Министерство образования и науки российской федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Е.В. Кувыкина
Задания для контрольного опроса
по теме «Случайные величины»
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией факультета ВМК для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 040100 «Социология»
Нижний Новгород
2011
УДК 519.21
ББК В171
К 88
К 88 Кувыкина Е.В. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОГО ОПРОСА ПО ТЕМЕ «СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ»: Учебное пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011. – 25 с.
Рецензент: д.т.н., профессор В.Н.Комаров,
Настоящее пособие содержит варианты заданий для проведения письменного опроса по теме «Случайные величины» в рамках курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Их выполнение развивает у студентов навыки решения задач на одномерные и многомерные случайные величины, а также предполагает знание важнейших понятий и определений теории вероятностей. Задания составлены в соответствии с программой лекционного курса и позволяют проконтролировать степень усвоения студентами основных разделов темы «Случайные величины».
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов высших учебных заведений и факультетов социально-экономического профиля.
УДК 519.21
ББК В171
© Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского, 2011
Настоящее пособие предназначено для развития и контроля навыков самостоятельного решения задач по теме «Случайные величины» в рамках курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Оно содержит 40 вариантов заданий, имеющих равную сложность и трудоемкость. Каждое задание состоит из двух частей: практической и теоретической. В практической части (задания 1,2) приведены задачи на одномерные и многомерные случайные величины. Теоретическая часть (задания 3-5) содержит вопросы, которые охватывают важнейшие определения и положения теории вероятностей. Контрольное время выполнения варианта - 2 академических часа. При оценке работы основное внимание уделяется выполнению заданий 1,2, но учитывается правильность и полнота ответов на теоретические вопросы. Задания составлены в соответствии с программой лекционного курса и практических занятий по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».
При подготовке к выполнению работы рекомендуется следующая литература:
Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – СПб., изд. «Лань», 2002.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: КНОРУС, 2010.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983.
Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2000.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Федоткин М.А. Основы прикладной теории вероятностей и статистики. – М.: Высшая школа, 2006.
3
ВАРИАНТ №1
1. Вероятность попадания в цель для данного стрелка при одном выстреле равна 0.7. Стрелок делает 6 выстрелов по мишени. Случайная величина ξ – число попаданий. Определить тип распределения для случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
-1
1
-1
0
1/6
0
1/6
1/6
1
1/6
2/6
Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ..
3. Классическое определение вероятности.
4. Мода и медиана.
5. Частные распределения случайного вектора (определение, способы получения).
ВАРИАНТ №2
1. Охотник, имеющий в запасе 5 патронов, стреляет в зверя до первого попадания. Случайная величина ξ – число произведенных выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.7. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
2.
-
η \ξ
0
2
-1
1/4
0
0
1/2
1/8
1
1/8
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), частные распределения для случайных величин ξ и η, cov(ξ, η).
3. Свойства вероятности.
4. Математическое ожидание и его свойства.
5. Условные законы распределения.
4
ВАРИАНТ №3
1. Испытываются 6 приборов на надежность. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0.5. Каждый следующий прибор испытывают только, если предыдущий выдержал испытание. Случайная величина ξ – число испытанных приборов. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x).
2.
-
η \ξ
0
2
0
1/2
1/4
2
1/4
0
. Найти все условные распределения случайной величины ξ, ρ(ξ, η).
3. Геометрический подход к определению вероятности.
4. Биномиальная случайная величина( распределение, математическое ожидание, дисперсия).
5. Двумерная функция распределения и ее свойства.
ВАРИАНТ №4
1. Три баскетболиста делают по одному броску в кольцо. Вероятности попадания для них равны соответственно 0.3, 0.5, 0.7. Случайная величина ξ – суммарное число попаданий. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
2.
-
η \ξ
0
1
2
0
1/2
1/4
1/8
2
0
1/8
0
. Найти все условные распределения случайной величины ξ, ρ(ξ, η).
3. Условная вероятность, ее свойства.
4. Распределение Пуассона ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).
5. Ковариация и ее свойства.
