ‡БОЛ˜М˚. лЛМflfl У·О‡ТЪ¸ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ ·УО¸- ¯ЛП УЪНОУМВМЛflП УЪ ЫТЪУИ˜Л‚У„У ‡‚МУ‚ВТЛfl, „ ЫБ ПУКВЪ ‰УТЪЛ„‡Ъ¸ ‚В ıМВ„У ФУОУКВМЛfl ЛОЛ ‰‡КВ Ф УТН‡- НЛ‚‡Ъ¸ В„У ‚ ‡˘‡flТ¸. З ВПВММ˚В В‡ОЛБ‡ˆЛЛ НУУ ‰Л- М‡Ъ˚ Л ТНУ УТЪЛ Б‰ВТ¸ Н‡˜ВТЪ‚ВММУ УЪОЛ˜‡˛ЪТfl ‰ Ы„ УЪ ‰ Ы„‡, Л (У· ‡ЪЛЪВ ‚МЛП‡МЛВ) ЛМЪВ ‚‡О ‚ ВПВМЛ ПВК‰Ы ТУТВ‰МЛПЛ П‡НТЛПЫП‡ПЛ Н Л‚˚ı ПВМflВЪТfl Т ЫПВМ¸¯В- МЛВП ‡БП‡ı‡ НУОВ·‡МЛИ Ф Л Лı Б‡ЪЫı‡МЛЛ. щЪ‡ УТУ·ВММУТЪ¸ ФУОЫ˜ЛО‡ М‡Б‚‡МЛВ “МВЛБУı УММУТЪ¸”. йЪПВ˜ВМ- М˚В Б‡НУМУПВ МУТЪЛ Ф УТП‡Ъ Л‚‡˛ЪТfl В˘В ·УОВВ fl НУ ‚ УТˆЛООУ„ ‡ПП‡ı НУОВ·‡МЛИ ˝ОВНЪ Л˜ВТНУ„У П‡flЪМЛ- Н‡ ( ЛТ. 1, ·), ‰Îfl ÌÂ„Ó x(t) Ë x˙(t) ËÏÂ˛Ú ÒÏ˚ÒÎ Ì‡Ô fl- ÊÂÌËfl Ë ÚÓ͇ ‚ ˆÂÔË. èÓıÓÊ ‚‰ÂÚ Ò·fl Ë „ ÛÁ ̇ Ô Û- ÊËÌ ( ËÒ. 1, ‚).

й·О‡ТЪЛ, ‚˚‰ВОВММ˚В М‡ ЛТ. 1 КВОЪ˚П ˆ‚ВЪУП, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ П‡О˚П НУОВ·‡МЛflП. ЗЛ‰ ‚ ВПВММ˚ı В‡- ОЛБ‡ˆЛИ Б‰ВТ¸ ·ОЛБУН Н Б‡ЪЫı‡˛˘ВИ ФУ ˝НТФУМВМЪВ НУТЛМЫТУЛ‰В ЛОЛ ТЛМЫТУЛ‰В:

„‰В ФУТЪУflММ‡fl δ УФ В‰ВОflВЪ Б‡ЪЫı‡МЛВ, ω1 = 2π/T1 – ˜‡ÒÚÓÚ‡, T1 – Ô ËÓ‰ (‚ ÌÂÂ, Í‚‡ÁËÔ ËÓ‰) χÎ˚ı ÍÓη‡ÌËÈ, ϕ – ̇˜‡Î¸Ì‡fl Ù‡Á‡, ÍÓÚÓ ‡fl ÓÔ Â‰ÂÎflÂÚ Ò‰‚Ë„ Í Ë‚ÓÈ ÔÓ ÓÒË t. З ВПВММ˚В В‡ОЛБ‡ˆЛЛ НУУ ‰ЛМ‡Ъ˚ Л ТНУ УТЪЛ ФУ ЩУ ПВ ФУ‰У·М˚, МУ Т‰‚ЛМЫЪ˚ ‚У ‚ ВПВМЛ М‡ T1/4 (ФУ Щ‡БВ М‡ π/2). и Л П‡О˚ı ‡ПФОЛЪЫ‰‡ı НУОВ·‡- МЛИ ‚ ВПВММ˚В ЛМЪВ ‚‡О˚ ПВК‰Ы ТУТВ‰МЛПЛ П‡НТЛПЫ- П‡ПЛ МВ ПВМfl˛ЪТfl, ЪУ ВТЪ¸ П‡flЪМЛН У·О‡‰‡ВЪ Т‚УИТЪ‚УП ЛБУı УММУТЪЛ, НУЪУ УВ УЪТЫЪТЪ‚У‚‡ОУ ‚ ТОЫ˜‡В ·УО¸¯Лı УЪНОУМВМЛИ. з‡ ˝ЪЫ УТУ·ВММУТЪ¸ П‡О˚ı НУОВ·‡МЛИ У·-‡ЪЛО ‚МЛП‡МЛВ В˘В Й‡ОЛОВИ, М‡·О˛‰‡fl Б‡ О˛ТЪ УИ ‚ ТУ·У В.

газЦвзхЦ дйгЦЕАзаь

к‡ТТПУЪ ВММ˚В П‡О˚В ЛБУı УММ˚В НУОВ·‡МЛfl ˜‡ТЪУ М‡Б˚‚‡˛Ъ ОЛМВИМ˚ПЛ. з‡Б‚‡МЛВ Т‚flБ‡МУ Т П‡ЪВП‡ЪЛ- ˜ВТНУИ Ф Л У‰УИ Ы ‡‚МВМЛИ, ЛТФУО¸БЫВП˚ı ‰Оfl УФЛТ‡- МЛfl Ъ‡НУ„У Ф УˆВТТ‡. з‡Ф ЛПВ , ПУМУЪУММУВ Б‡ЪЫı‡МЛВ НУОВ·‡МЛИ (Н‡Н Л ·ВБ„ ‡МЛ˜МУВ ‚УБ ‡ТЪ‡МЛВ) М‡„Оfl‰МУ ПУ‰ВОЛ ЫВЪТfl ОЛМВИМ˚П УЪУ· ‡КВМЛВП, НУЪУ УВ ПУКМУ ФУОЫ˜ЛЪ¸ ЛБ (1). СОfl ˝ЪУ„У ТОВ‰ЫВЪ ФВ ВИЪЛ Н ‡ТТПУ- Ъ ВМЛ˛ НУОВ·‡ЪВО¸МУ„У Ф УˆВТТ‡ (1) ‚ ЩЛНТЛ У‚‡ММ˚В ПУПВМЪ˚ t = nT1 , „‰Â n = 0, 1, 2, … – ‰ЛТН ВЪМУВ ‚ ВПfl.

é·ÓÁ̇˜ËÏ Á̇˜ÂÌËfl x(t) ‚ ПУПВМЪ˚ nT1 Ë (n + 1)T1 ͇Í

xn Ë xn + 1 Ë ‚‚‰ÂÏ Ô‡ ‡ÏÂÚ a = exp(−δT1) < 1. Ç˚ ‡ÁË‚ Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ (1) Á̇˜ÂÌË xn + 1 ˜Â ÂÁ xn , ÔÓÎÛ˜ËÏ Ó‰ÌÓÏ -

МУВ УЪУ· ‡КВМЛВ

Й ‡ЩЛН УЪУ· ‡КВМЛfl Ф В‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ Ф flПЫ˛ ОЛМЛ˛, Ф УıУ‰fl˘Ы˛ ˜В ВБ М‡˜‡ОУ НУУ ‰ЛМ‡Ъ. йЪ „ ‡- ЩЛН‡ ОЛМВИМУ„У УЪУ· ‡КВМЛfl, Ф Л‚В‰ВММУ„У М‡ ЛТ. 3, · ТЛМВИ ОЛМЛВИ, УМ УЪОЛ˜‡ВЪТfl ОЛ¯¸ Т‰‚Л„УП. ЦТОЛ Б‡- ‰‡Ъ¸ М‡˜‡О¸МУВ БМ‡˜ВМЛВ x0 Л ФУ ФУОЫ˜ВММУИ ЩУ ПЫОВ ФУ‰Т˜ЛЪ‡Ъ¸ x1 , Á‡ÚÂÏ ÔÓ‰ÒÚ‡‚ËÚ¸ x1 , ‚˚˜ЛТОЛЪ¸ x2 Л Ъ.‰., ПУКМУ Ы·В‰ЛЪ¸Тfl, ˜ЪУ БМ‡˜ВМЛВ xn ПУМУЪУММУ ТЪ ВПЛЪТfl Н МЫО˛. зВ ТУТЪ‡‚ОflВЪ Ъ Ы‰‡ Ф У‰ВО‡Ъ¸ ЪУ КВ Т‡ПУВ „ ‡ЩЛ˜ВТНЛ, Ф У‚В‰fl ФУТЪ УВМЛfl, ‡М‡ОУ„Л˜М˚В ФУН‡- Б‡ММ˚П ТЪ ВОН‡ПЛ М‡ ЛТ. 3, ·, Л Ы·В‰ЛЪ¸Тfl, ˜ЪУ ЛБУ· ‡- К‡˛˘‡fl ЪУ˜Н‡ Ф Л·ОЛК‡ВЪТfl Н МЫО˛. н‡НУВ ФУТЪ УВМЛВ М‡Б˚‚‡˛Ъ ‰Л‡„ ‡ППУИ г‡ПВ Вfl (ТП. [4]). и Л Б‡ПВМВ БМ‡Н‡ ФВ В‰ δ (Ф Л ˝ЪУП a > 1) ОЛМЛfl „ ‡ЩЛН‡ УЪУ· ‡КВМЛfl ‡ТФУОУКЛЪТfl ‚˚¯В ‰Л‡„УМ‡ОЛ Л ЛБУ· ‡К‡˛˘‡fl ЪУ˜Н‡ Ы·ВКЛЪ М‡ ·ВТНУМВ˜МУТЪ¸.

