- •Несобственные интегралы I и II рода
- •1) Расходится;
- •Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.10. Кратные интегралы
- •Частные случаи интегралов по фигуре (кратных интегралов) Определенный интеграл
- •Двойной интеграл
- •Тройной интеграл
- •Вычисление двойного интеграла
- •Приложения двойных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Решение
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Ответы на тестовые задания
- •2.12. Ряды Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- •Ответы на тестовые задания
- •Степенные ряды
- •Понятие степенного ряда
- •2) Расходится;
- •Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 8
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения 91
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •2 46029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
Ответы на тестовые задания
Номер теста |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Правильный ответ |
1 |
4 |
3 |
2 |
2 |
4 |
1 |
2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
Обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
(1)
связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.
Пример 1. Примерами дифференциальных уравнений первого порядка являются: xy + sin x y = 0, yy + (x2 + y2)y = ex; дифференциальных уравнений второго порядка являются: y + ysin x + y = 1, y + y – 2 = cos x; дифференциальных уравнений третьего порядка являются: и т. д.
Решением дифференциального уравнения (1) называется такая дифференцируемая функция y = (x), которая вместе со своими производными при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой. Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция y = (x; C1; C2; ; Cn), которая зависит от переменной x и n независимых произвольных постоянных C1, C2, , Cn и вместе со своими производными обращает уравнение (1) в тождество.
Если решение задано в неявном виде (х; у) = 0, то оно называется интегралом уравнения (1).
Общее решение, заданное в неявном виде F(x; y; C1; C2; ; Cn) = 0, называется общим интегралом уравнения. Частным решением уравнения (1) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным C1, C2, , Cn определенные числовые значения.
Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка формулируется следующим образом: найти частное решение y = y(x) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
Пример 2. Проверить, является ли функция y = Cx3 решением дифференциального уравнения 3y – xy = 0.
Решение
По условию: y = Cx3. Дифференцируя по переменной x, получаем y = (Cx3) = 3Cx2. Подставляя выражения y и y в данное дифференциальное уравнение, получаем тождество 3Cx3 – x 3Cx2 = 0. Следовательно, функция y = Cx3 является общим решением дифференциального уравнения 3y – xy = 0.
Пример 3. По общему решению y = Cx3 некоторого дифференциального уравнения найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1) = 3.
Решение
Подставим y = 3 и x = 1 в общее решение и найдем значение C : 3 = = C 13, C = 3. При подстановке C = 3 в общее решение, получаем частное решение y = 3x3.
Пример 4. Из общего интеграла x2 + y2 = C некоторого дифференциального уравнения найти частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям y(4) = –3.
Решение
Подставим y = –3 и x = 4 в общий интеграл и найдем значение C : 42 + (–3)2 = C, 25 = C. Из общего интеграла при C = 25 получаем частный интеграл x2 + y2 = 25.
Тест 1. Дифференциальным уравнением является уравнение:
1) x + 4 = 7;
2)
3)
4)
5)
Тест 2. Дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 3. Дифференциальным уравнением второго порядка является:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 4. Дифференциальным уравнением третьего порядка является:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 5. Решением дифференциального уравнения является функция:
1)
2)
3)
4)
Тест 6. Общим решением некоторого дифференциального уравнения является функция y = Cx3, тогда частным решением этого дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальным условиям y(1) = 3, является:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 7. Общий интеграл некоторого дифференциального уравнения имеет вид x2 + y2 = C, тогда частным интегралом этого дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальным условиям y(4) = –3, является:
1)
2)
3)
4)
5)