5
ВАРИАНТ №5
1. Три баскетболиста делают по одному броску в кольцо. Вероятности попадания для них равны соответственно 0.3, 0.5, 0.7. Случайная величина ξ – суммарное число попаданий. Найти М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
-1
1
-1
3/8
1/8
1
1/2
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).
3. Независимость случайных событий, их свойства, независимость в совокупности.
4. Равномерный закон распределения ( распределение, математическое ожидание, дисперсия)
5. Коэффициент корреляции и его свойства.
ВАРИАНТ №6
1. Игральную кость подбрасывают 4 раза. Случайная величина ξ – число выпадения грани с «3» очками. Определить тип распределения для случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
-1
0
1
0
1/8
1/2
0
2
0
1/4
1/8
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ.
3. Теорема сложения случайных событий.
4. Функция распределения, ее свойства.
5. Ковариация и ее свойства.
6
ВАРИАНТ №7
.
1. Две правильные монеты подбрасывают 5 раз. Случайная величина ξ – число бросков, закончившихся выпадением одинаковых граней на монетах. Определить тип распределения для случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
1
3
-1
1/4
1/4
1
1/2
0
. Найти частные распределения для случайных величин ξ и η, все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).
3. Теорема умножения случайных событий.
4. Непрерывная случайная величина, свойства плотности распределения.
5. Двумерная функция распределения.
ВАРИАНТ №8
1. Имеется три урны: в первой – 3 белых и 2 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных шара, в третьей – 1 белый и 1 черный шар. Из каждой урны берут по одному шару. Случайная величина ξ – число белых шаров в выборке. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
2.
-
η \ξ
-1
1
0
2/6
1/6
1
0
3/6
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).
3. Формула полной вероятности.
4. Геометрическое распределение ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).
5. Независимость случайных величин.
7
ВАРИАНТ №9
1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания при одном выстреле для каждого из них равны соответственно 0.7, 0.8. Каждый делает по одному выстрелу. Случайная величина ξ – число попаданий в мишень. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
2.
-
η \ξ
0
2
0
1/4
1/4
2
1/4
1/4
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), частные распределения для случайных величин ξ и η, cov(ξ, η).
3. Формула полной вероятности, свойства гипотез.
4. Показательное распределение ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).
5. Коэффициент корреляции и его свойства.
ВАРИАНТ №10
1. Вероятность попадания в кольцо для данного баскетболиста равна 0.7.
Случайная величина ξ – число попаданий при трех бросках Определить тип распределения для случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.
.
2.
-
η \ξ
-1
1
-1
1/4
1/4
1
1/2
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), ρ(ξ, η).
3. Формула Байеса.
4. Дисперсия, ее свойства.
5. Нормальный закон распределения.
8
ВАРИАНТ №11
1. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны достают сразу три шара. Случайная величина ξ – число белых шаров среди выбранных. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x).
2.
-
η \ξ
0
2
-1
2/6
1/6
1
1/6
2/6
. Найти все условные распределения случайной величины ξ, ρ(ξ, η).
3. Свойства плотности распределения.
4. Условная вероятность, ее свойства.
5. Ковариация и ее свойства.
ВАРИАНТ №12
1. Некто владеет тремя акциями. Первая акция является доходной с вероятностью 0.2, вторая – с вероятностью 0.5, третья – с вероятностью 0.3.
Случайная величина ξ – число акций, приносящих доход. Найти М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
-1
1
-1
0
1/2
0
1/2
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), ρ(ξ, η).
3. Формула полной вероятности.
4. Распределение Пуассона ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).
5. Условные законы распределения.
9
ВАРИАНТ №13
1. В урне находится 2 белых и 4 черных шара. Извлекают одновременно 4 шара. Случайная величина ξ – число белых шаров в выборке. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
2.
-
η \ξ
-1
0
2
-1
0
1/4
0
0
1/4
1/4
1/4
. Найти все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).
3. Аксиоматическое определение вероятности.
4. Дискретная случайная величина, способы ее задания.
5. Частные распределения случайного вектора
ВАРИАНТ №14
1. Для первого студента вероятность успешной сдачи экзамена равна 0.8, для второго – 0.5, для третьего- 0.2. Случайная величина ξ – число студентов, успешно сдавших экзамен. Найти М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
-1
1
0
1/3
0
1
0
1/3
2
1/3
0
. Найти все условные распределения случайной величины η, cov(ξ, η).