д УПВ ЪУ„У, УТМУ‚‡МЛВП М‡Б‚‡Ъ¸ НУОВ·‡МЛfl ‚ КВОЪУИ У·О‡ТЪЛ ОЛМВИМ˚ПЛ fl‚ОflВЪТfl Л ЪУ, ˜ЪУ В¯ВМЛВ ‚Л‰‡

(1) ЛПВВЪ У·˚НМУ‚ВММУВ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУВ Ы ‡‚МВМЛВ:

ЛБ‚ВТЪМУВ Н‡Н Ы ‡‚МВМЛВ ОЛМВИМУ„У ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚МУ„У УТˆЛООflЪУ ‡. иВ ВПВММ‡fl x Л ВВ Ф УЛБ‚У‰М˚В ‚ıУ‰flЪ ‚ ˝ЪУ Ы ‡‚МВМЛВ ‚ ФВ ‚УИ ТЪВФВМЛ (ОЛМВИМУ), ФУ˝ЪУПЫ Ы ‡‚МВМЛВ Ы‰У‚ОВЪ‚У flВЪ Ф ЛМˆЛФЫ ТЫФВ ФУБЛˆЛЛ. щЪУ УБМ‡˜‡ВЪ, ˜ЪУ ТЫПП‡ ‰‚Ыı О˛·˚ı В¯ВМЛИ Ы ‡‚МВМЛfl ЛОЛ В¯ВМЛВ, ЫПМУКВММУВ М‡ НУМТЪ‡МЪЫ, ЪУКВ fl‚Оfl˛ЪТflВ¯ВМЛflПЛ. З ‚Л‰В (3) Ы‰‡ВЪТfl Б‡ФЛТ‡Ъ¸ Ы ‡‚МВМЛfl ‰ЛМ‡- ПЛНЛ ‡БОЛ˜М˚ı НУОВ·‡ЪВО¸М˚ı ТЛТЪВП. тЛ УНЛИ М‡- ·У ЛМЪВ ВТМ˚ı Ф ЛПВ У‚ ЛПВВЪТfl ‚ [1]. и УЛМЪВ„ Л У-

‚‡‚ Ы ‡‚МВМЛВ (3), ПУКМУ ФУОЫ˜ЛЪ¸ (1) Т ω1 = ω20 –δ2.

иУ‚В‰ВМЛВ ·УО¸¯ЛМТЪ‚‡ П‡flЪМЛНУ‚ ıУ У¯У УФЛ- Т˚‚‡ВЪТfl ОЛМВИМ˚ПЛ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛПЛ ПУ‰ВОflПЛ, ВТОЛ ‰‚ЛКВМЛВ У„ ‡МЛ˜ВМУ МВНУЪУ ˚ПЛ Ф В‰ВО‡ПЛ. з‡- Ф ЛПВ , ‰Оfl „ ЫБ‡ М‡ ТЪВ КМВ БМ‡˜ВМЛfl ı ‰ÓÎÊÌ˚ ·˚Ú¸ ÒÚÓθ χÎ˚ÏË, ˜ÚÓ sinx ≈ x, ‡ Á̇˜ÂÌËfl x˙ У„ ‡МЛ˜ВМ˚ Т‚В ıЫ ЫТОУ‚ЛВП Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸МУИ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ ТЛО ‚flБНУ„У Ъ ВМЛfl УЪ ТНУ УТЪЛ.

зЦгазЦвзхЦ дйгЦЕАзаь

СОfl ПУ‰ВОЛ У‚‡МЛfl ‰‚ЛКВМЛИ М‡¯Лı П‡flЪМЛНУ‚ ‚ ТЛМВИ ˜‡ТЪЛ ЛТ. 1 МВУ·ıУ‰ЛП˚ МВОЛМВИМ˚В УЪУ· ‡КВМЛfl Л ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚В Ы ‡‚МВМЛfl. м ‡‚МВМЛВ УТˆЛООflЪУ ‡ (3) ТЪ‡МВЪ МВОЛМВИМ˚П, ВТОЛ ‚ МВ„У ‚УИ‰ЫЪ ˜ОВМ˚, ТУ‰В К‡˘ЛВ О˛·˚В МВОЛМВИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ УЪ x Ë Â„Ó Ô ÓËÁ‚Ó‰Ì˚ı (Í‚‡‰ ‡Ú˚, ÍÛ·˚ Ë Ú.Ô.). í‡Í, ÍÓÎÂ- ·‡ÌËfl χÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó Ï‡flÚÌË͇ ( ËÒ. 1, ‡) ıÓ Ó¯Ó

(Ô ËÓ‰˚ ˆËÍÎÓ‚) ‡‚Ì˚ Ô ËÓ‰Û ‚ÓÁ‰ÂÈÒÚ‚Ëfl ËÎË Í ‡ÚÌ˚ ÂÏÛ – ÒÓÒÚ‡‚Îfl˛Ú ‚Â΢ËÌÛ kí, „‰Â k Ô ËÌËχÂÚ Á̇˜ÂÌËfl 1, 2, 3, …

З‡ Л‡МЪУ‚ ‚˚МЫК‰ВММ˚ı ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛı ‰‚ЛКВМЛИ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ У˜ВМ¸ ПМУ„У, ФУ˝ЪУПЫ Лı Ъ В·ЫВЪТfl Н‡Н-ЪУ ТЛТЪВП‡ЪЛБЛ У‚‡Ъ¸. з‡Ф ЛПВ , ‰Оfl П‡flЪМЛНУ‚ Т МВОЛМВИМУТЪ¸˛ ЪЛФ‡ Пfl„НУИ Ф ЫКЛМ˚ ˆЛНО˚ ФУ Ф Л- БМ‡НЫ ФУ‰У·Лfl1 ПУКМУ ЫТОУ‚МУ ‡Б‰ВОЛЪ¸ М‡ ‰‚В „ ЫФФ˚. З Н‡К‰УИ ЛБ МЛı ТУı ‡Мfl˛ЪТfl МВНУЪУ ˚В УТУ·ВММУТЪЛ ЩУ П˚ ‚ ВПВММ˚ı В‡ОЛБ‡ˆЛИ, ‡ Ъ‡НКВ Ф В‰ВО¸М˚ı ˆЛНОУ‚ ‚ Щ‡БУ‚УП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В. иВ ‚Ы˛ „ ЫФФЫ ТУТЪ‡‚Оfl˛Ъ ˆЛНО˚ ФВ ЛУ‰‡ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl 1í, ТЫ˘ВТЪ‚Ы˛- ˘ЛВ ‚ У·О‡ТЪЛ МЛБНЛı ˜‡ТЪУЪ f = 1/T # f1 = 1/T1 , – ТЫ·- „‡ ПУМЛ˜ВТНЛВ. н‡Н Н‡Н ФВ ЛУ‰ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl ‚ВОЛН ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т ‚ ВПВММ˚П П‡Т¯Ъ‡·УП ТУ·ТЪ‚ВММ˚ı ‰‚Л- КВМЛИ, М‡ ‚ ВПВММ˚ı В‡ОЛБ‡ˆЛflı ˝ЪЛı ˆЛНОУ‚ ‚ У·˘ВП ТОЫ˜‡В ЛПВВЪТfl МВТНУО¸НУ П‡НТЛПЫПУ‚ (ТП. ЛТ. 2, ·). ÇÚÓ Û˛ „ ÛÔÔÛ ÒÓÒÚ‡‚Îfl˛Ú ˆËÍÎ˚ Ô ËÓ‰‡ kT, „‰Â k = 2, 3, …, ÍÓÚÓ ˚ ̇·Î˛‰‡˛ÚÒfl Ô Ë ·Óθ¯Ëı ˜‡ÒÚÓÚ‡ı ‚ÓÁ- ‰ÂÈÒÚ‚Ëfl f ≈ (0,5–2)f1 . З ВПВММ‡fl В‡ОЛБ‡ˆЛfl Ъ‡НУ„У ˆЛНО‡ (ТП. ЛТ. 2, ‡) Í‡Í ·˚ ÒÓ· ‡Ì‡ ËÁ k М‡˜‡О¸М˚ı НЫТНУ‚ МВОЛМВИМУИ ТЪ‡‰ЛЛ УТˆЛООУ„ ‡ПП˚ ЛТ. 1, ·. н‡Н Н‡Н Ф Л Ы‚ВОЛ˜ВМЛЛ ‡ПФОЛЪЫ‰˚ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl ТПВМ‡ ˝ЪЛıВКЛПУ‚ ТУФ У‚УК‰‡ВЪТfl ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸М˚П Ы‚ВОЛ- ˜ВМЛВП k М‡ В‰ЛМЛˆЫ, Лı М‡Б˚‚‡˛Ъ ˆЛНО‡ПЛ ФУТОВ‰У- ‚‡ЪВО¸МУТЪЛ ‰У·‡‚ОВМЛfl ФВ ЛУ‰‡. СУТЪ‡ЪУ˜МУ Ъ ‡‰Л- ˆЛУММУ ЫТОУ‚МУВ У·УБМ‡˜ВМЛВ ˆЛНОУ‚ – Γm/l . á‰ÂÒ¸ l ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ УЪМУ¯ВМЛ˛ ФВ ЛУ‰‡ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl Н Н‚‡- БЛФВ ЛУ‰Ы ТУ·ТЪ‚ВММ˚ı НУОВ·‡МЛИ (В„У ПУКМУ УˆВМЛЪ¸ ФУ ˜ЛТОЫ П‡НТЛПЫПУ‚ М‡ ЛМЪВ ‚‡ОВ í ÓÒˆËÎÎÓ„ ‡ÏÏ˚),

