- •Рабочая учебная программа дисциплины «Численные методы в инженерных расчетах»
- •1. Цель и задачи дисциплины
- •1.2. Задачи изучения дисциплины.
- •2. Содержание дисциплины.
- •2.1. Введение.
- •Раздел 1. Теория погрешностей. Вычислительные алгоритмы.
- •Раздел 2. Численное решение нелинейных уравнений.
- •Раздел 3. Численное решение систем уравнений.
- •Раздел 4. Интерполирование и приближение функций.
- •Раздел 5. Решение разностных уравнений.
- •Раздел 6. Численное дифференцирование интегрирование функций.
- •Раздел 7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Раздел 8. Численные методы решения уравнений с частными производными.
- •Раздел 9. Статистическое моделирование и обработка экспериментальных данных.
- •Раздел 10. Пакеты прикладных программ по вычислительной математике.
- •3. Виды работ с распределением времени.
- •4. Перечень тем лекционных и практических занятий.
- •5. Перечень тем, которые студенты должны проработать самостоятельно.
- •6. Перечень лабораторных работ.
- •7. Перечень контрольных работ
- •8. Информационно-методическое обеспечеие дисциплины
- •8.1. Основная литература
- •8.2. Дополнительная литература
- •8.3. Перечень компьютерных программ.
- •9. Краткие методические рекомендации самостоятельной работы по дисциплине.
- •Задание на контрольную работу.
- •Методические указания для студентов
- •Виды работ с распределением времени
- •Перечень тем лекционных и практических занятий
- •Перечень тем, которые студенты должны проработать самостоятельно
- •Перечень лабораторных работ
- •Задания и методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов-заочников 3 курса всех инженерно-технических специальностей (кроме 330200 эк, 330100 бжт). Введение
- •Лабораторная работа № 1 Приближенные вычисления.
- •Контрольные вопросы
- •Задание к лабораторной работе №1
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание отчета
- •Лабораторная работа № 2 Решение уравнений с одной неизвестной
- •Задания к лабораторной работе № 2
- •Контрольные вопросы
- •Задание к лабораторной работе № 3
- •(Перед каждым двузначным числом таблицы подразумевается ноль с запятой, например: 0,10; 0,09; 0,73...)
- •Организация вычислений на пэвм с помощью
- •Контрольные вопросы
- •II. Подбор эмпирических формул Постановка и решение задачи
- •Контрольные вопросы
- •Задания к лабораторной работе № 5
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание отчета
- •Методические указания по работе с системами
- •6.1.1. Управление системой.
- •Функциональные и специальные клавиши:
- •Ввод и редактирование выражений.
- •Редактирование формул.
- •Вставка текста.
- •6.1.2. Операторы и встроенные функции.
- •6.1.3. Простейшие вычисления.
- •6.1.4. Построение графиков.
- •6.1.5. Векторные и матричные операции.
- •6.1.6. Символьные операции.
- •6.1.7. Решение уравнений и систем.
- •6.1.8. Функции линейной и сплайн интерполяции.
- •Методические указания для преподавателей
- •Вопросы к дифференцированному зачету по дисциплине
- •Тесты промежуточного контроля по дисциплине «Численные методы в инженерных расчетах»
- •Тема 3: Интерполирование и приближение функций
- •Тема 4: Численное решение обыкновенных дифференциальтных уравнений.
- •Билеты и задачи для дифференцированного зачета по дисциплине «Численные методы в инженерных расчетах»
- •Задачи к билетам
Организация вычислений на пэвм с помощью
пакета программ MathCAD 6.0+
Покажем, как получить реализации Хi равномерно распределенных в интервале (0;1) случайных чисел и построить статистическую модель нормальной случайной величины Z с помощью системы MathCAD 6.0+.
Пример 5.2. Пусть Z-случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: M(Z)=2, (Z)=3, где М – математическое ожидание, – среднее квадратичное отклонение.
