8.2. Критериальный язык описания выбора

На примере описания выбора видно, как об одном и том же явлении можно говорить на языках различной общности. К настоящему моменту сложилось три основных языка описания выбора. Самым простым, наиболее развитым (и, быть может, поэтому чаще употребляемым в приложениях) является критериальный язык. Это название связано с основным предположением, состоящим в том, что каждую отдельно взятую альтернативу можно оценить конкретным числом (значением критерия), и сравнение альтернатив сводится к сравнению соответствующих им чисел.

Пусть х — некоторая альтернатива из множества X. Считается, что для всех x  Х может быть задана функция q(x), которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией предпочтения, функцией полезности и т. д.) и обладает тем свойством, что если альтернатива x₁ предпочтительнее альтернативы х₂ (будем обозначать это x₁ >x₂), тo q(x₁) > q(x₂) и обратно.

Выбор как максимизация критерия. Если теперь сделать еще одно важное предположение, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным последствиям (т.е. считать, что выбор осуществляется в условиях определенности) и заданный критерий q(x) численно выражает оценку этих последствий, то наилучшей альтернативой х* является, естественно, та, которая обладает наибольшим значением критерия:

х* = arg max q(x). (8.1)

x  Х

Задача отыскания х*, простая по постановке, часто оказывается сложной для решения, поскольку метод ее решения (да и сама возможность решения) определяется как характером множества X (размерностью вектора х и типом множества X — является ли оно конечным, счетным или континуальным), так и характером критерия (является ли q(x) функцией или функционалом и какой или каким именно).

Однако сложность отыскания наилучшей альтернативы существенно возрастает, так как на практике оценивание любого варианта единственным числом обычно оказывается неприемлемым упрощением. Более полное рассмотрение альтернатив приводит к необходимости оценивать их по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. Например, при выборе конструкции самолета проектировщикам следует учитывать множество критериев: технических (высотность, скорость, маневренность, грузоподъемность, длительность полета и т.д.), технологических (связанных с будущим процессом серийного изготовления самолетов), экономических (определяющих затраты на производство, эксплуатацию и обслуживание машин, их конкурентоспособность), социальных (в частности, уровень шума, загрязнение атмосферы), эргономических (условия работы экипажа, уровень комфорта для пассажиров) и пр. Даже в обыденной жизни при выборе мы почти никогда не используем единственный критерий: вспомните хотя бы затруднения при выборе подарка ко дню рождения или при выборе места для стоянки в турпоходе.

Рис. 8. 1. Иллюстрация методов решения многокритериальных задач:

а) оптимизация по одному «суперкритерию», являющемуся линейной комбинацией частных критериев;

б) метод уступок; в) задание уровней притязания; г) нахождение паретовского множества альтернатив

Пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев q_i(x), i = 1, …, р. Теоретически можно представить себе случай, когда во множестве X окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями всех р критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществлять выбор (так, например, на рис. 8.1 множеству X соответствуют внутренние точки фигуры на плоскости значений двух критериев q₁ и q₂; оба критерия желательно максимизировать).

Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной. Рассмотрим наиболее употребительные способы решения многокритериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента:

q₀(x) = q_o(q₁(x), q₂(x),..., q_p(x)). (8.2)

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине q₀, выделив тем самым наилучшую. Вид функции q₀ определяется тем, каков вклад каждого критерия в суперкритерий; обычно используют аддитивные или мультипликативные функции:

(8.3)

(8.4)

Коэффициенты s_i обеспечивают, во-первых, безразмерность числа (частные критерии могут иметь разную размерность, и тогда некоторые арифметические операции над ними, например сложение, не имеют смысла) и, во-вторых, в необходимых случаях (как в формуле (8.4)) выполнение условия . Коэффициенты _i и _i - отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий.

Итак, при данном способе задача сводится к максимизации суперкритерия:

х* = arg max q_o(q₁(x), …, q_p(x)). (8.5)

x  Х

Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, которые необходимо учитывать при использовании этого метода. Оставив в стороне трудности построения самой функции и вычислительные трудности ее максимизации, обратим внимание на следующий очень важный момент. Упорядочение точек в многомерном пространстве в принципе не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Суперкритерий играет роль этой упорядочивающей функции, и его даже «небольшое» изменение может привести к тому, что оптимальная в новом смысле альтернатива окажется очень сильно отличающейся от старой. На рис. 8.1, а видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции (8.3), что отражается в изменении наклона соответствующей прямой: q₀₁(x₁*) > q₀₁(x₂*), но q₀₂(x₁*) < q₀₂(x₂*). Заметим, что линейные комбинации частных критериев придают упорядочению следующий смысл: «чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше». На рис. 8.1, а направления, соответствующие суперкритериям q₀₁ и q₀₂, изображены стрелками.