‡ m – Ô ËÓ‰ ˆËÍ·, ËÁÏ ÂÌÌ˚È ‚ ‰ËÌˈ‡ı T.

ЕаомкдАсаа

и Л ЛБПВМВМЛЛ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ П‡flЪМЛН‡ Л ‚МВ¯МВ„У ‚УБ- ‰ВИТЪ‚Лfl ‚ТВ ˆЛНО˚ ˝‚УО˛ˆЛУМЛ Ы˛Ъ. и Л П‡О˚ı ‡ПФОЛЪЫ‰‡ı НУОВ·‡МЛИ УМЛ ФО‡‚МУ ФВ ВıУ‰flЪ ‰ Ы„ ‚ ‰ Ы- „‡, ‡ Ф Л ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ·УО¸¯Лı ‡ПФОЛЪЫ‰‡ı, НУ„‰‡ Ф Уfl‚ОflВЪТfl МВОЛМВИМУТЪ¸, ЛТФ˚Ъ˚‚‡˛Ъ Н‡˜ВТЪ‚ВММ˚В ФВ ВТЪ УИНЛ – ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ [4]. з‡Л·УОВВ ЪЛФЛ˜М‡ ·Л- ЩЫ Н‡ˆЛfl Ы‰‚УВМЛfl ФВ ЛУ‰‡ (period doubling), ‚ ВБЫО¸- Ъ‡ЪВ НУЪУ УИ НУОВ·‡МЛfl М‡˜ЛМ‡˛Ъ ФУ‚ЪУ flЪ¸Тfl ˜В ВБ‡Б, МВПМУ„У ЛБПВМЛ‚ Т‚У˛ ЩУ ПЫ. СОfl МВОЛМВИМ˚ı П‡flЪМЛНУ‚ Ф Л ЛБПВМВМЛЛ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ı‡ ‡НЪВ М˚ ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ (Н‡ТН‡‰˚) ·ЛЩЫ Н‡ˆЛИ Ы‰‚УВМЛfl ФВ ЛУ‰‡: ˆЛНО˚ ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ Ы‚ВОЛ˜Л‚‡˛Ъ Т‚УИ ФВ ЛУ‰ ‰У ·ВТНУМВ˜МУТЪЛ. З ЛЪУ„В НУОВ·‡МЛfl ТЪ‡МУ‚flЪТfl МВФУ‚ЪУ fl˛˘ЛПЛТfl ‚У ‚ ВПВМЛ, ·ВТФУ fl‰У˜М˚ПЛ, ı‡УЪЛ˜ВТНЛПЛ [3]. и Л ‰‡О¸МВИ¯ВП ЛБПВМВМЛЛ Ф‡ ‡-

1 иУ‰У·ЛВ УБМ‡˜‡ВЪ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸МУВ ЛБПВМВМЛВ „ВУПВЪ Л- ˜ВТНЛı ‡БПВ У‚ Ф Л Н‡˜ВТЪ‚ВММУП ТУı ‡МВМЛЛ ЩУ П˚: ФУ- ‰У·М˚ МВ ЪУО¸НУ Ъ ВЫ„УО¸МЛНЛ Т ‡‚М˚ПЛ Ы„О‡ПЛ, МУ Л ‚ТВ ¯‡ ˚, НЫНО˚, ‚ıУ‰fl˘ЛВ ‚ П‡Ъ В¯НЫ Л Ъ.Ф.

ПВЪ У‚ ı‡УЪЛ˜ВТНЛВ НУОВ·‡МЛfl, ‚ Т‚У˛ У˜В В‰¸, ‚Л‰У- ЛБПВМfl˛ЪТfl, Ф УЛТıУ‰flЪ ФВ ВıУ‰˚ Н МУ‚˚П ˆЛНО‡П Л МУ‚˚П ‚Л‰‡П ı‡УЪЛ˜ВТНЛı ‰‚ЛКВМЛИ Л Ъ.‰.2

еМУКВТЪ‚У ‚‡ Л‡МЪУ‚ ‚˚МЫК‰ВММ˚ı НУОВ·‡МЛИ, ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ, ı‡УТ Л ПМУ„ЛВ ‰ Ы„ЛВ fl‚ОВМЛfl, Т‚УИТЪ‚ВМ- М˚В П‡flЪМЛН‡П, ·Ы‰ВП ЛТТОВ‰У‚‡Ъ¸ Т ФУПУ˘¸˛ Лı П‡ЪВ- П‡ЪЛ˜ВТНЛı ПУ‰ВОВИ. з‡Л·УОВВ ФУОМЫ˛ ЛМЩУ П‡ˆЛ˛ ‰‡˛Ъ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚В Ы ‡‚МВМЛfl. е˚ КВ У„ ‡МЛ- ˜ЛПТfl ‡ТТПУЪ ВМЛВП ОЛ¯¸ ТЫ·„‡ ПУМЛ˜ВТНЛı НУОВ·‡- МЛИ, ‡ ‰Оfl ˝ЪУ„У ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ·УОВВ Ф УТЪ˚ı Л М‡„Оfl‰М˚ı ПУ‰ВО¸М˚ı УЪУ· ‡КВМЛИ.

СалдкЦнзАь ейСЦгъ еАьнзадА л еьЙдйв икмЬазйв

ЗУТФУО¸БЫВПТfl ‚ ВПВММУИ В‡ОЛБ‡ˆЛВИ ТЫ·„‡ ПУМЛ˜В- ТНЛı НУОВ·‡МЛИ П‡flЪМЛН‡ Т Пfl„НУИ Ф ЫКЛМУИ (ТП.ЛТ. 2, ·) Л Ф УПУ‰ВОЛ ЫВП ВВ ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪ¸˛ ˆЫ- „У‚ ТУ·ТЪ‚ВММ˚ı НУОВ·‡МЛИ ( ЛТ. 2, ‚). мТЪ‡МУ‚ЛП, ˜ЪУ ‚ ˆЫ„В Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ x(t) ЛПВВЪ ‚Л‰ (1), МУ Н‚‡БЛФВ ЛУ‰ ОЛМВИМУ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ М‡˜‡О¸МУИ ‡ПФОЛЪЫ‰˚ ˆЫ„‡ xn : ÚÂÔ ¸ ˝ÚÓ Ì T1 , ‡ T1(1 + βxn), „‰В β = const > 0. нУ„‰‡ ‚ ˆЫ- „В, М‡˜ЛМ‡˛˘ВПТfl ‚ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ nT, Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ ФВ ВПВММУИ УЪ ‚ ВПВМЛ ПУКМУ Ф В‰ТЪ‡‚ЛЪ¸ Н‡Н x(t) = = xn exp(−δt)cos[2πt/T1(1 + βxn)], ÂÒÎË t УЪТ˜ЛЪ˚‚‡Ъ¸ УЪ М‡˜‡О‡ ˆЫ„‡. л Ы˜ВЪУП У„У‚У ВММ˚ı УТУ·ВММУТЪВИ ТФУТУ·‡ ‚МВТВМЛfl ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl М‡˜‡О¸М‡fl ‡ПФОЛЪЫ‰‡ ТОВ- ‰Ы˛˘В„У ˆЫ„‡ (ТП. ЛТ. 2, ‚)

