5.3 Транспортная задача

В пунктах Р₁,...,Р_е имеется однородный груз в количествах а₁,...,а_е. Его необходимо перевезти в пункты Q₁,...Q_r в количествах в₁,..., в_r так, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной. При этом предполагается, что количество требуемого груза равно имеющимся запасам.

Обозначим через Х_ij количество груза, перевозимого из пункта Р_i в пункт Q_j , а через С_ij - стоимость перевозки единицы этого груза.

В задаче имеются следующие ограничения:

1) количество груза, отправляемого из пункта Р_i на все пункты назначения, должно быть равно имеющимся запалам а_i

2) количество груза, прибываемого в Q со всех пунктов отправления, должно равняться потребности в_j

Целевая функция определяет полную стоимость перевозки всех грузов

Формулировка задачи остается прежней, если количество имеющегося груза превышает потребности. При этом вводится фиктивная станция назначения Q_r+1, на которую отправляется излишек груза в_r+1 со стоимостью перевозок

5.4 Технологические основы математических моделей процессов обработки деталей резанием

Математические модели позволяют выбрать оптимальный технологический процесс из множества вариантов с использованием научно обоснованных технологических предпосылок. При изложении материала по моделированию процессов обработки деталей резанием используем подходы, изложенные Н.М. Капустиным в работе /11/.

При разработке математических моделей станочных операций устанавливаются ограничения и выбирается целевая функция. Задачей моделирования является нахождение таких режимов обработки, которые обеспечивали бы заданное качество обрабатываемых деталей (выполнение ограничений) и приводили бы целевую функцию к экстремальному значению. Главными ограничениями будут: заданные погрешности выдерживаемого размера и формы поверхности, взаимного расположения поверхностей, заданная шероховатость поверхности. Эти ограничения действуют на завершающих переходах станочной операции. На черновых переходах, при снятии большие объемы металла с максимальными глубинами резания t_max и подачами S_max, ограничения определяются стойкостью режущего инструмента, прочностью инструментального материала, жесткостью державки для инструмента, мощностью главного привода станка и силой, допускаемой механизмом подачи. Режимы обработки (s и n) должны соответствовать паспортным данным станка. Во всех случаях n_{i min} n  n_{i max}; v_{i min}  v_i  v_imax; s_{j min}  s_j  s_{j max}, т.е. n_i и s_j не должны быть меньше или больше предельной частоты вращения и подач, установленных паспортными данными конкретного станка.

На точность обработки оказывают влияние ряд факторов - упругие отжатия технологической системы, размерный износ режущего инструмента, погрешность установки заготовки на станке, погрешность настройки станка на размер, тепловые деформации технологической системы и геометрические погрешности станка. В общем виде суммарную погрешность, или поле рассеяния выполняемого размера, выражают функциональной зависимостью

_ = f (_yi_yi_нi_иi_тi_фi).

Каждая из стоящих в скобках величин не зависит одна от другой и для данного конкретного случая может быть определена условиями реализации технологической операции. Величина _у представляет собой погрешность (поле рассеяния) выполняемого размера в данном сечении, которая возникает в результате упругих отжатий звеньев технологической системы под влиянием нестабильности сил резания. Разность предельных значений упругих отжатий технологической системы определяет величину _у. Если разность предельных значений для данных условий, считают вполне постоянной, то текущее ее значение при обработке каждой индивидуальной заготовки представляет собой случайную величину. Принято считать, что распределение величин у подчиняется закону нормального распределения.

Аналогичный характер имеет погрешность установки заготовки _y, представляющая собой сумму погрешностей базирования _б, закрепления _з, и приспособления _пр. Для конкретных условий обработки _y представляет собой вполне определенную величину - расстояние между проекциями предельных положений измерительной базы на направление выполняемого размера. В то же время для каждой индивидуальной заготовки положение измерительной базы будет случайным. Распределение положений измерительной базы в большинстве случаев подчиняется нормальному закону.

Погрешность настройки станка _н является разностью предельных положений режущего инструмента на станке при установке его на выполняемый размер. Значение _н для данного метода обработки регламентируется вполне определенной величиной. Для каждой партии заготовок текущее значение настроечного размера н является случайной величиной, распределение которой также подчиняется нормальному закону или закону, по характеру близкому к нему.

