- •Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и пространстве. Понятие функции
- •Тема 1. Прямая на плоскости
- •Тема 2. Кривые второго порядка
- •Тема 3. Уравнение плоскости
- •Тема 4. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Тема 5. Функция. Область определения
- •Тема 6. Непрерывность функции. Предел функции
Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и пространстве. Понятие функции
Тема 1. Прямая на плоскости
1. Даны две точки: и . Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно вектору .
2. Составить уравнение прямой, если точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
3. Даны вершины треугольника: , , . Составить уравнения его высот.
4. Даны уравнения сторон треугольника , , . Определить точку пересечения его высот.
5. Даны вершины треугольника: , , . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.
6. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат прямоугольной системы Oxy и наклоненной к оси Ox под углом:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
8. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат:
параллельно прямой ;
перпендикулярно прямой ;
образующей угол с прямой ;
наклоненной под углом в к прямой .
9. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно:
1) оси абсцисс; 2) биссектрисе координатного угла; 3) прямой .
10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью Ox угол вдвое больше угла, составленного с этой осью прямой .
11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой:
1) ;
2) .
12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку на одинаковом расстоянии от точек и .
13. Найти точку , симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки и .
14. Определить угол между прямыми:
, ;
, ;
, ;
, .
15. Установить, какие из следующих прямых перпендикулярны:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
16. Даны две противоположные вершины квадрата: и . Составить уравнение его сторон.
17. Точка является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения остальных сторон квадрата.
18. Даны уравнения сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник равнобедренный.
19. Точка является вершиной квадрата, одна из сторон которого задана уравнением . Вычислить площадь этого квадрата.
20. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин . Вычислить площадь этого квадрата.
21. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:
1) 2)
3) 4)
Тема 2. Кривые второго порядка
1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что:
а) полуоси его
б) расстояние между фокусами а большая ось
в) малая полуось и расстояние между фокусами
г) большая полуось а эксцентриситет
д) малая полуось а эксцентриситет
е) сумма полуосей а расстояние между фокусами
2. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что: а) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b=3; б) большая полуось a=6, а эксцентриситет ; в) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ; г) расстояние между фокусами равно 6, а ; д) расстояние между фокусами равно , а .
3. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса
4. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что: а) расстояние между фокусами 2c=10, а между вершинами 2а=8; б) действительная полуось , а эксцентриситет ; в) расстояние между фокусами 2с=6, а эксцентриситет ; г) расстояние между фокусами 2с=20, а уравнение асимптот ; д) мнимая полуось b=4, а расстояние между фокусами 2с=10.
5. Построить гиперболу Найти: а) действительную и мнимую полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот.
6. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами 30.
7. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет Найти уравнение гиперболы.
8. Построить гиперболу Найти: а) действительную и мнимую полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот.
9. Найти уравнения асимптот гиперболы
10. Построить эллипс Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет.
11. Уравнения асимптот гиперболы и , а расстояние между фокусами Найти уравнение гиперболы.
12. Парабола проходит через точку А(2,4). Определить ее параметр p.
13. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Оx.
14. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса, если известно, что эллипс проходит через точки и
15. Эллипс проходит через точки и . Написать его уравнение и найти расстояния точки М от фокусов.
16. Гипербола проходит через точку и имеет мнимую полуось b=2. Написать ее уравнение и найти расстояния точки М от фокусов.
17. Построить параболу . Найти а) координаты фокуса; б) уравнение директрисы.
18. Написать уравнение параболы: а) проходящей через точки (0;0) и (1;-3) и симметричной относительно оси Оx; б) проходящей через точки (0;0) и (2;-4) и симметричной относительно оси Оy.
19. Написать уравнение параболы и уравнение директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси Оx и что точка пересечения прямых и лежит на параболе.
20. Найти фокальные радиусы и для эллипса , если точка М(-4,2,4) принадлежит эллипсу.
21. Фокусы эллипса расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат. Точка принадлежит эллипсу, а его малая полуось Найти большая полуось .