Задание № 3

Анализ показателей последней симплексной таблицы

Заключительным этапом математического моделирования является экономико-математический анализ. Анализ проводится с целью определения возможных последствий при изменении параметров модели. Основывается он на использовании двойственных оценок и коэффициентов последней симплексной таблицы, называемыми коэффициентами замещения или коэффициентами структурных сдвигов. Необходимость проведения экономико-математического анализа оптимальных решений вызвана рядом обстоятельств. Так модель не может быть точным аналогом процесса. Возникает необходимость ее уточнения с целью улучшения качества решения. Необходимость изменения может быть вызвана и действием случайных факторов.

Анализ проводится в следующих целях:

• Для определения возможных последствий при изменении параметров модели;

• Для оценки устойчивости оптимального плана к изменению отдельных параметров (т.е. интервал, показывающий возможные изменения размера базисной переменной (max и min значения), без изменения состава переменных в оптимальном плане);

• Для получения новых вариантов плана без повторного решения задачи.

Вернемся к последней симплексной таблице оптимального плана нашего примера из задания 2.

Таблица 4 – третья симплексная таблица – оптимальный план

правая часть (базис)			левая часть
оценка	базисный план	значение базисной переменной	не базисные переменные								симплексное отношение
			основные			дополнительные
			Х1	Х2	Х3		S1	S2	S3	S4
0	S1	4	0	0	1,33		1	0	-0,33	0
27	Х2	1,33	0	1	0,44		0	0,67	-0,11	0
12	Х1	2	1	0	-0,33		0	-1	0,33	0
0	S4	2,67	0	0	3,22		0	5,33	-1,56	1
	Z	60	0	0	2		0	6	1	0

В таблице предоставлено оптимальное решение, так как в индексной строке нет отрицательных показателей. В базисный план вошли переменные: Х₁, Х₂, S₁, S₄. В числе небазисных находятся переменные Х₃, S₂, S₃.

В экономико-математическом анализе различают:

• Прямой эффект – это C_i –оценки целевой функции базисных переменных (по столбцу 1 – «Оценка», например, ((0·2,67) + (3·2) + (27·1,33) + (0·4)=60)

• Косвенный эффект - это C_i –оценки от ввода в базис небазисной переменной, т.е. потери при структурных изменениях плана.

C_i –оценки целевой функции небазисной переменной, или эффект введения в базис j переменной с единичной интенсивностью (т.е. показатель изменения функционала при введении в базис одной единицы переменной).

Это эффект от ввода в оптимальный план не базисных переменных, который определяется через коэффициенты индексной строки, их называют двойственными оценками. Двойственные оценки (ДО) имеют только переменные, не вошедшие в базис. Базисные переменные имеют двойственную оценку равную нулю.

ДО при основных переменных показывает, насколько изменится функция цели, если ресурс изменить на единицу.

ДО при дополнительных переменных характеризуют ценность ресурса.

Помимо прямого и косвенного эффекта, в последней симплексной таблице проводится экономический анализ коэффициентов замещения. Это коэффициенты, находящиеся при небазисных основных и дополнительных переменных. В нашем примере это коэффициенты, стоящие в столбцах Х₃, S₂, S₃.

Положительный коэффициент при основной небазисной переменной (Х₃) показывает, насколько уменьшится значение соответствующей по строке базисной переменной, а отрицательный на сколько оно увеличится при введении в базис основной небазисной переменной с единичной интенсивностью. Таким образом, если Х₃ ввести в базис = 1, то:

• Значение Х₁ увеличится на 0,33

• Значение Х₂ уменьшится на 0,44

• Значение S₁ уменьшится на 1,33

• Значение S₄ уменьшится на 3,22

• Значение функции Z уменьшится на 2.

Проверка:

• 2Х₁ + 3Х₂ + 2Х₃ + S₁ = 12

• Х₁ + 3Х₂ + Х₃ + S₂ = 6

• 6Х₁ + 9Х₂ + 2Х₃ + S₃ = 24

• 4Х₁ – 2Х₂ + Х₃ + S₄ = 8

• 12Х₁ + 27Х₂ + 6Х₃ = 58

• 2·(2+0,33) + 3·(1,33 – 0,44) + 2·1 + (4 – 1,33) = 12 12=12

• 2,33 + 3·0,89 + 1 + 0 = 6 6=6

• 6·2,33 + 9·0,89 + 2·1 + 0 = 24 24=24

• 4·2,33 – 2·0,89 + 1 + (2,67 – 3,22) = 8 8=8

• 12·2,33 + 27·0,89 + 6·1 = 58 58=58

В оптимальном плане Z = 60, в измененном Z = 58, уменьшение составляет 2.

Коэффициенты замещения при дополнительных не базисных переменных S₂, S₃ показывают, что в случае уменьшения объема этого ресурса положительные коэффициенты будут уменьшать значения соответствующей по строке базисной переменной, а отрицательные – увеличивать.

Таким образом, если в базис ввести S₂ = 1, то:

• Значение Х₁ увеличится на 1

• Значение Х₂ уменьшится на 0,67

• Значение S₁ не изменится

• Значение S₄ уменьшится на 5,33

• Значение функции Z уменьшится на 6.

При введении в решение S₃ произойдет следующее:

• Значение Х₁ уменьшится на 0,33

• Значение Х₂ увеличится на 0,11

• Значение S₁ увеличится на 0,33

• Значение S₄ увеличится на 1,56

• Значение функции Z уменьшится на 1.

По величине двойственной оценки видно, что введение в решение S₃ меньше снизит значение целевой функции (на 1), чем Х₃ (на 2) и S₂ (на 6). Таким образом, сравнивая двойственные оценки не базисных переменных, можно определить от какой переменной, как и на сколько изменятся базисные переменные и значение целевой функции. Но если в задаче меняется несколько условий, то задачу решают вновь.