1.3. Количественные показатели надежное ш н-чпннн пчсского оборудования

В теории надежности для решения основной запичн обеспечение надежности технических объектов, используются методы leopnn вероятностей и статистики.

Приложение теории вероятностей к решению шцач надежжн ш очевидно, поскольку надежность технических объектов опрецпимчем еиучайным протеканием в них различных явлений, вызывающих понрежцении и отказы. Рассмотрим основные количественные показатели парамстрнчсекой надежности, имеющие высокое значение с точки зрения обеспечения высокого качества изготавливаемых на технологическом оборудовании деталей.

В связи с тем, что главным объектом является параметрическая надежность, то работоспособное состояние технологического оборудования следует характеризовать совокупностью значений ряда параметров обработанной детали - точностью, шероховатостью, а также производительностью, стоимостью обработки и др. Выход значения одного из этих параметров за пределы, установленные в технической документации, означает отказ. Текущие значения указанных выходных параметров зависят от множества случайных факторов, физических явлений, а также повреждений, возникающих в технологическом оборудовании при его функционировании. В связи с этим случайный характер будет иметь и время выхода параметра на предельный уровень. Ясно, что наработку до отказа и другие нерегламентированные временные показатели надежности следует рассматривать как случайные величины. Их можно прогнозировать с помощью методов теории вероятностей. Точно определить их значения возможно при диагностировании технологического оборудования.

Как случайная величина наработка до отказа Т будет полностью описана, если известен закон ее распределения. Законом распределения 7" называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями Т и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может быть задан в виде функции распределения наработки до отказа F(T), определяющей вероятность Р того, что Т не превысит некоторого значения 7], т.е. Т попадет на временной шкале на участок от — 00 до 7].

F(T) = Р(Т < 7))

Функция F{T), называемая интегральным законом распределения, имеет следующие свойства:

F(T) - неубывающая функция своего аргумента, т.е. при Т₂ > 7j

F(T₁)>F(T,)

Отсюда следует, что, чем больше принята 7], тем больше вероятность отказа технологической системы.

При 7] —> О функция распределения стремится к нулю F(0) ~ О При T_i -» +оо, F(T) = F(+oo) = 1.

Из этих свойств следует, что график функции F(T) - график неубывающей функции, значения которой начинаются от нуля и достигают единицы (рис.1)

Если принять любое значение 7], то событие Т < 7]. означает отказ в течение времени Т_{, а вероятность Р(Т < 7]) - вероятность отказа за время 7) - ордината на графике Р(Т). Статистически вероятность отказа за время 7] определяется как отношение числа отказов и(7)) с наработкой до отказа менее T_i к общему числу отказов N

N

Основным показателем безотказности технологической системы является вероятность безотказной работы Р{Т). Это вероятность того, что наработка до отказа Т не будет ниже некоторого назначенного значения T_i, т.е. Т попадет на участок графика от Т_} до +оо. Если задано время Т-, то все случаи, когда работоспособное состояние технологической системы сохраняется при Т >Т_Г относятся к безотказной работе.

Статистически вероятность безотказной работы в течение времени Т_{ рассчитывается как отношение числа отказов с наработкой больше Т- к общему

,,._Т) V - »(Т) , я(Г,)

Тогда P(T_l ) = P(T>T, ) = l-F(T, ) Вероятность отказа F(T_i) = 1 — P(T_i)

На рис.1 показана зависимость Р(Т). Точка пересечения F(T) и Р(Т) определяет среднюю (медианную) наработку до отказа. В этой точке Р(Т) и F(T) равны 0,5.

Каждой технологической системе в зависимости от ее надежности соответствует своя кривая Р(Т). Для более надежной - кривая

Р₂(Т) соответственно F₂{T). Это означает, что при Т <Т₂ вероятность отказов равна 0, а вероятность безотказной работы равна 1. Точка Т₂ определяет срок эксплуатации без отказов.

Вероятность безотказной работы в течение времени T_i может быть найдена через плотность распределения случайной величины - наработки до отказа.