Требуется промоделировать n=200 значений этой случайной величины. Найти оценки для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, построить гистограммы частот и относительных частот.
Решение. Будем исходить из следующих соображений:
Пусть Х – случайная величина, равномерно распределенная в промежутке (0,1). На основании центральной предельной теоремы А.М. Ляпунова случайная величина Y со значениями
yj= (5.1)
приближенно является нормированной нормальной с параметрами M(Y)=0, (Y)=1 (M(X)=0.5 – математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины Х).
Поэтому для получения одного значения yj нормальной случайной величины Y необходимо взять не менее 12*) значений (m12) xi равномерно распределенной в промежутке (0;1) случайной величины Х, т.е. взять не менее 12 различных реализаций Х1, Х2, ... , Хm, m12 случайной величины Х. Тогда случайная величина Z=M(Z) + (Z)Y будет практически нормальной с заданными параметрами М(Z) и (Z).
*)В примере 5.1 для простоты взята одна реализация случайной величины R={ri}, i= , равномерно распределенной в интервале (0;1). При увеличении m случайная величина Y достаточно быстро сходится к нормальному распределению.
Загружаем систему MathCAD 6.0+ (см. 6.1.1.) и выполняем следующие операции:
1. Строим матрицу А, содержащую 12 строк, i=0,1,…,11, и 200 столбцов, j=0,1,…, 199, элементами Аij которой являются случайные числа хi из промежутка (0;1). Генерирование равномерно распределенных случайных чисел из (0;1) осуществляется с помощью функции rnd(1).
Печатаем {i:0;11}, {j: 0;199}, {A[i,j:rnd(1)} (см. рис. 5.4.). Если ввести {А=}, MathCAD изобразит фрагмент матрицы А размерности 12200, в которой каждому элементу Аi,j будет присвоено произвольное число**) из промежутка (0;1) с тремя знаками после запятой.
Таким образом, каждая строка матрицы А есть одна из реализаций Xi, содержащая 200 значений, равномерно распределенной на (0;1) случайной величины Х.
2. Вводим исходные данные для математического ожидания М(Z)=2, среднего квадратичного отклонения s=(Z)=3 и вводим формулу для определения значений Zj искомой случайной величины Z.
Печатаем (см. §6.1.5) {M:2}, {s:3}, {Z[j:M+s*Ctrl4 (ACtrl6j –0.5)}.
Каждое значение Zj случайной величины получается следующим образом. Из каждого элемента A<j> (Ctrl6 – выделение j-того столбца матрицы А), j-того столбца, j=0,1,…,199, матрицы А вычитается число 0,5. Таким образом, все числа Ai,j, принадлежащие промежутку (0;1) попадают в промежуток . Затем новые элементы j-того столбца матрицы суммируются (Ctrl4). В результате получаются значения практически нормальной нормированной случайной величины с параметрами M=0 и =1, т.е. значения кривой Гаусса. Эти значения умножаются на =3 и складываются с M=2. Тогда Zj , j=0,1,…,199, есть значения практически нормальной случайной величины Z, которую необходимо построить.
**) Поскольку функция rnd есть генератор случайных чисел, то при каждом ее запуске значения Aij будут меняться.
Для иллюстрации выведем на экран фрагмент матрицы А; 0, 50, 150-ый столбцы матрицы А, фрагмент случайной величины Z {А=}, {ACtrl60=}, {ACtrl650=}, {ACtrl6150=},{Z=} (см. рис. 5.4–5.5).
Чтобы увидеть невидимые элементы матрицы А, выделите ее, щелкнув по ней () и, используя горизонтальную и вертикальную линии прокрутки, просмотрите интересующие области.