3. Классическое определение вероятности.
4. Функция распределения, ее свойства.
5. Нормальный закон распределения
10
ВАРИАНТ №15
1. Среди 7 книг, стоящих на полке, 3 книги по теории вероятностей. Студент выбирает 4 книги наудачу. Случайная величина ξ – число книг по теории вероятностей среди выбранных. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2).
2.
-
η \ξ
0
2
3
-1
1/5
1/5
0
1
0
2/5
1/5
. Найти частные распределения для случайных величин ξ и η, ρ(ξ, η).
3. Свойства вероятности.
4. Мода и медиана.
5. Независимость случайных величин.
ВАРИАНТ №16
1. Среди 10 книг, стоящих на полке, 4 книги по теории вероятностей. Выбирают 4 книги наудачу. Случайная величина ξ – число книг по теории вероятностей среди выбранных. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) .
2.
-
η \ξ
0
2
0
1/2
1/4
1
1/4
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).
3. Формула полной вероятности.
4. Математическое ожидание и его свойства
5. Условные законы распределения.
11
ВАРИАНТ №17
1. Снайпер стреляет по замаскированному противнику 3 раза. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.6, при втором – 0.8, при третьем – 0.9. Случайная величина ξ – число попаданий в цель. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x).
2.
-
η \ξ
0
1
2
0
1/9
1/9
1/9
1
1/9
1/9
1/9
2
1/9
1/9
1/9
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).
3. Геометрический подход к определению вероятности
4. Непрерывная случайная величина, свойства плотности распределения.
5. Частные распределения случайного вектора.
ВАРИАНТ №18
1. Подводная лодка, имеющая в запасе 6 торпед, атакует корабль до первого попадания. Вероятность попадания в корабль одной торпедой равна 0.6. Случайная величина ξ – число произведенных выстрелов. Построить ряд распределения для случайной величины ξ.
2.
-
η \ξ
0
1
2
0
1/5
1/5
1/5
1
1/5
0
0
2
1/5
0
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).
3. Формула полной вероятности.
4. Функция распределения, ее свойства.
5. Условные законы распределения, независимость случайных величин.
12
ВАРИАНТ №19
1. Имеется 8 ключей, среди которых только один подходит к замку. Случайная величина ξ – число попыток, которые потребуются для открывания двери. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
2.
-
η \ξ
0
1
2
0
0
1/4
0
1
1/4
0
1/4
2
0
1/4
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), частные распределения для случайных величин ξ и η.
3. Условная вероятность, ее свойства.
4. Дисперсия, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
5. Ковариация и ее свойства.
ВАРИАНТ №20
1. Имеется 6 заготовок для детали. Вероятность изготовления годной детали из любой заготовки равна 0.7. Случайная величина ξ – число заготовок, использованных до изготовления первой годной детали. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
2.
-
η \ξ
1
2
3
0
1/3
1/6
1/3
1
1/6
0
0
. Найти все условные распределения случайной величины ξ, ρ(ξ, η).
3. Независимость случайных событий, их свойства.
4. Математическое ожидание и его свойства.
5. Двумерная функция распределения.
13
ВАРИАНТ №21
1. Имеется 5 ключей, среди которых только один подходит к замку. Случайная величина ξ – число попыток, которые потребуются для открывания двери. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
2.
-
η \ξ
-1
0
1
-1
1/4
1/4
0
1
0
1/4
1/4
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).
3. Теорема сложения случайных событий.
4. Биномиальная случайная величина( распределение, математическое ожидание, дисперсия).
5. Условные законы распределения.
ВАРИАНТ №22
1. Баскетболист 5 раз бросает мяч в корзину. Вероятность попадания при одном броске равна 0.6. Случайная величина ξ – число промахов. Определить тип распределения для случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
1
2
-1
1/3
1/3
1
1/3
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), ρ(ξ, η).
3. Формула Байеса.
4. Мода и медиана.
5. Условные законы распределения.