Условная максимизация. Недостатки свертывания нескольких критериев заставляют искать другие подходы к решению задач многокритериального выбора. Рассмотрим теперь второй способ решения таких задач. Он заключается в ином, нежели при свертывании, использовании того факта, что частные критерии обычно неравнозначны между собой (одни из них более важны, чем другие). Наиболее явное выражение этой идеи состоит в выделении основного, главного критерия и рассмотрении остальных как дополнительных, сопутствующих. Такое различие критериев позволяет сформулировать задачу выбора как задачу нахождения условного экстремума основного критерия:

х* = arg {max q₁(x) | q_i(x) = C_i, i = 2, 3, ..., p} (8.6)

x  Х

при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им уровнях. На рис. 8.1, б приведено решение задачи

х₁* =arg {max q₂(x) | q₁(x) = C₁ }

x  Х

В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не столь жестко, как в задаче (8.6). Например, если сопутствующий критерий характеризует стоимость затрат, то вместо фиксации затрат разумнее задавать их верхний уровень, т.е. формулировать задачу с ограничениями типа неравенств:

х* = arg {max q₁(x) | q_i(x)  C_i, i = 2, 3, ..., p} (8.7)

x  Х

На рис. 8.1, б приведено решение задачи

х₂* =arg {max q₂ | q₁  C₁ }

x  Х

Отметим, что такое, казалось бы, незначительное изменение постановки задачи требует принципиально иных методов ее решения. Мы пока не будем касаться этой стороны вопроса и рассмотрим лишь различия в постановках задач выбора.

В рамках того же подхода («ограничения на критерии», «разноважные критерии») возможны и другие варианты. В предыдущих двух вариантах различие между основным и дополнительными критериями выглядит слишком сильным. Иную постановку задачи дает метод уступок.

Пусть частные критерии упорядочены в порядке убывания их важности. Возьмем первый из них и найдем наилучшую по этому критерию альтернативу (на рис 8.1, б это х₂*, если самым важным критерием является q₂, и х₄*, если им является q₁). Затем определим «уступку» q_i, т.е. величину, на которую мы согласны уменьшить достигнутое значение самого важного критерия, чтобы за счет уступки попытаться увеличить, насколько возможно, значение следующего по важности критерия, и т.д. (на рис. 8.1, б полученные таким образом альтернативы изображены точками х₃*и х₅*).

Поиск альтернативы с заданными свойствами. Третий способ многокритериального выбора относится к случаю, когда заранее могут быть указаны значения частных критериев (или их границы), и задача состоит в том, чтобы найти альтернативу, удовлетворяющую этим требованиям, либо, установив, что такая альтернатива во множестве X отсутствует, найти в X альтернативу, которая подходит к поставленным целям ближе всего. Характеристики решения такой задачи (сложность процесса вычислений, скорость сходимости, конечная точность и пр.) зависят от многих факторов. Снова оставив в стороне вычислительные и количественные аспекты (что является далеко не простой задачей), обсудим некоторые принципиальные моменты данного подхода.

Удобным свойством является возможность задавать желательные значения q`<sub>i</sub> критериев как точно, так и в виде верхних или нижних границ; назначаемые значения величин q`_i иногда называют уровнями притязаний, а точку их пересечения в р-мерном пространстве критериев - опорной точкой. Поскольку уровни притязаний задаются без точного знания структуры множества X в пространстве частных критериев, целевая точка может оказаться как внутри, так и вне X (достижимая или недостижимая цель; на рис. 8.1, в приведены оба варианта, соответственно х₁*и х₂*).

Теперь идея оптимизации состоит в том, чтобы, начав с любой альтернативы, приближаться к х* по некоторой траектории в пространстве X. Это достигается введением числовой меры близости между очередной альтернативой х и целью х*, т.е. между векторами q(x) = (q₁(x),..., q_p(x)) и q`(x) = (q`₁(x),..., q`_p(x)). Можно количественно описать эту близость, используя расстояние типа

S(q, q`) = <sub>i</sub> (q<sub>i</sub> – q`_i) + _{p+1 ,}

где считается, что q_i ≥ q`_i, _i - коэффициенты, приводящие слагаемые к одинаковой размерности и одновременно учитывающие разноважность критериев, _p+1 выражает наше отношение к тому, что важнее - уменьшать близость к цели любого из частных критериев или суммарную близость всех критериев к целевым значениям.

Нахождение паретовского множества. Четвертый полностью формализуемый способ многокритериального выбора состоит в отказе от выделения единственной «наилучшей» альтернативы и соглашении о том, что предпочтение одной альтернативе перед другой можно отдавать только если первая по всем критериям лучше второй. Если же предпочтение хотя бы по одному критерию расходится с предпочтением по другому, то такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате попарного сравнения альтернатив все худшие по всем критериям альтернативы отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой (недоминируемые) принимаются. Если все максимально достижимые значения частных критериев не относятся к одной и той же альтернативе, то принятые альтернативы образуют множество Парето и выбор на этом заканчивается. На рис. 8.1, г жирной линией выделено множество Парето для рассматриваемого примера. При необходимости же выбора единственной альтернативы следует привлекать дополнительные соображения: вводить новые, добавочные критерии и ограничения, бросать жребий, либо прибегать к услугам экспертов.