- •Часть 1
- •Глава 1. Кинематика.
- •§1. Механическое движение. Система отсчета.
- •§2. Радиус вектор, перемещение, траектория, путь.
- •§3.Ускорение. Нормальное и тангенциальное
- •§3А. Вывод формул для тангенциального и нормального ускорений.
- •§4. Вращательное движение. Угловая скорость. Угловое
- •Глава 2. Динамика
- •§5. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы
- •§6 Масса. Второй закон Ньютона. Импульс.
- •§7. Второй закон Ньютона для системы материальных
- •§8. Момент силы и момент импульса относительно точки
- •§9. Момент импульса и момент инерции тела
- •Глава 3. Работа. Энергия
- •§ 10. Работа. Работа при вращательном движении. Мощ-
- •§ 12. Поле сил. Консервативные силы. Потенциальная
- •§ 13 Связь между консервативной силой
- •§14. Работа неконсервативных сил и механическая
- •Глава 4. Законы сохранения в механике
- •§15. Закон сохранения импульса. Закон сохранения
- •§ 16. Условие равновесия механической системы. По-
- •Глава 5. Колебания. Волны
- •§ 17. Колебания. Дифференциальное уравнение
- •§ 18. Скорость и ускорение при гармонических
- •§ 19. Сложение одинаково направленных колебаний
- •§ 20. Маятники. Пружинный, физический,
- •§ 21. Затухающие колебания.
- •§ 22. Вынужденные колебания
- •§ 23. Волны. Волны поперечные и продольные. Волновая
- •§ 24. Принцип относительности Галилея
- •§ 25. Постулаты Эйнштейна.
- •§ 26. Основные понятия релятивистской динамики
§ 20. Маятники. Пружинный, физический,
математический маятники
Пружинный маятник - это твердое тело, соединенное с пружиной
и совершающее колебания в результате действия силы упругости. Оче-
видно, что действие силы упругости аналогично действию квазиупругой
силы, рассмотренной в § 17. Следовательно, пружинный маятник совер-
шает гармонические колебания с циклической частотой w0, равной (урав-
нение (17.5)):
, (20.1)
где k – жесткость пружины.
Физический маятник - это твердое тело, совершающее колебания
под действием силы тяжести вокруг неподвижной оси, не проходящей
через центр масс
(рис.20.1). В поло-
жении равновесия
линия, соединяю-
щая ось вращения и
центр тяжести, рас-
положена верти-
кально. При коле-
баниях все точки
маятника и эта ли-
ния будет откло-
няться от положе-
Рис.20.1 ния равновесия на
некоторый угол j.
59
При этом возникает момент силы, который стремиться вернуть маятник в
положение равновесия.
Nz = Fd ⇒ F = mg ; d = l × sinj ,
где m - масса маятника, d - плечо силы, l - расстояние от оси до центра
тяжести (точка “с”). Таким образом:
Nz = -mg ×l×sinj . (20.2)
Знак “-” связан с тем, что отклонение маятника происходит в одну сторо-
ну (на рис. “против часовой стрелки”), а момент силы вращает в противо-
положную сторону (на рис. “по часовой стрелке”).
Запишем закон динамики вращательного движения
NZ = IZ β = IZj ⇒-mg×l×sinj = IZj
Для малых углов отклонения (j < 0,1 рад.), т.е. для малых колебаний
sinj » j , следовательно:
- mg ×l×j = Izj ⇒ j + j = 0
Обозначим ω0 = , (20.3)
тогда j + ω0j = 0 , (20.4)
т.е. получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
Следовательно, маятник совершает гармонические колебания
j = jm cos(w0t +a) ,
с амплитудой колебаний jm , циклической частотой w0, периодом коле-
баний Т:
Iz
, (20.5)
mgl
где Iz – момент инерции относительно оси вращения.
Математический маятник представляет собой невесомую и нерас-
тяжимую нить, на которой подвешена материальная точка. Его можно
рассматривать как частный случай физического маятника. Для матери-
альной точки
Iz = ml2 ,
60
где в случае математического маятника l - длина нити. Следовательно,
для такого маятника получим:
mgl
ml2
l
(20.6).
g
§ 21. Затухающие колебания.
Логарифмический декремент затухания
Рассмотрим колебания, при которых кроме квазиупругой силы
Fуп, действует и сила трения Fтр (сопротивления). Во многих, практиче-
ски важных случаях, действует сила вязкого трения, которая при неболь-
ших скоростях колебаний равна (§ 5):
Fтр = -ru
где r - коэффициент сопротивления. Для одномерного колебания вдоль
оси “х”, проекция второго закона Ньютона на эту ось будет иметь следу-
ющий вид:
Fуп + Fтр = ma ⇒ - kx - ru = ma ; u = x ; ax = x ⇒
- kx - rx = mx ⇒ x + x + x = 0
Обозначим:
k r
, (21.1)
m m
где b - называется коэффициентом затухания. Тогда
. (21.2)
Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение затухающих
колебаний. В этом уравнении w0 - циклическая частота, которую имела
бы система в отсутствии сил трения. Ее называют собственной частотой.
Для затухающих колебаний маятника получится аналогичное
уравнение. В этом случае в уравнение динамики вращательного движения
маятника NZ = IZj (§20) надо добавить момент силы трения Nтр=-rw:
61
NZ + Nтр = IZj . Обозначив 2b=r/IZ для угла отклонения j (рис.20.1)
получим:
j + 2βj +w0j = 0
Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний
(21.2) необходимо рассмотреть для двух случаев.
1. b<w0
Прямой подстановкой можно убедиться, что в этом случае реше-
ние имеет вид:
, (21.3)
, (21.4)
где А0 и a постоянные.
Уравнение (21.3) - кинематическое уравнение затухающих коле-
баний; w (уравнение(21.4)) - циклическая частота затухающих колебаний.
Из (21.3) видно, что амплитуда А затухающих колебаний равна
. (21.5)
График амплитуды показан на рис.(21.1),
а график затухающих колебаний на
рис.(21.2). Колебания со временем по-
степенно прекращаются т.к. механиче-
ская энергия вследствие действия сил
трения переходит во внутреннюю энер-
гию (выделяется в виде тепла). Скорость
затухания определяется величиной b. За
время t равное t=1/b амплитуда коле-
баний уменьшается в “e” раз:
- β
A(t ) = A0e- βt = A0e = .
Следовательно, коэффициент затухания
обратен промежутку времени, за кото-
рый амплитуда уменьшается в е раз. Чем
больше b, тем быстрее уменьшается ам-
плитуда колебаний.
Отношение амплитуд, соответ-
ствующих моментам времени, отлича-
ющихся на период, называется декре-
62
ментом затухания, а логарифм этой величины называется логарифмиче-
ским декрементом затухания l :
λ =ln =ln ⇒λ =ln =lneβ×T ⇒
A(t+T) A0e-β(t+T) e-β×t ×e-β×T
T l=b. (21.3)
Уравнение (21.3) выражает связь между величинами l, b и Т
- λ
Из (21.3) следует: β = ; A(t) = A0e- βt = A0e .
II. b³w0. В этом случае сила трения настолько
большая, что процесс носит непериодический
(апериодический) характер. В зависимости от
начальных условий (начального отклонения,
начальной скорости, ее направления) зависи-
мость х(t) будет иметь вид, представленный на
рис. 21.3 кривой 1 или 2.
Рис.21.3