5.3. Модель дуополии Штакельберга

Модель дуополии Курно представляет собой симметричную количественную дуополию, ибо обе фирмы придерживаются одного типа поведения на рынке. Первая (вторая) фирма полагает, что конкурирующая с ней фирма (вторая (первая)) имеет фиксированный выпуск в производственном периоде, т.е. она его не изменяет в этом периоде, если даже (первая (вторая)) фирма изменит свой выпуск, что формально выражается так:

, .

Модель дуополии Штакельберга – модель асимметричной количественной дуополии, ибо каждая из двух фирм придерживается одного из двух типов поведения: либо стремится стать лидером по объёму выпускаемой продукции, либо быть последователем, т.е. следовать за лидером.

В этом параграфе проанализирована ситуация, когда одна фирма (например, первая фирма) является лидером (по объёму выпускаемой продукции), а другая фирма (вторая) является последователем.

Рассмотрим дуополию, когда издержки обеих фирм имеют соответственно вид т.е. Как и раньше, символом обозначим объём выпуска первой фирмы (фирмы лидера), символом обозначен объём выпуска второй фирмы (фирмы-последователя) в течение фиксированного периода. Символом обозначена сумма

Согласно первой предпосылке Штакельберга вторая фирма полагает, что выпуск первой фирмы фиксирован в производственном периоде, т.е. не изменится в данном периоде, что формально означает, что

, (5.23)

т.е. для второй фирмы сохраняется предпосылка Курно. Собственно эта предпосылка делает вторую фирму фирмой-последователем. Первая фирма, согласно второй предпосылке Штакельберга полагает, что вторая фирма сокращает в производственном периоде объем производства на одну вторую, в соответствии с выражением (5.5), если первая фирма увеличивает объем своего производства на одну единицу, что формально означает, что

. (5.24)

Собственно предпосылка (5.11) делает первую фирму фирмой-лидером.

Прибыль первой фирмы имеет вид

Для решения задачи максимизации прибыли первой фирмы следует сначала использовать условие первого порядка

т.е. первая (фирма – лидер) учитывает в функции своей прибыли равенство (5.11).

Из последнего равенства получаем уравнение реакции первой фирмы

(5.25)

на выпуск второй фирмы.

Прибыль второй фирмы имеет вид

.

Для решения задачи максимизации прибыли PR₂ второй фирмы следует использовать условие первого порядка

откуда получаем уравнение реакции второй фирмы

(5.26)

на выпуск первой фирмы (см. формулу 5.2 параграфа 5.1). Подставив выражение (5.25) в (5.26), получим

откуда вытекает, что

(5.27)

Подставив (5.27) в (5.26), получим

Выпуски и образуют равновесие 1 Штакельберга, когда первая фирма является лидером, а вторая фирма является последователем. Если лидером является вторая фирма, а первая фирма является последователем, имеем равновесие 2 Штакельберга.

Отметим, что в равновесии 1 Штакельберга объём выпуска первой фирмы в два раза больше объёма выпуска второй фирмы.

Сведём все характеристики равновесий 1 и 2 по Штакельбергу в таблицу 5.1, в которую также поместим все характеристики равновесия Курно

Таблица 5.1

Курно
Штакельберг – 1
Штакельберг – 2
Курно
Штакельберг – 1
Штакельберг – 2

Геометрическая интерпретация равновесия 1 по Штакельбергу, равновесия 2 по Штакельбергу и равновесия Курно приведены на рисунке 5.5.

Рис.5.5

Уравнение изопрофиты первой фирмы (фирмы-лидера), соответствующей её максимальной прибыли имеет вид

(5.28), откуда следует, что

(5.29)

Получили уравнение гиперболы, у которой одна асимптота есть ось а другая – прямая (см. Рис. 5.3), имеющая уравнение

Непосредственно проверяется, что при имеем (действительно, и

(действительно,

Из приведённых расчётов следует, что изопрофита (5.28) проходит через точку (равновесие 1 по Штакельбергу) и касается линии (5.26) в точке (см. Рис. 5.5).

ЗАДАЧИ

5.1.

5.1.1. Действующая на монопольном рынке фирма имеет возможность использовать совершенную ценовую дискриминацию. Известно, что функция спроса на продукцию фирмы может быть описана следующим образом: . Функция предельных издержек фирмы: . Постоянные издержки фирмы равны 5/3. Тогда прибыль фирмы составляет.

5.1.2. Действующая на монопольном рынке фирма имеет возможность использовать совершенную ценовую дискриминацию. Известно, что функция спроса на продукцию фирмы может быть описана следующим образом: . Функция предельных издержек фирмы: . Постоянные издержки фирмы равны 1/3. Тогда прибыль фирмы составляет:

5.1.3. Пусть известны функции среднего дохода и средних издержек монополиста:

1. Определите равновесные объемы выпуска и цену, устанавливаемую монополией. Рассчитайте прибыль.