Сделаем также графическую интерпретацию значений элементов Aij матрицы А. На нижеследующем рисунке на оси абсцисс располагаются столбцы 0,1,…,199 матрицы А. По оси ординат точками из промежутка (0;1) изображаются числа, являющиеся элементами Ai,j матрицы (см. §6.1.4). Очевидно, что вся плоскость графика заполнена точками равномерно, т.е. нет такого, чтобы точки, соответствующие числу 0,5, наблюдались чаще, а числу 0,1 или 1,0 – реже.
Рис. 5.4.
3. Находим оценки для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения полученных n=200 значений рассматриваемой случайной величины Z двумя способами. Вначале согласно определению каждой из указанных характеристик, а затем посредством функций вычисления статистических оценок случайных совокупностей, реализованных в MathCAD 6.0+: mean(Z), var(Z), stdev(Z).
{M1Ctrl4Z/200}, {M1=}, {mean(Z)=},
{Z1[j:(Z[j–M1)^2},
{D1Ctrl4(Z1/200}, {D1=}, {var(Z)=},
{s1\D1}, {s1=}, {stdev(Z)=}.
Очевидно, что M1 и s1 практически совпадают с заданными M=2 и =3.
4. Подготовим данные для построения требуемых гистограмм.
Определим число k интервалов, на которые нужно разделить полученную серию значений рассматриваемой случайной величины {k:1+3.22*log(200) }, {k=}.
Округляем до ближайшего целого {k:9}.
Находим величину шага h для построения гистограммы {h:max(Z)–min(Z)/k},{min(Z)=}, {max(Z)=}, {h=}
Находим границы rn девяти интервалов, на которые разбит промежуток, которому принадлежат Zj от min(Z) до max(Z). Печатаем {n:0;k}, {r[n:min(Z)+h*n}.
Посредством функции hist определяем число Nm значений Zj величины Z, попавших в каждый из найденных интервалов rn. Вводим {m:0; k–1}, {N:hist(r,Z)}, {r[1–r[0=}, {r[6–r[5=}, {r[9–r[8=}, {N[0=}, {N[4=}, {N[8=}, {r[n=}, {N=}.
В результате получаем 9 интервалов одинаковой длины h=1,75, в каждый из которых в порядке возрастания индексов граничных точек попало соответственно N0=5, N1=13 , …, N8=7 значений Zj случайной величины Z. Иными словами функция hist возвращает вектор N, в котором Ni есть число значений из Z, удовлетворяющих условию:
, n=0,1,…,9; m=0, 1,…,8.
Таким образом, получено статистическое распределение случайной величины Z – соответствие между интервалами rn, в которые заключены наблюдаемые значения Zj величины Z, и частотами Ni.
В гистограмме частот прямоугольники должны иметь одинаковую ширину h, а высоты должны быть равны отношению (плотность частоты). Тогда площадь i-го прямоугольника равна – сумме частот i-го интервала, а площадь гистограммы частот равна сумме всех частот Ni, т.е. объему выборки n=200.
Печатаем {N1[m:N[m/h}, {h*N1=}, {N1=} и строим гистограмму частот, где по оси абсцисс указываем rm, а по оси ординат N1m.
Рис. 5.5
Гистограмма относительных частот отличается от гистограммы частот тем, что по оси ординат откладывают плотности относительных частот Wi/h=Ni/( )=N1i/n=N1i/200. Соответственно площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.
Вводим {W1[m:N1[m/200}, {h*W1 Ctrl6m=}, {W1=}. Для построения гистограммы относительных частот разметка координатных осей следующая: ось абсцисс – rm, ось ординат – W1m.
Для проверки построим график (см. §6.1.4) функции плотности распределения вероятностей нормальной случайной величины с заданными параметрами M=2, =s=3:
f(x)= .
Печатаем {x:–10,-9.9;15}, {f(x):1/s*\2*CtrlP*exp(–(x–M)^2/2*s^2}
Рис. 5.6
Как видим гистограмма относительных частот и график функции f(x) похожи.
Документ MathCAD 6.0+ с решением задачи 5.2 приведен на рис. 5.4–5.6.