14
ВАРИАНТ №23
1. По первой теме студент знает ответы на 15 вопросов из 20, по второй – на 15 из 18, по третьей – на5 из 10. Случайная величина ξ – число вопросов, на которые ответил студент, если билет содержит по одному вопросу из каждой темы. Найти М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
0
1
0
0
1/2
1
1/2
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ, η), все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).
3. Формула полной вероятности.
4. Геометрическое распределение ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).
5. Двумерная функция распределения.
ВАРИАНТ №24
1. Случайная величина ξ равномерно распределена на [2,4]. Построить ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(1≤ ξ≤3,5) двумя способами (с помощью плотности распределения и функции распределения), М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
-1
1
-1
1/12
2/3
1
1/12
1/6
. Найти частные распределения для случайных величин ξ и η, cov(ξ, η).
3. Формула Байеса.
4. Дискретная случайная величина, способы ее задания
5. Независимость случайных величин.
15
ВАРИАНТ №25
1. Случайная величина ξ распределена по показательному закону с параметром λ=1. Записать выражение для плотности распределения ξ, построить ее функцию распределения F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью плотности распределения и функции распределения), М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
1
4
0
2/5
1/5
1
2/5
0
. Найти частные распределения для случайных величин ξ и η, ρ(ξ, η).
3. Аксиоматическое определение вероятности.
4. Мода и медиана.
5. Условные законы распределения.
ВАРИАНТ №26
1. Для первого студента вероятность сдать экзамен равна 0.6, для второго – 0.5, для третьего – 0.7. Случайная величина ξ – число студентов, не сдавших экзамен. Найти М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
-1
1
0
1/4
1/4
1
1/4
1/4
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), частные распределения для случайных величин ξ и η, cov(ξ, η).
3. Формула Байеса, свойства гипотез.
4. Нормальный закон распределения.
5. Двумерный случайный вектор, способы его задания, двумерная функция распределения.
16
ВАРИАНТ №27
1. Случайная величина ξ имеет нормальный закон распределения N(1;1.69). Записать выражение для плотности распределения ξ,, найти ее функцию распределения для х=0 и Р(-1≤ ξ≤2).
2.
-
η \ξ
-1
0
1
0
1/3
0
1/3
1
0
1/3
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).
3. Теорема сложения случайных событий.
4. Математическое ожидание и его свойства.
5. Коэффициент корреляции и его свойства.
ВАРИАНТ №28
1. В партии из 10-ти деталей 3 марки А и 7 марки В. Для изготовления прибора берут 4 детали. Случайная величина ξ – число деталей марки А, взятых для изготовления прибора. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x).
2.
-
η \ξ
-1
0
1
-1
1/8
0
1/8
0
0
1/2
0
1
1/8
0
1/8
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).
3. Аксиоматическое определение вероятности.
4. Дискретная случайная величина, способы ее задания.
5. Независимость случайных величин.
17
ВАРИАНТ №29
1. Случайная величина ξ имеет нормальный закон распределения N(-1;1.44). Записать выражение для плотности распределения ξ,, найти ее функцию распределения для х=0 и Р(-1≤ ξ≤2).
2.
-
η \ξ
-1
0
1
-1
1/4
0
1/4
0
0
1/4
0
1
0
0
1/4
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), ρ(ξ, η).
3. Теорема умножения случайных событий.
4. Дисперсия, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
5. Условные законы распределения.
ВАРИАНТ №30
1. Случайная величина ξ имеет нормальный закон распределения N(2;1.21). Записать выражение для плотности распределения ξ,, найти ее функцию распределения для х=1 и Р(1≤ ξ≤3).
2.
-
η \ξ
1
2
3
-1
0
1/4
0
1
1/4
1/4
1/4
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).
3. Независимость случайных событий, их свойства.
4. Математическое ожидание и его свойства.
5. Двумерная функция распределения.
18
ВАРИАНТ №31
1. В первой коробке среди 20 конфет 5 имеют ореховую начинку, во второй -из 15 три. Из каждой коробки берут по 1 конфете. Случайная величина ξ – число конфет с ореховой начинкой среди выбранных. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения), М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
0
1
2
0
1/3
0
1/3
2
0
1/3
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ.
3. Условная вероятность, ее свойства.