Размерный износ инструмента систематически изменяет положение его режущей кромки относительно исходной установленной базы заготовки в процессе обработки. В результате этого выполняемый размер непрерывно изменяется между двумя сменами или поднастройками инструмента. Величину _и регламентируют для каждого метода обработки в зависимости от допустимого износа инструмента. Принято считать, что размерный износ и протекает по закону прямой, а соответствующая кривая разделения имеет вид прямоугольника (кривая равной вероятности).

Погрешности выполняемого размера, вызываемые температурными деформациями звеньев технологической системы, изменяются во времени (или от количества обработанных деталей) по более сложному закону. В первоначальный период работы станка они растут, а после того как будет достигнуто тепловое равновесие технологической системы, они стабилизируются. Однако при частых перерывах или обработке деталей различных типоразмеров малыми партиями эта стабилизация нарушается.

Седьмой член функции _ - _ф равен сумме погрешностей формы, вызываемых геометрическими неточностями станка, деформациями заготовки под влиянием сил закрепления и неравномерными по различным сечениям заготовки упругими отжатиями технологической системы (под действием сил резания).

Суммирование элементарных погрешностей производят алгебраически или вероятностным методом.

Элементарные погрешности _i =(_у,_и,_т,_ф) функционально связаны с режимами обработки, т. е. _i =(t,s,v). Причем степень влияния режимов обработки на каждую _i будет не одинакова.

Пространственные отклонения поверхностей также увязываются аналитически с режимами резания. Например, при обработке отверстий сверлением на станках с ЧПУ большое влияние на увод и смещение оси отверстия оказывает осевая подача инструмента s и скорость резания v.

Для многих методов обработки резанием имеются свои зависимости. Для расчета точности обработки применяют также статистический анализ. К существенным недостаткам статистического метода относится то, что он не вскрывает сущность физических явлений и факторов, влияющих на точность обработки, что на его базе не всегда выявляются конкретные возможности повышения точности. Полученные ранее значения среднего квадратичного отклонения не могут быть использованы, если в условиях выполнения данной операции произошли изменения (режима резания и др.). В этом случае необходимо определить новое значение . Однако в отдельных случаях статистический анализ позволяет выявить количественную и качественную зависимость точности от отдельных технологических факторов.

Количественные зависимости, полученные по усредненным данным при использовании расчетно-аналитического метода носят детерминированный характер. Усредненные данные могут включать элементы неопределенности, которые влияют на результаты решения при математическом моделировании, поэтому определение погрешности обработки с помощью количественных зависимостей, используемых в математических моделях, должно представлять сочетание расчетно-аналитического и статистического методов.

Для математической модели необходимо знать ограничения, которые учитывают только доминирующие факторы, влияющие на построение процесса.

На разных этапах технологического процесса доминирующие погрешности изменяются.

Регулируемыми параметрами режима обработки являются значения t, s и v, которые изменяются в определенных пределах.

Важным моментом при оптимизации процессов обработки резанием является выбор целевой функции.

Принципиально возможны следующие критерии выбора режимов резания при построении оптимальной операции: наименьшая технологическая себестоимость, максимальная производительность, максимальная стойкость инструмента, а также такие критерии оптимальности, как показатель наименьших приведенных затрат. Последний показатель является обобщенным и учитывает технологическую себестоимость операции, капитальные вложения по оборудованию и оснастке и нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений. Его целесообразно применять для выбора наилучшего варианта операции при возможной обработке деталей на разных моделях станков.

Максимальная стойкость инструмента в качестве целевой функции может применяться при обработке больших поверхностей крупных и тяжелых деталей, заготовок из трудно обрабатываемых сплавов, когда время выполнения одного перехода или нескольких переходов на выбранных режимах должно быть меньше периода стойкости инструмента, соответствующего этим режимам. В ряде особых производственно-технических условий возникает также необходимость экономить расход остродефицитного режущего инструмента, а также обеспечивать максимально допустимую точность обработки.

