- •Программная реализация численных методов и анализ результатов численного эксперимента
- •Методические указания
- •К курсовым работам по дисциплинам
- •«Информатика» и «Языки и технология программирования»
- •Содержание
- •Введение
- •1. Цель и задачи курсовых работ
- •2. Задание на курсовые работы
- •3. Структура пояснительной записки
- •Вычисление второй производной
- •4.1.2. Численное интегрирование функций
- •Метод Эйлера
- •4.1.3. Численное решение нелинейных уравнений
- •Метод бисекций
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона (касательных)
- •Метод хорд (секущих)
- •4.2. Применение экстраполяции для оценки погрешности
- •Численная фильтрация
- •Метод Эйткена
- •Критерий размытости оценки
- •Визуализация результатов экстраполяции
- •4.3. Разработка программ, реализующих комбинацию численных методов
- •5. Пример курсовой работы
- •Список Литературы
- •Образец оформления бланка задания на курсовую работу
- •Образец оформления титульного листа пояснительной записки
- •Уфимский государственный авиационный технический университет
- •Пояснительная записка
1. Цель и задачи курсовых работ
Целью выполнения курсовых работ является приобретение знаний и навыков, необходимых для разработки программного обеспечения при проведении математических расчетов.
Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:
изучение методов и алгоритмов численного решения задач;
приобретение навыков разработки программ, реализующих основные численные методы;
проведение численного эксперимента для возможности оценки погрешности численных результатов и их уточнения.
2. Задание на курсовые работы
Задание на курсовые работы выдается консультантом по индивидуальным вариантам в соответствии с формой, приведенной в прил. 1.
3. Структура пояснительной записки
Оформление курсовых работ предусматривает написание пояснительной записки. Пояснительная записка оформляется на листах формата А4 и должна включать в себя:
титульный лист;
задание на курсовую работу;
содержание;
введение;
основную часть;
заключение;
список литературы;
приложения.
Во введении даются сведения об исследуемом численном методе. Анализируются особенности численного метода, обозначается алгоритм реализации численного метода. Объем введения – одна – две страницы.
Текст основной части делится на разделы. В ней излагаются основные результаты проведенной работы.
Нельзя применять нестандартные сокращения слов. Допустимо введение сокращенных наименований, которые должны быть предварительно расшифрованы.
Если текст в записке иллюстрируется рисунками или графиками, то они должны быть кратко пояснены. Формулы, на которые приходится ссылаться, должны быть пронумерованы. Допускается приводить таблицы данных расчетов и структурные схемы алгоритмов в виде рисунков. Таблицы и рисунки также нумеруются. При использовании текста, схем, формул из литературы, необходимо давать ссылку на источник, из которого они взяты.
В заключении делаются краткие выводы по работе, приводятся основные результаты работы, дается оценка ее эффективности. Объем заключения должен составлять около половины
страницы.
Приложения могут содержать тексты программ, таблицы и прочие данные, вынесенные из ограниченной по объему основной части.
4. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
4.1. ОСНОВНЫЕ численные методы
4.1.1. Численное дифференцирование функций
Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x. Тогда значение производной определяется следующими пределами [1]
. (1)
Вычисление первой производной
Для вычисления производной необходимо проведение ряда операций. Можно вычислять значения функции и проводить с ними арифметические действия. Но мы не можем вычислять пределы, поскольку это требует бесконечных затрат ресурсов (времени, памяти и т.д.). Получим приближенные формулы:
. (2)
Пусть – шаг разбиения. Введем обозначение и т.д. Тогда (2) можно переписать в виде
. (3)
Первое из этих трех отношений носит название правой разностной производной, второе – левой, третье – центральной разностной производной.
Вычисление второй производной
Для приближенного вычисления второй производной в качестве примера используем формулу [1]
, (4)
где определяется по формуле (3).
Отметим, что значения правой и левой разностных производных в точке одновременно являются центральными разностными производными и , рассчитанными соответственно в точках и (см. рис. 1).
Рис 1. Схема численного дифференцирования
Тогда
. (5)