4. Дискретная случайная величина, способы ее задания.
5. Ковариация и ее свойства.
ВАРИАНТ №32
1. Среди 4-х пар туфель случайным образом отбирают 4 туфли. Случайная величина ξ – число туфель на левую ногу среди выбранных. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
2.
-
η \ξ
-1
0
1
-1
0
1/4
0
0
1/4
0
1/2
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).
3. Теорема умножения случайных событий.
4. Непрерывная случайная величина, свойства плотности распределения.
5. Частные распределения случайного вектора.
19
ВАРИАНТ №33
1. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, по схеме выбора с возвращением выбирают 3 шара. Случайная величина ξ – число белых шаров среди выбранных. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
0
2
-1
0
1/2
1
1/2
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), ρ(ξ, η).
3. Аксиоматическое определение вероятности.
4. Равномерный закон распределения ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).
5. Двумерная функция распределения.
ВАРИАНТ №34
1. Правильную игральную кость подбрасывают 4 раз. Случайная величина ξ – число бросков, при которых выпало 6 очков. Определить тип распределения случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей,
М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
-1
1
-1
1/4
1/4
1
1/4
1/4
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ, η), ρ(ξ, η).
3. Геометрическое определение вероятности.
4. Функция распределения и ее свойства.
5. Частные распределения случайного вектора.
20
ВАРИАНТ №35
1. Игральный кубик подбрасывают 5 раз. Случайная величина ξ – число бросков, при которых выпало 5 очков. Определить тип распределения случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей,
М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
-1
0
1
-1
1/2
0
1/4
1
1/8
1/8
0
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ, η), все условные распределения случайной величины ξ.
3. Классический подход к определению вероятности.
4. Дискретная случайная величина и способы ее задания.
5. Коэффициент корреляции и его свойства.
ВАРИАНТ №36
1. Группа из 10 спортсменов, среди которых 2 перворазрядника, делится на две команды по 5 человек. Случайная величина ξ – число перворазрядников в первой команде. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤1) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).
2.
-
η \ξ
0
2
-1
0
1/2
1
1/4
1/4
Найти cov(ξ, η).
3. Аксиоматическое определение вероятности.
4. Дискретная случайная величина, способы ее задания.
5. Независимость случайных величин.
21
ВАРИАНТ №37
1. У рыбака 3 излюбленных места лова. На первом месте рыба клюет при каждом забросе с вероятностью 0.5, на втором и третьем– с вероятностью 0.4. Случайная величина ξ – число пойманных рыб, если на каждом месте рыбак забросил удочку по одному разу. М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
0
1
-1
1/4
1/8
0
0
1/4
1
1/8
1/4
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора
(ξ, η), ρ(ξ, η).
3. Теорема сложения.
4. Непрерывная случайная величина, свойства плотности распределения.
5. Условные распределения случайного вектора.
ВАРИАНТ №38
1. Две правильные монеты подбрасывают 10 раз. Случайная величина ξ – число бросков, при которых выпало два «Герба». Определить тип распределения случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
2
3
0
1/4
1/2
1
1/8
1/8
Найти все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).
3. Формула Байеса.
4. Дисперсия и ее свойства.
5. Двумерная функция распределения и ее свойства.
22
ВАРИАНТ №39
1. Две правильные монеты подбрасывают 10 раз. Случайная величина ξ – число бросков, при которых на монетах выпали одинаковые грани. Определить тип распределения случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
0
1
2
0
1/6
1/6
1/6
1
1/6
1/6
1/6
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора
(ξ, η), частные распределения для случайных величин ξ и η, все условные распределения случайной величины ξ.
3. Формула полной вероятности.
4. Математическое ожидание и его свойства.
5. Ковариация и ее свойства.
ВАРИАНТ №40
1. Правильный игральный кубик подбрасывают 7 раз. Случайная величина ξ – число бросков, при которых выпало 5 очков. Определить параметры распределения и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.
2.
-
η \ξ
0
2
-1
1/4
1/2
1
1/8
1/8
. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора
(ξ, η), ρ(ξ, η).
3. Теорема умножения.
4. Функция распределения и ее свойства.
5. Частные распределения случайного вектора.
23