В условиях серийного производства особого внимания заслуживают две целевые функции: минимум технологической себестоимости и максимум производительности при выполнении операции. Эти целевые функции относятся к отдельной операции. Их решение определяет предельные возможности спроектированной операции (по себестоимости и производительности), если отсутствуют ограничения организационного характера. Для условий поточно-массового производства, когда возникает необходимость синхронизации времени обработки с тактом поточной или автоматической линии, в качестве целевой функции используют минимум технологической себестоимости при заданной производительности. Здесь заданная производительность выступает в роли ограничения.

Целевая функция- наименьшая технологическая себестоимость операции охватывает широкий круг затрат общественного труда. Здесь кроме затрат живого труда учитываются и затраты труда, вложенного в средства производства (амортизация и ремонт оборудования, электроэнергия на рабочие и холостые ходы при обработке, вспомогательные материалы и др.). Эта целевая функция не учитывает удельной фондоемкости продукции, так как себестоимость не учитывает амортизацию применяемых основных фондов, приходящихся на i-операцию. Однако при выборе варианта оптимальной i-й станочной операции, выполняемой на определенном станке в определенных организационно-технических условиях, величину удельной фондоемкости можно считать постоянной и не учитывать ее в целевой функции.

Технологическую себестоимость выполнения i-й операции в серийном производстве определяют по следующей формуле:

С_оп._i = t_o._i (С_з + С_а + С_р + С_эл. _{р +} С_п ) +(t_в.i + t_т.i)(С_з + С_а + С_р + С_и + С_эл. _р + С_эл.х)+ (С_а + С_н + С_эл.х + С_п),

где С_з, С_н - минутная ставка станочника и наладчика; С_а, С_р, С_эл.х, С_эл.р., С_и, С_п - расходы на амортизацию текущий ремонт оборудования, электроэнергию холостого и рабочего ходов, режущий и вспомогательный инструмент, приспособления, в руб. (коп.), отнесенные к 1 мин. штучно- калькуляционного времени t_шт.к; t_o.i, t_в.i, t_m.i - суммарные значения основного вспомогательного времени и времени технического обслуживания при выполнении операции соответственно, в мин; Т_п.з. - подготовительно-заключительное время, в мин; N- размер партии обрабатываемых деталей.

Формула не учитывает постоянные для сравниваемых вариантов операций величины, например заводские накладные расходы и некоторые элементы цеховых накладных расходов. В конкретных условиях построения операции некоторые составляющие части формулы могут быть постоянными и не включаться в уравнение.

Для исследования критерия оптимальности построения технологических процессов, характеризующих условия построения операции, можно использовать теорию, производительности машин. В этой теории объектом исследования является рабочая машина, станок, исполнительный механизм. Поэтому, анализируя их производительность, рассматривается время работы агрегата с точки зрения отработки им заданных действий, которое подразделяется на время рабочих ходов (t_р), холостых ходов (t_х) и время простоев (t_пр). Непроизводительное время потерь подразделяется на цикловые и внецикловые потери.

В станках с ЧПУ, в связи с наличием автоматической смены инструмента, простои, связанные со сменой, установкой, регулировкой (коррекцией) и закреплением режущего инструмента и т. п., перестают быть внецикловыми потерями (какими они являются в обычных станках) и становятся частью потерь на холостых ходах рабочего цикла станка, т. е. цикловыми потерями.

При варьировании скорости резания изменяется время рабочих ходов и стойкость инструмента, входящая во внецикловые потери. Интенсификация режимов является важнейшим фактором повышения производительности. Определение влияния интенсификации режимов обработки на длительность рабочих и холостых ходов не вызывает трудностей: как правило, длительность обработки сокращается во столько раз, во сколько раз повышается интенсивность режима. Влияние интенсификации режимов обработки на внецикловые потери по инструменту и оборудованию можно определить экспериментально, поэтому достоверность рекомендуемых режимов зависит в первую очередь от имеющегося объема исследований производительности в конкретных производственных условиях. Такие исследования позволяют не только определить эксплуатационные характеристики станков, но и найти резервы повышения производительности. Анализ производительности включает в себя фактические наблюдения и измерения, математическую обработку полученных результатов и эксплуатационных характеристик, составление баланса производительности.

Фактическая штучная производительность (в шт./мин)

,

где k - технологическая производительность (k=1/tp); С_i -потери времени, связанные с эксплуатацией инструмента; t_e - внецикловые потери, не зависящие от режимов резания; t_p - время резания.