2. Отобразите на графике функции среднего и предельного дохода, средних и предельных издержек, а также укажите прибыль.

5.1.4. Фирма-монополист действует на двух сегментах рынка, функции спроса на каждом из которых представлены следующим образом:

Известно, что , где .

1. Выпишите функцию совокупного спроса и предельного дохода при отсутствии ценовой дискриминации. Рассчитайте оптимальный выпуск и цену.

2. Определите выпуск монополиста и цены в каждом сегменте при наличии ценовой дискриминации третьей степени.

5.1.5. Фирма-монополист действует на двух сегментах рынка, функции спроса на каждом из которых представлены следующим образом:

Известно, что , где .

1. Выпишите функцию совокупного спроса и предельного дохода при отсутствии ценовой дискриминации. Рассчитайте оптимальный выпуск и цену.

2. Определите выпуск монополиста и цены в каждом сегменте при наличии ценовой дискриминации третьей степени.

5.1.6. Фирма-монополист действует на двух сегментах рынка, функции спроса на каждом из которых представлены следующим образом:

Известно, что , где .

Найдите:

1. Монопольную цену, объем выпуска и прибыль фирмы при отсутствии ценовой дискриминации, а также выпишите функции совокупного среднего и предельного дохода.

2. Цены, объем выпуска и прибыль фирмы в условиях ценовой дискриминации, и выпишите функции совокупного среднего и предельного дохода.

3. Приведите графическую иллюстрацию п.1 и п.2.

4. Определите совокупный излишек потребителей в п.1 и п.2.

5. Покажите, что для п.2 выполняется правило оптимального ценообразования. В каком из сегментов в соответствии с этим правилом цена будет выше?

5.1.7. Фирма-монополист действует на двух сегментах рынка, функции спроса на каждом из которых представлены следующим образом:

Известно, что , где . Постоянные издержки равны 20.

Найдите:

1. Монопольную цену, объем выпуска и прибыль фирмы при отсутствии ценовой дискриминации, а также выпишите функции совокупного среднего и предельного дохода.

2. Цены, объем выпуска и прибыль фирмы в условиях ценовой дискриминации, и выпишите функции совокупного среднего и предельного дохода.

3. Приведите графическую иллюстрацию п.1 и п.2.

4. Докажите, что в общем случае (при ограничениях на функции спроса и издержек) справедливо , где E₁ и E₂ – эластичности спроса по цене p₁ и p₂ соответствующих сегментов. В каком сегменте цена будет выше в соответствии с этим правилом?

5. На сколько изменится прибыль монополиста и величина потребительского излишка, если ценовая дискриминация будет запрещена (цена будет одинаковой для двух сегментов)?

6. Определите оптимальные по критерию максимальной совокупной прибыли цены для каждого сегмента рынка, если обратная функция спроса первого сегмента станет p₁ = 27 – 0.5q₁, а второго – останется неизменной.

5.1.8. Монополист действует в двух сегментах рынка. Функция спроса в первом из них q₁ = 18 – p₁, во втором – q₂ = 12 – 0.5p₂. Функция издержек монополиста TC = 15Q, где Q = q₁ + q₂.

1. Определите выпуск монополиста и цены в каждом сегменте при наличии ценовой дискриминации третьей степени.

2. Определите функцию совокупного спроса и предельного дохода при отсутствии ценовой дискриминации третьего рода. Определите оптимальный выпуск и цену в этом случае.

5.1.9. Фирма-монополист решила применить ценовую дискриминацию второй степени с использованием блочной схемы ценообразования.

Известно, что без использования дискриминации равновесная цена на монопольном рынке составляет 120 ден.ед., а эластичность спроса равна −1,5 . Функция предельных издержек фирмы имеет следующий вид: . Фиксированные издержки равны нулю.

1. Найдите равновесный объем выпуска и прибыль фирмы при отсутствии ценовой дискриминации, а также определите функцию спроса на продукцию фирмы (если известно, что функция линейна).

2. Используя функцию спроса из п.1, рассчитайте объем и стоимость каждой партии при использовании ценовой дискриминации, если объем первой партии составляет 10 единиц. Каково общее число партий?

3. Определите прибыль фирмы и величину потребительского излишка.

4. Приведите графическую интерпретацию п.2.

5. Пусть общее число партий равно числу партий из п.2 (при этом размер каждой партии заранее не определен). Определите, каковы в таком случае оптимальный размер и стоимость каждый партии, а также прибыль фирмы.