„‰Â А – ‡ПФОЛЪЫ‰‡ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl, N = T1 /T – ÌÓ ÏË Ó- ‚‡Ì̇fl ˜‡ÒÚÓÚ‡ ‚ÓÁ‰ÂÈÒÚ‚Ëfl, d = δT1 – ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ

2 иУflТМЛП ТН‡Б‡ММУВ Т ФУПУ˘¸˛ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛИ Ф УТЪ ‡МТЪ- ‚‡ ТУТЪУflМЛИ. СОfl П‡flЪМЛНУ‚, М‡ıУ‰fl˘ЛıТfl ФУ‰ ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛП ‚МВ¯МЛП ‚УБ‰ВИТЪ‚ЛВП, В„У ПУКМУ ЛБУ· ‡БЛЪ¸, М‡Ф Л- ПВ УЪОУКЛ‚ ‚‰УО¸ Ъ Вı У ЪУ„УМ‡О¸М˚ı УТВИ НУУ ‰ЛМ‡Ъ ‚ВОЛ- ˜ЛМ˚ x, x˙Ë Ù‡Á˚ ‚ÓÁ‰ÂÈÒÚ‚Ëfl Φ (Ì‡Ô ËÏ , Φ = sin(2πτ/T), „‰В τ – ‚ ВПfl УЪ НУМˆ‡ ЛПФЫО¸Т‡ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl ‰У ‡ТТП‡Ъ Л‚‡- ВПУ„У ПУПВМЪ‡). й· ‡БУП ФВ ЛУ‰Л˜ВТНУ„У НУОВ·‡ЪВО¸МУ„У Ф УˆВТТ‡ ‚ Ъ‡НУП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В fl‚ОflВЪТfl Б‡ПНМЫЪ‡fl Н Л‚‡fl, ФУıУК‡fl М‡ МЛЪНЫ, НУМˆ˚ НУЪУ УИ Т‚flБ‡М˚, – Ф В‰ВО¸М˚И ˆЛНО. к‡БОЛ˜М˚В ˆЛНО˚ УЪОЛ˜‡˛ЪТfl ЩУ ПУИ ФУОЫ˜Л‚¯ВИТfl МЛЪflМУИ ФВЪОЛ. и Л ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ Ы‰‚УВМЛfl ФВ ЛУ‰‡ ˆЛНО ЪВ-flВЪ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸: МЛЪН‡ ‡ТТО‡Л‚‡ВЪТfl М‡ ‰‚В, ‡ ФУОЫ˜Л‚¯Л- ВТfl ‰‚В ФВЪОЛ ‡Б ˚‚‡˛ЪТfl Л ФВ ВБ‡П˚Н‡˛ЪТfl ‚ У‰МЫ ‰‚УИМЫ˛ ФВЪО˛. йМ‡ УН‡Б˚‚‡ВЪТfl ‚ МВФУТ В‰ТЪ‚ВММУИ ·ОЛБУТЪЛ УЪ ФВЪОЛ ФУЪВ fl‚¯В„У ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ ˆЛНО‡, ФУ˝ЪУПЫ ЛТıУ‰МУВ ФВ ЛУ‰Л˜ВТНУВ ‰‚ЛКВМЛВ ФУ˜ЪЛ МВ ПВМflВЪТfl ФУ ЩУ ПВ, МУ ФУОМУТЪ¸˛ ФУ‚ЪУ flВЪТfl ˜В ВБ ‡Б. иВ ВıУ‰ Н ı‡УТЫ УБМ‡˜‡ВЪ, ˜ЪУ ПМУ„УН ‡ЪМУ ‡Б‰‚УЛ‚¯‡flТfl МЛЪН‡ Щ‡БУ‚УИ Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ МВ Б‡ПНМЫО‡Т¸, ‡ У· ‡БУ‚‡О‡ ТЪ ЫНЪЫ Ы, М‡Б˚‚‡ВПЫ˛ ТЪ ‡М- М˚П ‡ЪЪ ‡НЪУ УП. н‡НУИ ‡ЪЪ ‡НЪУ ФУıУК М‡ ТФЫЪ‡ММ˚И НОЫ- ·УН ПЫОЛМВ Т М‡˜ЛМНУИ ЛБ ФВЪВО¸ ‡БОЛ˜М˚ı МВЫТЪУИ˜Л‚˚ı,‡Т˘ВФЛ‚¯ЛıТfl ‡МВВ ˆЛНОУ‚ ‚МЫЪ Л. З ВБЫО¸Ъ‡ЪВ ˝‚УО˛ˆЛЛ‡БОЛ˜М˚ı ЛТıУ‰М˚ı ˆЛНОУ‚ ЩУ ПЛ Ы˛ЪТfl ‡БОЛ˜М˚В ‚‡ Л- ‡МЪ˚ ТЪ ‡ММ˚ı ‡ЪЪ ‡НЪУ У‚ (‚Л‰У‚ ı‡УЪЛ˜ВТНЛı НУОВ·‡МЛИ).

ОЛМВИМУИ ‰ЛТТЛФ‡ˆЛЛ, β – НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ МВОЛМВИМУТЪЛ. Й ‡ЩЛН УЪУ· ‡КВМЛfl (4) ЛПВВЪ ‚Л‰ ЛБПВМfl˛˘ВИТfl ФУ ‡ПФОЛЪЫ‰В Л ˜‡ТЪУЪВ ТЛМЫТУЛ‰˚ ( ЛТ. 3, ‡), У„ ‡МЛ- ˜ВММУИ Т‚В ıЫ Л ТМЛБЫ Ф flП˚ПЛ, М‡НОУМВММ˚ПЛ ФУ‰ Ы„О‡ПЛ ±arctg(exp(−d/N)) Н „У ЛБУМЪ‡О¸МУИ УТЛ.

ЗаСх дйгЦЕАзав. емгъналнАЕагъзйлнъ

аБПВМВМЛВ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ A, N, d, β Ф Л‚У‰ЛЪ Н ФВ ВПВ˘В- МЛ˛ „ ‡ЩЛН‡ УЪУ· ‡КВМЛfl (4) ФУ ‚В ЪЛН‡ОЛ Л В„У ‰В- ЩУ П‡ˆЛЛ, Н ЛБПВМВМЛ˛ ˜ЛТО‡, ПВТЪ‡ Л ı‡ ‡НЪВ ‡ В„У ФВ ВТВ˜ВМЛfl Т ‰Л‡„УМ‡О¸˛ xn = xn + 1 . ç‡Ô ËÏ , Ô Ë β = = 0 „ ‡ÙËÍ Ô Â‚ ‡˘‡ÂÚÒfl ‚ Ô flÏÛ˛ ( ËÒ. 3, ·) Л ЛПВВЪ У‰МУ ФВ ВТВ˜ВМЛВ ‚ ЪУ˜НВ ë. àÁÓ· ‡Ê‡˛˘‡fl ÚӘ͇ ÔÓÔ‡- ‰‡ÂÚ ‚ ë ËÁ β·Ó„Ó Ì‡˜‡Î¸ÌÓ„Ó Á̇˜ÂÌËfl x0 (ÒÏ. ËÒ. 3, ·), ÚÓ ÂÒÚ¸ ˝Ú‡ ÚӘ͇ fl‚ÎflÂÚÒfl ‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌ˚Ï ‡ÚÚ ‡ÍÚÓ ÓÏ [3, 4]. é̇ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ÍÓη‡ÌËflÏ Ï‡flÚÌË͇, ÔÓ- ‚ÚÓ fl˛˘ËÏÒfl ˜Â ÂÁ Ó‰ËÌ Ô ËÓ‰ ‚̯ÌÂ„Ó ‚ÓÁ‰ÂÈÒÚ- ‚Ëfl (ˆËÍÎÛ Ô ËÓ‰‡ 1í). З У·˘ВП ТОЫ˜‡В ЪУ˜ВН ФВ ВТВ- ˜ВМЛИ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ МВТНУО¸НУ. з‡Ф ЛПВ , М‡ ЛТ. 3, ‡ Ëı Ú Ë, ËÁ ÍÓÚÓ ˚ı Ӊ̇ (Ô ‡‚‡fl) fl‚ÎflÂÚÒfl ‡ÚÚ ‡ÍÚÓ ÓÏ,

