- •Содержание
- •Введение
- •Объём дисциплины и виды учебной работы
- •Тематический план
- •Практическое занятие № 2 Тема: Элементы комбинаторики
- •Литература:
- •Практическое занятие № 3 Тема: Условные и безусловные вероятности событий
- •Литература:
- •Практическое занятие № 4 Тема: Априорные и апостериорные вероятности событий
- •Литература:
- •Практическое занятие № 5 Тема: Случайные величины и законы их распределения
- •Литература:
- •Практическое занятие № 6 Тема: Числовые характеристики случайных величин
- •Литература:
- •Практическое занятие № 7 Тема: Вариационные ряды и способы их представления
- •Литература:
- •Практическое занятие № 8 Тема: Оценки параметров эмпирического распределения
- •Литература:
- •Практическое занятие № 9 Тема: Статистическая проверка гипотез
- •Литература:
- •Методические рекомендации по изучению курса и организации самостоятельной работы студентов
- •Тема 1. Случайные события и вероятности
- •Тема 2. Элементы комбинаторики
- •Тема 3. Условные и безусловные вероятности событий
- •Тема 4. Априорные и апостериорные вероятности событий
- •Тема 5. Случайные величины и законы их распределения
- •Тема 6. Числовые характеристики случайных величин
- •Тема 7. Вариационные ряды и способы их представления
- •Тема 8. Оценки параметров эмпирического распределения
- •Тема 9. Статистическая проверка гипотез
- •Варианты контрольных заданий Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Примеры тестовых заданий для проведения рубежной аттестации
- •Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •Вопросы для подготовки к зачёту
- •Российская академия правосудия
- •Контрольное задание
- •«Элементы теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности»
- •Элементы теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности
- •364006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 95
- •394030, Г. Воронеж, ул. Свободы, д. 69, офис 6
Тема 5. Случайные величины и законы их распределения
Случайные величины (СВ) – это величины, значения которых измеряются в опыте (эксперименте).
Функцией F(Х) распределения вероятностей СВ называется вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем произвольное действительное число х из интервала (; +):
F(Х) = P(X < x).
Дискретные (прерывные) СВ это случайные величины, которые могут принимать только конечное или счётное число значений с определёнными вероятностями. Для задания дискретной СВ X необходимо знать все её возможные значения х1, х2, …, хi, ..., хn и вероятности pi = P(Х = xi), где , с которыми она может их принять.
Правило, по которому всем значениям xi ставятся в соответствие вероятности pi, с которыми СВ может их принять, называют законом распределения дискретной СВ X.
Дискретная СВ X имеет биномиальное распределение с параметрами р и п, если она принимает целочисленные значения m (m = 0, 1, …, n) с вероятностями .
Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения k = 1, 2, ... с вероятностями .
Дискретная СВ X имеет распределение Пуассона с параметром ( = nр), если она принимает значения k = 0, 1, 2, 3, ... с вероятностями , где среднее значение числа появления события А в n опытах; р – вероятность наступления события А в одном опыте; k – число появлений события А в n независимых опытах.
Непрерывные СВ это СВ, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.
Плотностью распределения вероятностей (или плотностью распределения, плотностью вероятности) непрерывной СВ X называется производная от её функции распределения:
.
Непрерывная СВ X распределена равномерно на отрезке [а; b], если её плотность имеет вид
.
Непрерывная СВ X, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром , если её плотность распределения имеет вид
где среднее значение числа появления события в заданном интервале времени.
Непрерывная СВ X имеет нормальное распределение (Гаусса) с параметрами m и > 0, если её плотность распределения имеет вид
, Х (, +).
Вероятность попадания нормально распределённой СВ в заданный интервал
,
где (х) функция распределения нормального распределения с параметрами 0 и 1, называемая интегралом Лапласа или интегральной функцией Лапласа. Эта функция затабулирована (см. [1], приложение 1); является нечётной, т.е. (х) = (х).
Решите задачи 5 и 7 Вашего варианта контрольного задания.
Тема 6. Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание случайной величины это характеристика положения случайной величины на числовой оси, определяемая по формуле
Основные свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной, т.е.
МС = С.
2. Постоянную величину С можно выносить за знак математического ожидания, т.е. М(СХ) = СМХ.
3. Математическое ожидание функции Y = g(X) от СВ Х вычисляется по формуле
где pi вероятности распределения дискретной СВ; f(x) плотность распределения непрерывной СВ.
4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х1Х2Х3…Хп) = М(Х1)М(Х2)М(Х3)… М(Хп).
5. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х1 + Х2 + Х3 +…+ Хп) = М(Х1) + М(Х2) + М(Х3) +…+ М(Хп).
Дисперсия случайной величины это характеристика рассеивания значений случайной величины около её математического ожидания, определяемая по формуле
.
Если СВ X дискретна и известен её закон распределения, то дисперсия
.
Если же СВ X непрерывна и известна её плотность f(x), то дисперсию находят так:
.
Основные свойства дисперсии:
1. Дисперсия любой СВ неотрицательна, т.е. DX 0.
2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю, т.е. DС 0.
3. Дисперсия произведения СВ X на постоянную С равна произведению дисперсии СВ X на квадрат постоянной: .
4. Дисперсия СВ X не изменится, если к СВ прибавить постоянную величину, т.е. D(C + Х) = DX.
5. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин и удвоенной ковариации между ними:
.
Ковариация независимых СВ X и Y равна нулю. Для таких величин дисперсия, как их суммы, так и разности равна сумме дисперсий:
.
Среднеквадратическим отклонением случайной величины X называют значение квадратного корня из дисперсии данной величины:
.
Степень зависимости между СВ обычно оценивают с помощью числовых характеристик зависимости, среди которых особую роль играет ковариация.
Ковариация случайных величин X и Y – это математическое ожидание произведения центрированных величин:
.
Ковариация вычисляется по формуле:
Ковариация СВ описывает, помимо рассеивания СВ X и Y, связь между ними: если случайные величины X и Y независимы, то .
Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют нормированную ковариацию случайных величин X и Y:
,
где DX, DY – дисперсии случайных величин X и Y.
Случайные величины, имеющие нулевой коэффициент корреляции, называют некоррелированными.
Решите задачу 6 Вашего варианта контрольного задания.