5.1.10. Фирма-монополист решила применить ценовую дискриминацию второй степени с использованием блочной схемы ценообразования.

Известно, что без использования дискриминации равновесная цена на монопольном рынке составляет 70 ден.ед., а эластичность спроса равна −7/3 . Функция предельных издержек фирмы имеет следующий вид: . Фиксированные издержки равны нулю.

1. Найдите равновесный объем выпуска и прибыль фирмы при отсутствии ценовой дискриминации, а также определите функцию спроса на продукцию фирмы (если известно, что функция линейная).

2. Используя функцию спроса из п.1, рассчитайте объем и стоимость каждой партии при использовании ценовой дискриминации, если объем первой партии составляет 2,5 единицы. Каково общее число партий?

3. Определите прибыль фирмы и величину потребительского излишка.

4. Приведите графическую интерпретацию п.2.

5. Пусть общее число партий равно числу партий из п.2 (при этом размер каждой партии заранее не определен). Определите, каковы в таком случае оптимальный размер и стоимость каждый партии, а также прибыль фирмы.

5.2 и 5.3.

5.2.1. Докажите, что изопрофиты обеих фирм, проходящие через точку пересекаются также в точке с координатами

5.2.2. Обоснуйте прохождение изопрофиты, соответствующей прибыли через точку Дайте геометрическую интерпретацию.

5.2.3. Найдите производную функции

графиком которой является изопрофита, соответствующая прибыли в точке Дайте геометрическую интерпретацию.

5.2.4. Докажите, что изопрофиты, соответствующие прибылям и касаются в точке Дайте геометрическую интерпретацию.

5.2.5. Проанализируйте случай дуополии, когда (случай Курно) и когда (при имеем случай Штакельберга).

5.2.6. На рынке некоторого товара действуют 2 фирмы. Функция издержек первой фирмы имеет вид . Функция издержек второй фирмы имеет вид . Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением . Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную цену, в случае если:

1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Курно,

2) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Штакельберга, причем первая фирма является лидером, а вторая — последователем,

3) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Бертрана,

4) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную прибыль.

5.2.7. На рынке некоторого товара действуют 2 фирмы. Функция издержек первой фирмы имеет вид . Функция издержек второй фирмы имеет вид . Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением . Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную цену, в случае если:

1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Курно,

2) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Штакельберга, причем первая фирма является лидером, а вторая — последователем,

3) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Бертрана,

4) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную прибыль.

5.2.8. На рынке некоторого товара действуют 2 фирмы. Функция издержек первой фирмы имеет вид . Функция издержек второй фирмы имеет вид . Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением . Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную цену, в случае если:

1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Курно,

2) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Штакельберга, причем вторая фирма является лидером, а первая — последователем,

3) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную прибыль.

5.2.9. На рынке некоторого товара действуют 2 фирмы. Функция издержек первой фирмы имеет вид . Функция издержек второй фирмы имеет вид . Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением . Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную цену, в случае если:

1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Курно,

2) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Штакельберга, причем вторая фирма является лидером, а первая — последователем.

3) фирмы объединились в картель, и максимизируют суммарную прибыль.

5.2.10. На рынке некоторого товара действуют N фирм. Функция издержек i-ой фирмы имеет вид . Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением . Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную цену, в случае если:

1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Курно,

2) фирмы объединились в картель, и максимизируют суммарную прибыль.

5.2.11. На рынке некоторого товара действуют N фирм. Функция издержек i-ой фирмы имеет вид . Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением . Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную цену, в случае если:

1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели олигополии Курно,

2) фирмы объединились в картель, и максимизируют суммарную прибыль.

5.2.12. На рынке некоторого товара одна из фирм является ценовым лидером, ее функция издержек имеет вид . Остальные фирмы являются последователями, их суммарная функция предложения имеет вид . Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением .

Определите равновесную цену, которая установится на рынке, выпуск фирмы-лидера, суммарный выпуск всех фирм-последователей.

5.2.13. На рынке некоторого товара действуют 5 фирм, функция издержек каждой из которых имеет вид . Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением . Одна из фирм является ценовым лидером.

Определите цену, которая будет установлена ценовым лидером.

5.2.14. На рынке некоторого товара действуют 6 фирм, функция издержек каждой из которых имеет вид . Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением . Две фирмы объединились в картель, который стал ценовым лидером на данном рынке, остальные фирмы ведут себя как последователи.

1) Найдите функцию предложения последователей.

2) Найдите функцию издержек картеля.

3) Определите равновесную цену, которая будет установлена картелем.

4) Определите прибыль картеля и прибыль каждой фирмы-последователя.