‡ ‰‚В ‰ Ы„ЛВ МВЫТЪУИ˜Л‚˚. АЪЪ ‡НЪУ ˚, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛-

˘ЛВ ЫТЪУИ˜Л‚˚П НУОВ·‡МЛflП, ПУКМУ М‡ИЪЛ ФУТОВ‰У- ‚‡ЪВО¸МУ ‚˚˜ЛТОflfl ФУ (4) БМ‡˜ВМЛВ xn + 1 . 燘‡Î¸ÌÓ Á̇˜ÂÌË xn = x0 ‚˚·Л ‡ВЪТfl Ф УЛБ‚УО¸МУ. щЪУ ПУКМУ Т‰ВО‡Ъ¸ Л „ ‡ЩЛ˜ВТНЛ Т ФУПУ˘¸˛ ‰Л‡„ ‡ПП˚ г‡ПВ Вfl (ТП. ЛТ. 3, ‡). ó ÂÁ ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ·Óθ¯Ó ˜ËÒÎÓ ¯‡„Ó‚ (Ì‡Ô ËÏ , n > 100 ЛОЛ 500) ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡ВЪТfl НУОВ·‡- ЪВО¸М˚И ВКЛП Т УФ В‰ВОВММ˚П ФУ‚ЪУ fl˛˘ЛПТfl М‡- ·У УП ЛОЛ ФУТЪУflММ˚ПЛ ЫТ В‰МВММ˚ПЛ БМ‡˜ВМЛflПЛ ФВ ВПВММ˚ı. иУ‚ЪУ ВМЛВ БМ‡˜ВМЛИ xn ˜В ВБ ‡Б УБМ‡˜‡- ВЪ ЫТЪ‡МУ‚ОВМЛВ ˆЛНО‡ ФВ ЛУ‰‡ 2. З ˆЛНО‡ı ФВ ЛУ‰‡ å Á̇˜ÂÌËfl xn ÔÓ‚ÚÓ fl˛ÚÒfl ˜Â ÂÁ å ¯‡„У‚ ‰ЛТН ВЪМУ„У ‚ ВПВМЛ. з‡Ф ЛПВ , Ф Л БМ‡˜ВМЛflı Ф‡ ‡ПВЪ У‚, ТУУЪ- ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Лı ЛТ. 3, ‡, ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ x0 ‚ ПУ‰ВОЛ ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡˛ЪТfl НУОВ·‡МЛfl ФВ ЛУ‰‡ 3 ЛОЛ 1. н‡Н‡fl ТЛЪЫ‡ˆЛfl М‡Б˚‚‡ВЪТfl ·ЛТЪ‡·ЛО¸МУТЪ¸˛, ‡ ВТОЛ ‚УБПУК- М˚ı ‚Л‰У‚ НУОВ·‡МЛИ МВТНУО¸НУ, „У‚У flЪ У ПЫО¸ЪЛТЪ‡- ·ЛО¸МУТЪЛ. З˚·У У‰МУ„У ЛБ ПЫО¸ЪЛТЪ‡·ЛО¸М˚ı ‚Л‰У‚ НУОВ·‡МЛИ УФ В‰ВОflВЪТfl Б‡‰‡МЛВП М‡˜‡О¸М˚ı ЫТОУ‚ЛИ. зВЫТЪУИ˜Л‚˚В ˆЛНО˚ МВ В‡ОЛБЫ˛ЪТfl ‚ ˝НТФВ ЛПВМЪВ, МУ УН‡Б˚‚‡˛Ъ ТЫ˘ВТЪ‚ВММУВ ‚ОЛflМЛВ М‡ ‰ЛМ‡ПЛНЫ П‡flЪМЛН‡.

дАкнх кЦЬаейЗ. ийСйЕаЦ

СОfl УФЛТ‡МЛfl ПМУКВТЪ‚‡ ЪЛФУ‚ НУОВ·‡МЛИ П‡flЪМЛН‡ ЛТФУО¸БЫВП ФУ‰ıУ‰˚, ‡Б ‡·УЪ‡ММ˚В ‚ МВОЛМВИМУИ ‰ЛМ‡- ПЛНВ. 燄Оfl‰МУВ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛВ У НУОВ·‡МЛflı, НУЪУ ˚В ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡˛ЪТfl ‚ ТЛТЪВПВ ФУТОВ Б‡ЪЫı‡МЛfl ФВ ВıУ‰МУ„У Ф УˆВТТ‡, ‰‡˛Ъ: 1) ·ЛЩЫ Н‡ˆЛУММ˚В ‰Л‡„ ‡ПП˚ – Б‡‚Л- ТЛПУТЪЛ БМ‡˜ВМЛИ xn , ФУОЫ˜‡˛˘ЛıТfl ФУТОВ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ·УО¸¯У„У ˜ЛТО‡ ¯‡„У‚ Т˜ВЪ‡, УЪ ‚ВОЛ˜ЛМ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ( ЛТ. 3, ‚–‰); 2) Н‡ Ъ˚ ВКЛПУ‚ – М‡ ФОУТНУТЪflı Ф‡ ‡- ПВЪ У‚ ˆ‚ВЪУП ЛОЛ Т ФУПУ˘¸˛ ОЛМЛИ ‚˚‰ВОfl˛ЪТfl У·- О‡ТЪЛ БМ‡˜ВМЛИ, Ф Л НУЪУ ˚ı ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡ВЪТfl ЪУЪ ЛОЛ ЛМУИ НУОВ·‡ЪВО¸М˚И ВКЛП ( ЛТ. 4).

к‡ТТПУЪ ЛП Н‡ ЪЫ (ТП. ЛТ. 4), ФУТЪ УВММЫ˛ М‡ ФОУТНУТЪЛ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl. Е УТ‡˛ЪТfl ‚ „О‡Б‡ ˆ‚ВЪМ˚В flБ˚НЛ, ТЪ ЫНЪЫ ˚ НУЪУ ˚ı Н‡˜ВТЪ‚ВММУ ФУ- ‰У·М˚. щЪУ У·О‡ТЪЛ ТОУКМ˚ı НУОВ·‡МЛИ М‡ ·‡БВ ‡Б- ОЛ˜М˚ı ТЫ·„‡ ПУМЛ˜ВТНЛı ˆЛНОУ‚. З Н ‡ИМВИ Ф ‡‚УИ У·О‡ТЪЛ ˝‚УО˛ˆЛУМЛ ЫВЪ ˆЛНО Γ: Ф Л ˝ЪЛı БМ‡˜ВМЛflı Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ТЫ˘ВТЪ‚Ы˛Ъ НУОВ·‡МЛfl ФВ ЛУ‰‡ 2, 4, 8, … Л

êËÒ. 4. д‡ Ъ‡ ВКЛПУ‚ ПУ‰ВОЛ (4) М‡ ФОУТНУТЪЛ Ф‡-‡ПВЪ У‚ A–N. с‚ВЪУП ‚˚‰ВОВМ˚ У·О‡ТЪЛ НУОВ·‡- МЛИ, ФВ ЛУ‰ НУЪУ ˚ı ЫН‡Б‡М ˆЛЩ ‡ПЛ УНУОУ У· ‡Б- ˆУ‚ ФУ‰ ЛТЫМНУП. й‰МУПЫ ˆ‚ВЪЫ ПУ„ЫЪ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚У- ‚‡Ъ¸ ‰‚ЛКВМЛfl У‰ЛМ‡НУ‚У„У ФВ ЛУ‰‡ ЛОЛ ı‡УТ М‡ ·‡БВ ‡БМ˚ı ˆЛНОУ‚. з‡ „ ‡МЛˆ‡ı У·О‡ТЪВИ Ф УЛТıУ- ‰flЪ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛЛ. с‚ВЪМ‡fl Н‡ ЪЛМ‡ ФОУıУ ФВ В‰‡ВЪ ТЛЪЫ‡ˆЛ˛ ‚ У·О‡ТЪflı ·Л- Л ПЫО¸ЪЛТЪ‡·ЛО¸МУТЪЛ, НУЪУ Ы˛ УЪ ‡К‡ВЪ Щ ‡„ПВМЪ ‚ ТВ В‰ЛМВ ЛТЫМН‡. б‰ВТ¸ ЛТФУО¸БУ‚‡М ТФУТУ· ЛБУ· ‡КВМЛfl У·О‡ТЪЛ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl Л ˝‚УО˛ˆЛЛ УФ В‰ВОВММУ„У ˆЛНО‡ М‡ УЪ‰ВО¸МУП ОЛТЪВ: sn – „ ‡МЛˆ˚ ОЛТЪУ‚, pd – ОЛМЛЛ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛИ Ы‰‚УВМЛfl ФВ ЛУ‰‡. й·О‡ТЪ¸ М‡ОУКВМЛfl ‰‚Ыı ОЛТЪУ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ ·ЛТЪ‡·ЛО¸МУТЪЛ Л „ЛТЪВ-ВБЛТЫ, МВТНУО¸НЛı ОЛТЪУ‚ – ПЫО¸ЪЛТЪ‡·ЛО¸МУТЪЛ

