![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
- •1). Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •2). Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
- •Общий интеграл его есть
- •3). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
- •4). Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Другими словами, уравнение (22) представляется в виде
- •Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •1). Дифференциальные уравнения высших порядков. Задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.
- •2). Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •2. Демидович б.П. Краткий курс высшей математики. М. 2004.
- •1). Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения лоду.
- •2). Лоду с постоянными коэффициентами.
- •Структура общего решения лнду.
- •1. Письменный д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. 2004.
- •2. Демидович б.П. Краткий курс высшей математики. М.- 2004.
- •Учебные вопросы:
- •1). Структура общего решения лнду.
- •2. Лнду с постоянными коэффициентами.
- •3) Пусть правая часть неоднородного лду представляет сбой сумму числа функции, т.Е. .
- •3. Заключительная часть:
2). Уравнения, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим типы
дифференциальных уравнений
-го
порядка, для которых можно понизить
порядок уравнений.
1) Уравнение
вида
.
Общее решение данного уравнения можно получить путем последовательных интегрирований, а именно
;
и т.д.
Пример 1. Решить уравнение
,
,
.
Решение.
.
Подставив
последовательно в полученные равенства
начальные условия, определим
:
;
;
;
.
Частным решением данного уравнения будет
.
2) Уравнение
вида
.
Данное дифференциальное
уравнение
-го
порядка не содержит неизвестной функции
и ее производных до
-го
порядка. Вводим новую функцию
и, следовательно,
.
Получим дифференциальное уравнения
первого порядка
,
где неизвестной функцией является
функция
.
В частном случае, когда
,
дифференциальное уравнение второго
порядка
,
не содержащее неизвестной функции
,
подстановкой
приводится к уравнению первого порядка
.
Пример 2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
.
Решение. Это
уравнение не содержит
.
Полагаем
,
,
получим линейное дифференциальное
уравнение первого порядка
.
Здесь
,
.
Найдем общее решение уравнения:
.
Итак,
или
.
Получили общее решение данного дифференциального уравнения.
Пример 3. Решить
уравнение
.
Решение.
Полагаем
,
.
Тогда данное уравнение примет вид:
.
Разделим переменные
.
В результате последовательного интегрирования получим
;
К интегралу справа применим формулу интегрирования по частям, полагая
,
,
,
.
Тогда
.
Итак,
.
3) Уравнение вида .
Данное уравнение
не содержит независимую переменную
.
Полагаем
,
тогда
.
Рассматриваемое уравнение примет вид:
,
где неизвестной
функцией является
,
а независимой переменной
.
Пример 4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
.
Решение. Полагая
,
,
получим дифференциальное уравнение
первого порядка
или
.
Приравняем первый множитель нулю:
или
,
т.е.
.
Функция
обращает данное уравнение в тождество,
следовательно, является решением. Общее
решение данного дифференциального
уравнения получим, проинтегрировав
уравнение
.
Производя обратную
замену
,
получим
,
где
.
Пример 5. Найти частное решение уравнения
при условии
при
.
Решение. Полагаем , и уравнение преобразуется в следующее:
или
.
Получили уравнение
Бернулли. Преобразуем уравнение:
.
Полагаем
,
тогда
.
Рассматриваемое уравнение примет вид:
или
.
Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его общее решение имеет вид:
,
т.е.
.
Произведя обратную
замену
,
получим
или
.
Из условия
при
имеем
.
Следовательно,
или
.
Интегрируя, имеем:
.
Полагая
и
,
получим
,
откуда
или
.
Пример 6. Если
тело медленно погружается в воду, то
его скорость
и ускорение
приближенно связаны уравнением
,
где
и
- постоянные. Установить зависимость
между пройденным путем
и временем
,
если при
.
Решение. Так
как ускорение
и скорость
,
то зависимость между
и
выражается дифференциальным уравнением
второго порядка
,
не содержащим
неизвестной функции
.
Положив
,
,
получим
,
или
.
Проинтегрируем
обе части равенства:
.
Определим
,
учтя, что
.
Подставим найденное
значение
в предыдущее равенство:
,
или
.
Откуда
,
или
.
Из начального
условия
определим
:
;
.
Подставив найденное
значение
в предыдущее равенство, получим искомую
зависимость
.