5.2.15. На рынке некоторого товара действуют две фирмы. Издержки первой и второй фирмы имеют вид и . Спрос на данном рынке задан уравнением: . Определите равновесные значение излишка потребителя и отраслевой прибыли для каждого из следующих типов взаимодействия фирм:

1) фирмы ведут себя как совершенные конкуренты;

2) фирмы взаимодействуют в соответствии с предпосылками модели Курно;

3) фирмы взаимодействуют в соответствии с предпосылками модели Штакельберга (первая фирма — лидер, вторая — последователь);

4) фирмы взаимодействуют в соответствии с предпосылками модели ценового лидерства (первая фирма — ценовой лидер, вторая — последователь);

5) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную прибыль.

На основе полученных результатов сделайте вывод о том, какая из рыночных структур наиболее благоприятна для первой фирмы, для второй фирмы, для отрасли в целом, для потребителей.

5.2.16. На рынке 2 фирмы принимают решения в соответствии с моделью Курно. Функции издержек фирм TC_i = 25q_i + 0.5q_i², i = 1, 2. Функция спроса p = 100 – 0.5Q.

1. Определите выпуски фирм, рыночную цену.

2. Постройте в пространстве (q₁, q₂) изопрофиту первой фирмы, проходящую через точку равновесия. Для этого найдите ее вершину и асимптоты, точки пересечения с осями.

Покажите, что более низкая линия изопрофиты всегда соответствует более высокой прибыли.

3. Постройте в пространстве (q₁, q₂) линию реакции первой фирмы, соответствующую оптимальным выпускам фирмы при фиксированном (не обязательно равновесном) выпуске второй фирмы (уравнение находим из условия первого порядка задачи максимизации прибыли фирмы). Где на этой линии монопольный выпуск первой фирмы?

17. На рынке 2 фирмы принимают решения в соответствии с моделью Курно. В

точке равновесия: предельные издержки первой фирмы равны 10, выпуск второй фирмы равен 15 единиц, рыночная цена равна 20, эластичность спроса по цене равна –1.

Определите выпуск первой фирмы и предельные издержки второй фирмы в точке равновесия. (НЕ предполагая функции спроса и издержек линейными).

17. На рынке 2 фирмы принимают решения в соответствии с моделью Курно.

Функции издержек фирм TC_i = 20q_i, i = 1, 2. Функция спроса Q = 200 – p.

Определите выпуски фирм, рыночную цену, постройте линии реакции фирм и изопрофиту первой фирмы, проходящую через точку равновесия.

17. На рынке 2 фирмы принимают решения в соответствии с моделью Штакель

берга. В точке равновесия прибыль фирмы-лидера PR₁ = 500 при выпуске q₁ = 50. Функция издержек фирмы-лидера TC₁ = 200 + 20q₁, обратная функция спроса P = 100 – Q, где Q = q₁ + q₂.

Определите наклон линии реакции фирмы-последователя в точке равновесия.

5.2.20. На рынке 2 фирмы принимают решения в соответствии с моделью Штакельберга (первая фирма – лидер). Функции издержек фирм TC_i = 20q_i, i = 1, 2. Функция спроса Q = 200 – p.

1. Определите выпуски фирм, рыночную цену, постройте линии реакции фирм.

2. Постройте изопрофиту первой фирмы, проходящую через точку равновесия, покажите, что она касается линии реакции второй фирмы.

Пусть фирмы решили вступить в сговор с целью максимизации совокупной прибыли.

3. Покажите, что при разделе рынка пополам прибыль фирмы при сговоре равна прибыли фирмы-лидера по Штакельбергу.

4. Постройте изопрофиты фирм, проходящие через точку выпусков при сговоре.

5. Покажите, что они касаются в этой точке.

21. Функции издержек фирм на рынке TC₁ = 11 + 7q₁, TC₂ = 2 + 14q₂, обратная

функция спроса P = 27 – Q. Фирмы выбирают объемы производимой продукции в соответствии с моделью Штакельберга (первая фирма – лидер).

Определите равновесные уровни выпуска.

5.2.22. Функции издержек фирм на рынке TC₁ = 200 + 40q₁, TC₂ = 100 + 40q₂, обратная функция спроса P = 100 – Q.

1. Заполните таблицу 1 для различных вариантов равновесия при количественной конкуренции в моделях дуополии.

Таблица №1.

Модель	q1	q2	Q	P	PR1	PR2	PR1 + PR2
Сговор
Курно
Штакельберга (1 фирма – лидер)
Штакельберга (2 фирма – лидер)

2. Сделайте выводы о соотношениях основных параметров равновесий.

1 Пигу А. Экономическая теория благосостояния. М., 1985. Т.1, глава 16.