ı‡УТ М‡ В„У ·‡БВ. гВ‚ВВ ‡ТФУО‡„‡˛ЪТfl У·О‡ТЪЛ ВКЛПУ‚ М‡ ·‡БВ ˆЛНОУ‚ Γ1/2 , Γ1/3 Л Ъ.‰. щЪЛ У·О‡ТЪЛ ЛПВ˛Ъ Н‡˜В- ТЪ‚ВММУ У‰ЛМ‡НУ‚Ы˛ ТЪ ЫНЪЫ Ы – УМЛ ФУ‰У·М˚ ‰ Ы„ ‰ Ы„Ы Л Т‡ПУФУ‰У·М˚. л‡ПУФУ‰У·ЛВ УБМ‡˜‡ВЪ ЫТЪ УИТЪ- ‚У ФУ ЪЛФЫ П‡Ъ В¯НЛ: УТМУ‚МУИ НУМТЪ ЫНЪЛ‚М˚И ˝ОВПВМЪ, Ф В‰ТЪ‡‚ОВММ˚И М‡ ˜В МУ-·ВО˚ı Щ ‡„ПВМЪ‡ı Л- ТЫМН‡, ‰Ы·ОЛ ЫВЪТfl ‚У ‚ТВ ·УОВВ ПВОНЛı П‡Т¯Ъ‡·‡ı; УМ Ф УТП‡Ъ Л‚‡ВЪТfl ‚У ‚ТВı ˆ‚ВЪМ˚ı flБ˚Н‡ı Л Лı Щ ‡„ПВМ- Ъ‡ı. зУ ‚ УЪОЛ˜ЛВ УЪ П‡Ъ В¯НЛ, „ ‡МЛˆ˚ ТУТЪ‡‚Оfl˛˘Лı ˝ОВПВМЪУ‚ НУЪУ УИ МВ ФВ ВТВН‡˛ЪТfl, У·О‡ТЪЛ ТЫ˘ВТЪ- ‚У‚‡МЛfl ‡БОЛ˜М˚ı ‚Л‰У‚ НУОВ·‡МЛИ М‡ ФОУТНУТЪЛ Ф‡-‡ПВЪ У‚ П‡flЪМЛН‡ Ф Л ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ П‡О˚ı Ы У‚Мflı Б‡- ЪЫı‡МЛfl М‡НО‡‰˚‚‡˛ЪТfl ‰ Ы„ М‡ ‰ Ы„‡ (ТП. ЛТ. 4). и Л БМ‡˜ВМЛflı Ф‡ ‡ПВЪ У‚, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Лı У·О‡ТЪflП ФВ-ВТВ˜ВМЛfl ˆ‚ВЪМ˚ı flБ˚НУ‚, ‚ ТЛТЪВПВ ПУ„ЫЪ ЫТЪ‡МУ- ‚ЛЪ¸Тfl МВТНУО¸НУ ‡БОЛ˜М˚ı ‚Л‰У‚ НУОВ·‡МЛИ – ЛПВВЪ ПВТЪУ ПЫО¸ЪЛТЪ‡·ЛО¸МУТЪ¸.

зЦгазЦвзхв кЦбйзАзл. ЙалнЦкЦбал

кВБЫО¸Ъ‡Ъ ‡ТН‡˜Л‚‡МЛfl П‡flЪМЛН‡ ‚МВ¯МВИ ТЛОУИ Б‡‚Л- ТЛЪ УЪ ‚ ВПВММ˚ı П‡Т¯Ъ‡·У‚ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl. щЪУ ıУ У¯У ЛОО˛ТЪ Л Ы˛Ъ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ ЫТЪ‡МУ‚Л‚¯ЛıТfl БМ‡˜ВМЛИ xn ÓÚ ÌÓ ÏË Ó‚‡ÌÌÓÈ ˜‡ÒÚÓÚ˚ N ЛПФЫО¸ТУ‚ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl Ф Л МВЛБПВММУИ ‚ВОЛ˜ЛМВ А (ÒÏ. ËÒ. 3, ‚–‰). йН‡Б˚‚‡- ВЪТfl, Ф Л МВНУЪУ ˚ı ˜‡ТЪУЪ‡ı ТОВ‰У‚‡МЛfl ЛПФЫО¸ТУ‚ ФУ‰Ъ‡ОНЛ‚‡МЛВ П‡flЪМЛН‡ М‡Л·УОВВ ˝ЩЩВНЪЛ‚МУ – М‡- ·О˛‰‡ВЪТfl Ы‚ВОЛ˜ВМЛВ ‡ПФОЛЪЫ‰˚ НУОВ·‡МЛИ ( ВБУ- М‡МТ). щЪУЪ ЩВМУПВМ ·УОВВ Б‡ПВЪВМ, НУ„‰‡ ‡ПФОЛЪЫ‰˚ НУОВ·‡МЛИ МВБМ‡˜ЛЪВО¸М˚ |x| ! 1 ЛОЛ β = 0. З ˝ЪУП (ОЛМВИМУП) ТОЫ˜‡В ТЫ˘ВТЪ‚Ы˛Ъ ОЛ¯¸ В„ЫОfl М˚В НУОВ·‡- МЛfl ФВ ЛУ‰‡ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl, ЫТЪ‡МУ‚Л‚¯ВВТfl БМ‡˜ВМЛВ xn ‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌÓ, Ë „ ‡ÙËÍ xn(N) ЛПВВЪ ‚Л‰ ОЛМЛЛ – ВБУ- М‡МТМУИ Н Л‚УИ (ТП. ЛТ. 3, „). е‡НТЛПЫП˚ Н Л‚УИ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ ‡БОЛ˜М˚П ВБУМ‡МТ‡П: УТМУ‚МУИ, N = 1, М‡·О˛‰‡ВЪТfl Ф Л ‡‚ВМТЪ‚В ФВ ЛУ‰У‚ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl Л ТУ·ТЪ‚ВММ˚ı НУОВ·‡МЛИ. е‡НТЛПЫП˚ М‡ ˜‡ТЪУЪ‡ı N < 1 (ÒÛ· ÂÁÓ̇ÌÒ˚) ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛Ú ÒËÚÛ‡ˆËflÏ, ÍÓ„‰‡ ‚̯- ÌË ÚÓΘÍË ÒÎÂ‰Û˛Ú ÚÓ˜ÌÓ ˜Â ÂÁ 2, 3, 4, … Ô ËÓ‰‡ ÒÓ·- ÒÚ‚ÂÌÌ˚ı ÍÓη‡ÌËÈ1. и Л М‡ОЛ˜ЛЛ МВОЛМВИМУТЪЛ (β0) fl‚ОВМЛВ ВБУМ‡МТ‡ ТУı ‡МflВЪТfl, МУ ЛБ-Б‡ ·ЛЩЫ Н‡- ˆЛИ Л ı‡УТ‡ ОЛМЛЛ „ ‡ЩЛНУ‚ xn(N) ‡Á‰‚‡Ë‚‡˛ÚÒfl ËΡÁÏ˚‚‡˛ÚÒfl (ÒÏ. ËÒ. 3, ‚). д‡˜ВТЪ‚ВММУВ ‡БОЛ˜ЛВ В- БУМ‡МТ‡ Ф Л П‡О˚ı Л ·УО¸¯Лı ‡ПФОЛЪЫ‰‡ı НУОВ·‡МЛИ (ОЛМВИМУ„У Л МВОЛМВИМУ„У) Ы‰У·МУ Ф УТОВ‰ЛЪ¸ М‡·О˛- ‰‡fl Б‡ У‰МЛП ЛБ П‡НТЛПЫПУ‚ ВБУМ‡МТМУИ Н Л‚УИ Ф Л Ы‚ВОЛ˜ВМЛЛ А (ÒÏ. ËÒ. 3, ‰). л УТЪУП ‡ПФОЛЪЫ‰˚ Н Л- ‚‡fl ЛБ„Л·‡ВЪТfl, ВБУМ‡МТМ‡fl ˜‡ТЪУЪ‡ ЫПВМ¸¯‡ВЪТfl, ‡ Б‡- ЪВП ОЛМЛfl ‡Б ˚‚‡ВЪТfl М‡ ‚ВЪ‚Л. ЗВЪ‚Л ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ‡БМ˚П МВОЛМВИМ˚П ‚Л‰‡П НУОВ·‡МЛИ. з‡Ф ЛПВ , М‡ЛТ. 3, ‰ Ô Ë А = 2 ‚В ıМflfl ‚ВЪ‚¸ Ф ЛМ‡‰ОВКЛЪ ˆЛНОЫ Γ1 ,

‡ ÌËÊÌflfl – Γ1/2 .

