Численное интегрирование. Метод прямоугольников с избытком.
Метод прямоугольников (левые, правые)
Во многих случаях достаточно знать приближенное значение определенного интеграла. Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и нам требуется вычислить интеграл от a до b от функции f(x) по dx. Разобьем отрезок [a,b] на n частей [Xi-1, Xi], i=1,2…n. Внутри каждого отрезка [Xi-1,Xi] выберем какую-то точку Ti.Т.к. по определению интеграл–это предел интегральных сумм, то любая из интегральных сумм есть приближенное значение интеграла.
Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму.
Если отрезок [a,b] разбить на равные части длинной h, то a=X0, X1=X0+h, X2=X0+2h…Xn-1=X0+(n-1)h, Xn=X0+nh=b, таким образом h=(b-a)/n.В качестве точке Ti выберем середины элементарных отрезков, т.е. Ti=Xi-1+h/2, где i=1…n. Таким образом формула метода прямоугольников выглядит (формула средних прямоугольников):
где h=(b-a)/n
– шаг разбиения отрезков [a;b]
Абсолютная погрешность формулы прямоугольников на отрезке от a до b равна сумме погрешностей на каждом элементарном интервале.
Встречаются модификации метода прямоугольников:
-метод левых прямоугольников
-метод правых прямоугольников
-метод средних прямоугольников
Отличие от метода средних прямоугольников заключается в выборе точки Ti не в середине, а на левой и правой границах элементарных отрезков.
Абсолютная погрешность:
Function f(x) As Double
f = Sin(2 * x) * Cos(x) - 0.3 * x
End Function
Sub Макрос5()
Dim eps, a, b, xn, xm As Double
Dim i, n As Integer
eps = 0.000001
a = Range("B7").Cells
b = Range("B8").Cells
n = 0
xm = PrM(a, b, eps, n)
Range("B12").Cells = xm
Range("C12").Cells = n
End Sub
Метод прямоугольников с избытком
Function PrM(a, b, e, n) As Double
Dim k As Currency
Dim s, s1, x, dx As Double
k = 1: s1 = -1: n = 0
Do
s = s1: k = k * 2: n = n + 1
dx = (b - a) / k
s1 = 0
For x = a + dx To b + e Step dx
s1 = s1 + f(x)
Next x
s1 = dx * s1
Loop Until Abs(s - s1) <= e
PrM = s1
End Function
Численное интегрирование. Метод трапеций.
Пусть нам потребуется вычислить определенный интеграл функции f(x) по dx от [a,b], где f(x) непрерывна на заданном отрезке. Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей длиной h. В этом случае шаг находим, как h=(b-a)/n и узлы определяем из равенства Xi=a+i*h, i=0…n. Рассмотрим функцию на элементарных отрезках. Возможны 4 случая:
F(Xi-1)>=0 F(Xi)>=0
F(Xi-1)>=0 F(Xi)<=0
F(Xi-1)<=0 F(Xi)>=0
F(Xi-1)<=0 F(Xi)<=0
На каждом отрезке [Xi-1,Xi] заменим функцию f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (Xi-1,F(Xi-1)) (Xi,F(Xi)).
В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение:
Геометрический смысл равенства:
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженных на высоту.
В первом случае: S криволинейной трапеции примерно равна S трапеции с основаниями F(Xi-1) и F(Xi) и высота h.
В последнем: интеграл приближенно равен площади трапеции, у которой основания равны F(Xi-1) и F(Xi) и высота –h.
Во втором и третьем: интеграл приближенно равен разности 2-х областей.
Если вместо интеграла подставить их приближенные значения, то получится формула метода трапеции:
Function f(x) As Double
f = Sin(2 * x) * Cos(x) - 0.3 * x
End Function
Sub Макрос5()
Dim eps, a, b, xn, xm As Double
Dim i, n As Integer
eps = 0.000001
a = Range("B7").Cells
b = Range("B8").Cells
n = 0
xt = Trap(a, b, eps, n)
Range("B13").Cells = xt
Range("C13").Cells = n
End Sub
Метод трапеций
Function Trap(a, b, e, n) As Double
Dim k As Currency
Dim s, s1, x, dx As Double
k = 1: s1 = -1: n = 0
Do
s = s1: k = k * 2: n = n + 1
dx = (b - a) / k
s1 = (f(a) + f(b)) / 2
For x = a + dx To b - dx + e Step dx
s1 = s1 + f(x): Next x
s1 = dx * s1
Loop Until Abs(s - s1) <= e
Trap = s1: End Function