Вычислим вероятность попадания наработки до отказа на участок от 7] до

T_i + AT

P(T_t; <Т <T_i+AT = F(T_i + AT)-F(T_i).

Это приращение функции распределения на участке AT. Тогда средняя вероятность приращения на участке AT при AT —> 0 дает производную от функции распределения

_lim=F(r_{i +} A7-)-F(7-)

дг—»о дт¹ '

Обозначим F\T_j)= f(T). Функция f(T) - производная функции распределения F(T) характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины наработки до отказа технологической системы по принятому критерию (выходному параметру). Эта функция называется плотностью распределения наработки до отказа f(T) и отображается кривой, приведенной на рис.1.

Вероятность попадания наработки до отказа на элементарный участок AT -» dT равна / (T)dT. Как следует из предыдущего соотношения, f {T)dT - площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dT. Тогда вероятность попадания наработки до отказа (вероятность отказа) на участок от Г] до Т₂ равна сумме элементов вероятности на этом участке, т.е. интегралу

Р(Т_{<Т<Т₂)= }f(T)dT,

определяющему площадь под кривой плотности распределения на участке

т,-т₂.

Выразим функцию распределения через плотность распределения. По определению F{T_i) = Р(Т < 7)) = Р(-оо < Т < 7)) отсюда

т,

F(T) = \f{T)dT

—оо

Формула эта определяет вероятность того, что наработка до отказа не превышает некоторого значения 7]-, т.е. вероятность отказа /^(7") равна площади под кривой / (Т) на участке от — со до Т_г Тогда вероятность безотказной работы технологической системы в течение времени Т₍ будет равна площади под кривой j (Т) на участке от 7) до + оо, и рассчитывается по формуле.

P(T_i) = \-]f(T)dT

— СО

Таким образом, получено выражение для определения вероятности безотказной работы через плотность распределения наработки до отказа. Для определения этого главного показателя безотказности, плотность распределения наработки до отказа получают в результате статистических исследований.

Рассмотрим еще один показатель надежности.

Для анализа причин отказов, например, партии режущего инструмента, работающего в технологической системе, определяют такой показатель надежности как интенсивность отказов Л(Т) - вероятность отказа в единицу времени Л(Т') после времени Т при условии, что до этого времени отказов не было. Интенсивность отказов выражают формулой

_ЦТ)=т

Р(Т)

Для определения статистической оценки интенсивности отказов правую и левую часть формулы умнолсим на Д(Т)

А(Г).ДГ ₌

P(T)-N

где N - число объектов, работоспособных в момент времени Т \/(Т)-АТ - вероятность попадания наработки до отказа на участок Д(7") вероятность отказа на этом участке; f(Т) • AT • N - среднее число отказов за время А(Т) ; - среднее число случаев безотказной работы.

Тогда статистически интенсивность отказов определится

КР= "^(АТ)

N_cp(AT)-A

T

п(АТ)

где — число отказов в единицу времени.

AT

N(T) + N(T + AT)

N_CV(AT) =

ср. , ₂

где N(T) + N(T + AT) - число случаев безотказной работы соответственно в начале и конце интервала А(Т).

Зависимость интенсивности отказов от времени может иметь три зоны, каждая из которых отображает особенности отказов, изменяющиеся с течением времени работы объекта.

Л (Т)

\

Г

лГ

Рис.2, зависимость интенсивности отказов от времени

В зоне I А(Т + AT) < Х(Т). Здесь высокая, но уменьшающаяся с течением времени интенсивность отказов, связана с наличием дефектов, приобретенных при изготовлении объектов. Происходит отбор ненадежных объектов. Это зона приработки. В зоне IJI, где ЦТ + AT) > А(Т) повышение интенсивности отказов связано с повреждениями, приобретенными при эксплуатации за длительный период времени.

Например, усталостные повреждения приводят к отказу.

Зона II - основной временной участок работы, где Я(Т + AT) = Я(Т').

Интенсивность отказов стабильна и отказы носят в основном случайный характер.

Ясно, что склонность элементов технологической системы к изменению состояния с течением времени работы удобно оценивать по зависимости А(Т). Я (Г) используется в различных областях деятельности человека.