1 и Л „‡ ПУМЛ˜ВТНУП ‚УБ‰ВИТЪ‚ЛЛ М‡ ОЛМВИМ˚И П‡flЪМЛН ТЫ·-ВБУМ‡МТ˚ УЪТЫЪТЪ‚Ы˛Ъ.

з‡ ˜‡ТЪУЪ‡ı ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Лı Б‡Н ‡- ¯ВММУИ У·О‡ТЪЛ ВБУМ‡МТМУИ Н Л‚УИ М‡ ЛТ. 3, ‚, ‰ Л ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ ‚ ‚˚‰ВОВММУИ ˆ‚ВЪУП У·О‡ТЪЛ ˜В МУ- ·ВОУ„У Щ ‡„ПВМЪ‡ М‡ ЛТ. 4, ЛПВВЪ ПВТЪУ ·ЛТЪ‡·ЛО¸- МУТЪ¸. аБПВМВМЛВ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ Ф Л ФВ ВıУ‰В ˜В ВБ ˝ЪЫ У·О‡ТЪ¸ ТУФ У‚УК‰‡ВЪТfl „ЛТЪВ ВБЛТУП. Й В˜ВТНУВ ТОУ‚У “„ЛТЪВ ВБЛТ” (УЪТЪ‡‚‡МЛВ, Б‡Ф‡Б‰˚‚‡МЛВ) ЛТФУО¸БЫВЪТfl ЩЛБЛН‡ПЛ ‚ ТЛЪЫ‡ˆЛflı, НУ„‰‡ ‚ВОЛ˜ЛМ‡, ı‡ ‡НЪВ ЛБЫ˛- ˘‡fl ТУТЪУflМЛВ У·˙ВНЪ‡ М‡·О˛‰ВМЛfl, МВУ‰МУБМ‡˜МУ Б‡- ‚ЛТЛЪ УЪ ‚МВ¯МЛı ЫТОУ‚ЛИ. з‡Ф ЛПВ , М‡П‡„МЛ˜ВММУТЪ¸ У· ‡Бˆ‡ ЩВ УП‡„МВЪЛН‡ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ‡БМУИ Ф Л У‰МУИ Л ЪУИ КВ ЛМ‰ЫНˆЛЛ ‚МВ¯МВ„У П‡„МЛЪМУ„У ФУОfl. м М‡Т Т ˝ЪЛП ТОУ‚УП Т‚flБ‡МУ ЪУ, ˜ЪУ Ф Л ФУФ‡‰‡МЛЛ ‚ У·- О‡ТЪ¸ ·ЛТЪ‡·ЛО¸МУТЪЛ М‡ ЛТ. 3, ‚, ‰ Ò΂‡ ÛÒڇ̇‚ÎË‚‡- ÂÚÒfl Ó‰ËÌ ˆËÍÎ, ‡ ÒÔ ‡‚‡ – ‰ Û„ÓÈ. Ñ Û„ËÏË ÒÎÓ‚‡ÏË, Ô Ë Û‚Â΢ÂÌËË N В‡ОЛБЫВЪТfl МЛКМflfl ‚ВЪ‚¸ ВБУМ‡МТМУИ Н Л‚УИ, ‡ Ф Л ЫПВМ¸¯ВМЛЛ – ‚В ıМflfl. З У·О‡ТЪflı ПЫО¸ЪЛТЪ‡·ЛО¸МУТЪЛ ПУКМУ ‚ТЪ ВЪЛЪ¸ ·УОВВ ТОУКМ˚В ‚‡ Л‡МЪ˚ „ЛТЪВ ВБЛТ‡.

ïАéë

и Л ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ·УО¸¯Лı β, НУ„‰‡ ‡ПФОЛЪЫ‰‡ НУОВ·‡МЛИ Т УТЪУП А ТЪ‡МУ‚ЛЪТfl БМ‡˜ЛЪВО¸МУИ, ‚ ТЛТЪВПВ ЫТЪ‡М‡‚- ОЛ‚‡˛ЪТfl ‡БОЛ˜М˚В ‚Л‰˚ ı‡УЪЛ˜ВТНЛı НУОВ·‡МЛИ. д УПВ ·ВТФУ fl‰У˜МУТЪЛ Ъ‡НЛВ ‰‚ЛКВМЛfl У·О‡‰‡˛Ъ ·УО¸¯УИ ˜Ы‚ТЪ‚ЛЪВО¸МУТЪ¸˛ Н ЛБПВМВМЛ˛ М‡˜‡О¸М˚ı ЫТОУ‚ЛИ. З ˝ЪУП ПУКМУ Ы·В‰ЛЪ¸Тfl, ВТОЛ, МВ ПВМflfl БМ‡- ˜ВМЛИ Ф‡ ‡ПВЪ У‚, ФУ‚ЪУ ЛЪ¸ ‡Т˜ВЪ˚ xn(n) ФУТОВ ТНУО¸ Ы„У‰МУ П‡ОУ„У ЛБПВМВМЛfl М‡˜‡О¸М˚ı ЫТОУ‚ЛИ x0 . З В- БЫО¸Ъ‡ЪВ У·М‡ ЫКЛ‚‡ВЪТfl ·˚ТЪ УВ М‡ ‡ТЪ‡МЛВ ‡ТıУК- ‰ВМЛfl ПВК‰Ы МУ‚УИ Л ТЪ‡ УИ В‡ОЛБ‡ˆЛflПЛ Т ЪВ˜ВМЛВП ‚ ВПВМЛ, ıУЪfl ‚М‡˜‡ОВ УМЛ ФУ˜ЪЛ ТУ‚Ф‡‰‡˛Ъ. щЪУЪ Щ‡НЪ У˜ВМ¸ ‚‡КВМ ‰Оfl ФУМЛП‡МЛfl ЩВМУПВМ‡ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУ„У ı‡УТ‡ [3]. йМ ·˚О УТУБМ‡М М‡Ы˜М˚П ТУУ·˘ВТЪ‚УП Т ‡‚- МЛЪВО¸МУ МВ‰‡‚МУ, Л УЪН ˚ЪЛВ В„У Ф ЛБМ‡МУ У‰МЛП Лı ‚‡КМВИ¯Лı ‰УТЪЛКВМЛИ М‡ЫНЛ ‚ XX ‚ВНВ. п‡УТ Б‡МЛП‡- ВЪ ·УО¸¯Ы˛ ˜‡ТЪ¸ ФОУТНУТЪЛ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ (ТП. ЛТ. 4). С‚Л„‡flТ¸ ФУ Н‡ ЪВ ВКЛПУ‚ ( ЛТ. 4) ЛБ У·О‡ТЪЛ ФВ ЛУ- ‰Л˜ВТНЛı НУОВ·‡МЛИ Н ı‡УТЫ, МВ ФВ ВТВН‡fl „ ‡МЛˆ ОЛТЪУ‚ (ТП. ˜В МУ-·ВО˚И Щ ‡„ПВМЪ), ПУКМУ Ы·В‰ЛЪ¸Тfl, ˜ЪУ ı‡УТЫ Ф В‰¯ВТЪ‚ЫВЪ ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪ¸ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛИ Ы‰‚УВМЛИ ФВ ЛУ‰‡ МВНУЪУ У„У ˆЛНО‡.

бАдгыуЦзаЦ

к‡ТТН‡Б‡ММУВ Ф У П‡flЪМЛНЛ М‡ Ф ЛПВ В ПУ‰ВОЛ Т МВОЛМВИМУТЪ¸˛ ЪЛФ‡ Пfl„НУИ Ф ЫКЛМ˚ ‚ ЪУИ ЛОЛ ЛМУИ ТЪВФВМЛ Ф ЛТЫ˘В ‡БОЛ˜М˚П ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚П ТЛТЪВП‡П, ТУ‚В ¯‡˛˘ЛП ‚˚МЫК‰ВММ˚В НУОВ·‡МЛfl УНУОУ ФУОУКВМЛfl ‡‚МУ‚ВТЛfl. й· ˝ЪУП „У‚У ЛЪ Т ‡‚МВМЛВ Т В- БЫО¸Ъ‡Ъ‡ПЛ ˜ЛТОВММ˚ı ЛТТОВ‰У‚‡МЛИ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸- М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ ‡БОЛ˜М˚ı МВОЛМВИМ˚ı УТˆЛООflЪУ У‚ Л ‰‡ММ˚ПЛ ЩЛБЛ˜ВТНЛı ˝НТФВ ЛПВМЪУ‚. н‡Н, ЫМЛ‚В Т‡О¸- М˚В ˝ОВПВМЪ˚ Ф Л‚В‰ВММУИ М‡ ЛТ. 4 ТЪ ЫНЪЫ ˚ Ф Л-

ТЫЪТЪ‚Ы˛Ъ М‡ ‡М‡ОУ„Л˜М˚ı ФОУТНУТЪflı Ф‡ ‡ПВЪ У‚ П‡- flЪМЛНУ‚ Т КВТЪНУИ Ф ЫКЛМУИ Л М‡·О˛‰‡˛ЪТfl Ф Л ‰ Ы„Лı ТФУТУ·‡ı ‚МВТВМЛfl ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl.

