3.10.2. Обертання циліндричної посудини із рідиною зі сталою кутовою швидкістю ω (рис. 11)

Визначимо форму вільної поверхні та закон розподілу тиску.

Візьмемо поблизу вільної поверхні частинку рідини масою dm. На цю частинку діє масова сила dF, що спрямована по нормалі до вільної поверхні. Розкладемо цю силу на дві складові: горизонтальну (відцентрову) силу dF_r=dm ω²r та вертикальну, що визначається полем сили ваги, dF_g= -dmg.

Поділивши сили, що діють, на dm, отримаємо:

X= ω²rcosα= ω²x,

Y= ω²rsinα= ω²y,

Z= -g

Диференціальне рівняння поверхні рівня в даному випадку приймає наступного вигляду: ω²xdx+ ω²ydy – gdz=0

Інтегрування цього рівняння дає: ω²x²/2+ ω²y²/2 – gz=const, чи

(ω²/2)(x²+y²) – gz= ω²r²/2 – gz=const

Таким чином, при обертанні посудини із рідиною зі сталою кутовою швидкістю навколо вертикальної осі поверхнями рівного тиску буде сім’я параболоїдів обертання, віссю симетрії яких є вісь 0z.

Закон розподілу тиску знайдемо з основного диференціального рівняння рівноваги рідини, яке в даном випадку приймає наступний вигляд:

dp=ρ(ω²xdx+ ω²ydy – gdz)

Після інтегрування з урахуванням граничних умов (r=0, z=z_o, p=p_o) отримаємо закон розподілу тиску:

p=p_o+ ρ ω²r²/2+ ρg(z_o – z)

Це рівняння можна подати у формі основного рівняння гідростатики:

р=р_о’+ρg(z_o – z), де р_о’=р_о+ ρ ω²r²/2

3.10.3. Рівновага газу в полі сили тяжіння

Диференційні рівняння рівноваги мають загальний характер і можуть бути застосованими при розрахунку стисних рідин чи газів. На відміну від крапельних рідин густина газу є змінною величиною, що залежить від стану газу.

Розглянемо спочатку рівняння поверхні рівня для газу в полі сили ваги. Це рівняння, так як Х=0, У=0, Z= -g, набуває вигляду: -gdz=0, z=const.

Для газу, що знаходиться в рівновазі, будь-яка горизонтальна площина, проведена всередині об’єму газу, буде поверхнею рівного тиску (рис. 12). Зміна тиску в газі буде залежати не лише від координати z точки М всередині стисної рідини, але й від того, як пов’язані між собою тиск, рідина та температура газу. Цей зв’язок встановлюється на основі рівняння газового стану: р=f(ρ, T) (ρ – густина газу, Т – абсолютна температура газу в точці, що розглядається)

Рівновага газу при однорідній атмосфері. У цьому випадку ρ= const, розподіл тиску не відрізняється від розподілу тиску в крапельній рідини, що знаходиться в стані спокою. Дійсно, при Х=0, У=0 та Z= -g

dp= - ρgdz,

p= - ρgz+C

Визначивши сталу інтегрування, виходячи із граничних умов, наприклад, на поверхні землі z=z_o , p=p_o, отримаємо рівняння:

p=p_o+ ρg(z_o – z),

де z – відстань від площини порівняння О’-O’ до точки, що розглядається (висота точки М), z_o – відстань від площини порівняння О’-O’ до поверхні із тиском р=р_о.

Отримане рівняння вказує на те, що зі збільшенням висоти тиск зменшується (z>z_o).

Ізотермічна зміна стану газу. У випадку ізотермічного стану газу його густина змінюється відповідно до рівняння Клапейрона:

Pp/ρ=RT, ρ=p/(RT) (R – питома газова стала).

Після підставлення рівняння газового стану в диференційне рівняння рівноваги останнє набуває наступного вигляду:

dp= -

Після розділяння змінних:

Інтегруючи останній вираз, отримаємо:

З урахуванням умов на поверхні землі, запишемо:

g(z – z_o)= -RTln(p/p_o)

Замінивши z – z_o на h та вирішуючи останнє рівняння відносно р, знаходимо:

Останнє рівняння вказує на те, що при ізотермічному стані тиск у газі, що знаходиться в стані спокою, змінюється за експоненціальним законом, зменшуючись зі збільшенням висоти.