§ 3. Парабола
1. Канонічне рівняння параболи. Параболою називається лінія на площині кожна точка якої рівновіддалена від фіксованої точки, що називається фокусом, і від фіксованої прямої, яка називається директрисою.
Відстань від фокуса параболи до директриси називається параметром параболи і позначається літерою , .
Виберемо прямокутну декартову систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокус параболи перпендикулярно до її директриси і мала напрям від директриси до фокуса. Точку перетину осі абсцис з директрисою позначимо через D і за початок координат візьмемо середину відрізка , довжина якого збігається з параметром параболи . Тоді фокус параболи має координати , а директриса має рівняння
. (28)
Нехай точка належить параболі. Сполучимо точку з фокусом і довжину відрізка позначимо через . Очевидно, що як відстань між двома точками. Опустимо з точки перпендикуляр на директрису і довжину перпендикуляра позначимо через , яку можна знайти з нормального рівняння директриси за формулою . Згідно з означенням параболи , тобто
.
Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрата
,
звідки і дістаємо канонічне рівняння параболи
. (29)
2. Форма параболи. Якщо координати точки задовольняють рівняння параболи (29), то це рівняння задовольняють і координати точки . Отже, парабола (29) симетрична відносно осі . Вісь симетрії параболи називається віссю параболи.
Точка перетину параболи з її віссю називається вершиною параболи. Поклавши в рівнянні (29) , знайдемо . Отже, парабола проходить через початок координат і точка є її єдиною вершиною.
, , (30)
Якщо точка належить параболі (30), то точка належить параболі (29). Іншими словами, парабола (30) є дзеркальним відображенням параболи (29) відносно осі .
Такими самими міркуваннями встановлюємо, що параболи і , , мають вісь віссю симетрії і кожна з них є дзеркальним відображенням іншої відносно осі .
3. Фокальний радіус параболи. Відстань від фокуса параболи до будь-якої її точки називається фокальним радіусом цієї точки.
Оскільки для параболи (29) і , то . З означення параболи , тому
. (31)
4. Дотична до параболи. Як і у випадку еліпса чи гіперболи, рівняння дотичної до параболи в її точці будемо шукати у вигляді
. (32)
Продиференціюємо рівняння (29)
і знайдемо
Зокрема,
.
Підставимо замість в рівняння (32):
.
Звідси,
.
Оскільки , то
,
або
. (33)
Це і є рівняння дотичної до параболи в точці .
5. Оптична властивість параболи. З довільної точки параболи (29) опустимо перпендикуляр на директрису, а також сполучимо точку з фокусом параболи. Крім того, проведемо дотичну до параболи в точці – пряму . Виявляється, що дотична є бісектрисою кута . Для доведення цього факту знайдемо спочатку координати точки – точки перетину дотичної з віссю – як розв’язок відповідної системи рівнянь
З
Доведена властивість має цікаву фізичну інтерпретацію: якщо у фокусі параболічного дзеркала помістити точкове джерело світла, то відбиті від цього дзеркала промені утворять жмуток паралельних променів. Ця властивість використовується при виготовленні прожекторів, ліхтариків, сателітарних антен, опріснювальних установок і т.п.
6. Про характеристичну властивість. Як для еліпса, так і для гіперболи було встановлено характеристичну властивість: відношення відстані точки еліпса (гіперболи) від фокуса до відстані цієї точки від відповідної йому директриси є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса (гіперболи). Іншими словами, якщо на площині зафіксувати яку-небудь точку (фокус), яку-небудь пряму, що не проходить через цю точку (директрису), та задати число , то ці три елементи при однозначно визначають еліпс, а при – гіперболу. Звідси, характеристичну властивість еліпса і гіперболи можна було б взяти за означення цих ліній. Неважко збагнути, що саме ця властивість вибрана за означення параболи при , оскільки рівність рівносильна рівності . Таким чином, можна вважати, що ексцентриситет параболи дорівнює одиниці.