З ЪУ КВ ‚ ВПfl Ф Л‚В‰ВММ‡fl Н‡ ЪЛМ‡ МВ ЛТ˜В Ф˚‚‡ВЪ ПМУ„УУ· ‡БЛfl ‚УБПУКМ˚ı ‚‡ Л‡МЪУ‚ МВОЛМВИМУ„У ФУ- ‚В‰ВМЛfl П‡flЪМЛНУ‚. з‡Ф ЛПВ , ВТОЛ ТПУ‰ВОЛ У‚‡ММ˚И М‡ПЛ П‡flЪМЛН ФУ‰Ъ‡ОНЛ‚‡Ъ¸ МВ ‚ У‰МЫ ТЪУ УМЫ УЪ ФУОУКВМЛfl ‡‚МУ‚ВТЛfl, ‡ ТЛППВЪ Л˜МУ – ‚ У‰МЫ Л ‰ Ы„Ы˛, ЪУ ФВ В‰ Ы‰‚УВМЛflПЛ ФВ ЛУ‰‡ НУОВ·‡МЛИ Ф УЛТıУ‰ЛЪ Ъ‡Н М‡Б˚‚‡ВП‡fl ·ЛЩЫ Н‡ˆЛfl ФУЪВ Л ТЛППВЪ ЛЛ. и Л ˝ЪУП ‚ПВТЪУ У‰МУ„У ТЛППВЪ Л˜МУ„У ‰‚ЛКВМЛfl ‚ ТЛТЪВПВ УК‰‡˛ЪТfl ‰‚‡ БВ Н‡О¸МУ-ТЛППВЪ Л˜М˚ı ‰‚ЛКВ- МЛfl-·ОЛБМВˆ‡. ЦТЪВТЪ‚ВММУ, ˜ЪУ ФУ‚В‰ВМЛВ ·УОВВ ТОУКМУИ НУОВ·‡ЪВО¸МУИ ТЛТЪВП˚ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ В˘В ·УОВВ ЛБУ˘ ВММ˚П. иУ˝ЪУПЫ, ‡Б„Оfl‰˚‚‡fl ФВ ВФОВЪВМЛВ ˆ‚В- ЪУ‚ Л ОЛМЛИ М‡ ЛТ. 4, МВ‚УО¸МУ Б‡‰ЫП˚‚‡В¯¸Тfl У ТОУКМУТЪЛ ПЛ УЫТЪ УИТЪ‚‡, ВТОЛ Ф ЛПЛЪЛ‚М˚И „ ЫБ М‡ ТЪВ КМВ ‚В‰ВЪ ТВ·fl ТЪУО¸ МВФ УТЪУ.

зВ Ъ‡Н ‰‡‚МУ ‚ КЫ М‡ОВ “З ПЛ В М‡ЫНЛ” ‚˚¯О‡ ТЪ‡- Ъ¸fl У ı‡УЪЛ˜ВТНЛı НУОВ·‡МЛflı ‚ НУМЪЫ В Т ‰ЛУ‰УП, „‰В УЪПВ˜‡О‡Т¸ ‰УТЪЫФМУТЪ¸ МВОЛМВИМУ„У ˝ОВНЪ Л˜ВТНУ„У П‡flЪМЛН‡ Л „У‚У ЛОУТ¸, ˜ЪУ УМ “‰УОКВМ ТЪУflЪ¸ ‚ Н‡К‰УП ‰УПВ М‡ ФУ‰УНУММЛНВ”. д‡К‰УПЫ ‰УПЫ М‡‚ fl‰ ОЛ, МУ ЩЛБЛ˜ВТНЛП Н‡·ЛМВЪ‡П Л Ф ‡НЪЛНЫП‡П УМ ‰ВИТЪ‚ЛЪВО¸- МУ У˜ВМ¸ ФУ‰ıУ‰ЛЪ (Ф ‡НЪЛ˜ВТНЛВ ВНУПВМ‰‡ˆЛЛ ПУКМУ М‡ИЪЛ ‚ [5]). уЪУ КВ Н‡Т‡ВЪТfl Ф УТЪ˚ı ПУ‰ВО¸М˚ı УЪУ·-‡КВМЛИ, ЪУ Лı ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl ‚ФУОМВ ФУ ТЛО‡П Н‡К‰УПЫ ТЪЫ‰ВМЪЫ ЛОЛ ТЛО¸МУПЫ Ы˜ВМЛНЫ-ТЪ‡ ¯ВНО‡ТТМЛНЫ. б‡- Ф У„ ‡ППЛ ЫИЪВ ЩУ ПЫОЫ (4) Л Т ФУПУ˘¸˛ Н‡ Ъ˚ ВКЛПУ‚ УЪФ ‡‚ОflИЪВТ¸ ‚ Ы‚ОВН‡ЪВО¸МЫ˛ Ф У„ЫОНЫ ФУ Ф У- ТЪУ МУПЫ БУУФ‡ НЫ МВОЛМВИМ˚ı НУОВ·‡МЛИ П‡flЪМЛН‡.

ганЦкАнмкА

1.í ۷ˆÍÓ‚ Ñ.à. дУОВ·‡МЛfl Л ‚УОМ˚ ‰Оfl „ЫП‡МЛЪ‡ ЛВ‚. л‡ ‡- ЪУ‚: ЙУТмзс “дУООВ‰К”, 1997. 392 Т.

2.чÌËÎÓ‚ û.А. зВОЛМВИМУТЪ¸ // бМ‡МЛВ – ТЛО‡. 1982. ‹ 11. л. 34.

3.АÌˢÂÌÍÓ Ç.ë. ÑÂÚ ÏËÌË Ó‚‡ÌÌ˚È ı‡ÓÒ // ëÓ ÓÒÓ‚ÒÍËÈ é· ‡ÁÓ‚‡ÚÂθÌ˚È ÜÛ Ì‡Î. 1997. ‹ 6. ë. 70–76.

4.ÅÂÎ˚ı Ç.ç. щОВПВМЪ‡ МУВ ‚‚В‰ВМЛВ ‚ Н‡˜ВТЪ‚ВММЫ˛ ЪВУ Л˛ Л ЪВУ Л˛ ·ЛЩЫ Н‡ˆЛИ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП // н‡П КВ. ‹ 1. л. 115–121.

5.ÅÂÁ Û˜ÍÓ Å.è., ܇ÎÌËÌ А.û., è ÓıÓ Ó‚ å.Ñ., лВОВБМfi‚ Ц.и. СЛТН ВЪМ˚В МВОЛМВИМ˚В ПУ‰ВОЛ ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛ ‚УБ·ЫК‰‡В- ПУИ RL–‰ËÓ‰ ˆВФЛ // аБ‚. ‚ЫБУ‚. и ЛНО. МВОЛМВИМ‡fl ‰ЛМ‡- ПЛН‡. 1997. н. 5, ‹ 2/3. л. 48–62.

кВˆВМБВМЪ ТЪ‡Ъ¸Л Ç.è. ä ‡ÈÌÓ‚

* * *

ЕУ ЛТ иВЪ У‚Л˜ ЕВБ Ы˜НУ, ‰УНЪУ ЩЛБЛНУ-П‡ЪВП‡ЪЛ- ˜ВТНЛı М‡ЫН, Ф УЩВТТУ Н‡ЩВ‰ ˚ ˝ОВНЪ УМЛНЛ, НУОВ·‡- МЛИ Л ‚УОМ л‡ ‡ЪУ‚ТНУ„У „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММУ„У ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ‡. й·О‡ТЪ¸ М‡Ы˜М˚ı ЛМЪВ ВТУ‚ – ЪВУ Лfl НУОВ·‡МЛИ Л ‚УОМ, МВОЛМВИМ‡fl ‰ЛМ‡ПЛН‡, ˝ОВНЪ УМЛН‡ Т‚В ı‚˚ТУНЛı ˜‡ТЪУЪ. А‚ЪУ ·УОВВ 100 М‡Ы˜М˚ı ФЫ·ОЛН‡ˆЛИ.