Хід заняття

- формула інтегрування частинами

Деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:

1)

2)

3)

4)

5)

6) , де - поліном (многочлен цілих степенів);

і - дійсні числа.

7)

8)

9)

10)

11) , де - многочлен.

Зауваження: інтеграли 7-11 беруться частинами в тому випадку, якщо немає похідної від логарифмів і від обернених тригонометричних функцій.

Правило позначення через “u” I “dv”

1. Для інтегралів 1-4 через “u” позначають множник P (х) а через “dv” – вираз, що залишився.

2. Для інтегралів 5-6 немає різниці, яку функцію позначити через “u” (оборотні інтеграли).

3. Для інтегралів 7-11 через “u” позначаються логарифми або обернені тригонометричні функції, а через “dv” - Q (x) dx.

І Розв’язування вправ.

1. Метод підстановки.

1)

2)

4)

2. Метод інтегрування частинами.

1)

2)

3)

Iі Завдання додому

1) 4) 7)

2) 5) 8)

3) 6)

Відповіді:

1) – cos x – ctg x + C 5) (2x-0,5) cos2x-sin2x+C

2) 6)

3) 7)

4) 8)

Практичне заняття № 19

Тема: Розв’язування вправ на інтегрування раціональних дробів

Мета: сформувати вміння та навики інтегрування раціональних дробів.

Хід заняття

Щоб знайти інтеграл від неправильного раціонального дробу, потрібно виділити цілу частину шляхом ділення чисельника на знаменник.

Щоб знайти інтеграл від правильного раціонального дробу, потрібно розкласти його на суму елементарних дробів.

Є чотири види елементарних правильних раціональних дробів.

І ІІ

ІІІ IV

- дійсні числа, а тричлен не має дійсних коренів, тобто .

І Розв’язування вправ

1)

2)

3)

ІI Завдання додому

1)

2)

3)

4)

Відповіді:

1)

2)

3)

4) .

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 20

Тема: Визначений інтеграл та його властивості

Мета: сформувати вміння та навики обчислення визначених інтегралів.

Хід заняття

Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема: Якщо є первісною для неперервної функції на відрізку [а; b], то справедлива формула:

І. Розв’язування вправ

1. 

2. 

3.

4.

5.

6.

7.

8. Функція Кобба-Дугласа – виробнича функція, яка характеризує залежність випуску продукції Q від затрат капіталу К і трудових ресурсів L.

Нехай витрати праці лінійно залежать від часу, а витрати капіталу сталі, тобто Q . Тоді об’єм випуску продукції за Т років складає:

Q

Знайти об’єм продукції за 5 років, якщо функція Кобба-Дугласа має вигляд

Q .

Відповідь: Q (одиниць).

9. Функція зміни витрат часу на виробництво продукції t = t (x) часто має вигляд t = ax , де а – витрати часу на першу одиницю продукції, b – показник виробничого процесу.

Знайти середній час, витрачений на одну одиницю виробу за період, коли виготовлялася продукція від х1 = 100 до х2 = 200 одиниць, якщо а = 500, а b = .

Середнє значення будь-якої величини Аср. за період Т визначається формулою:

.

Відповідь: .