27. Симплексный метод.
Можно определить оптимальное решение
перебором всех экстремальных точек,
подставляя в них решение, но это может
быть громоздко для большого количества
точек. Поэтому есть более удобный способ
– симплексный метод. Его суть заключается
в нахождении хотя бы одной экстремальной
точки, а затем передвижения от нее к
другим точкам, пока такое движение будет
возможно. Исчезновение этой возможности
означает, что точка – оптимальна
(минимальна/максимальна). Для начала
путем теоремы об экстремальных точках
(см. 26) находим одну из точек. Например,
требуется найти наименьшее значение
линейной формы 
при ограничениях 
.
Найдем экстремальные точки, выбрав
свободные переменные равными 0.
Выберем первую точку, значение линейной
формы в ней будет 
.
Можно ли найти точку со значением
линейной формы меньше? Перепишем
ограничения в виде
Переменные, имеющие значения в исходной экстремальной точки, называются базисными, а нулевые переменные – свободными. Решая систему относительно базисных переменных, получим:
Подставляя в линейную форму: 
.
Теперь попробуем уменьшить значение
линейной формы, увеличивая значение
величины, входящей в уравнение с
отрицательным знаком, то есть
.
Увеличивая значение, до тех пор, пока
одна из базисных переменных не станет
равной нулю (потому что они должны быть
неотрицательны), получим другую
экстремальную точку, в нашем случае
.
В этой точке значение линейной формы
будет 
,
а в ее уравнении 
все коэффициенты входят с положительными
коэффициентами, поэтому уменьшать и
дальше форму мы не можем. Таким образом,
решение закончено.
Замечание: если бы на окончательном шаге одна из переменных входила с нулевым коэффициентом, это бы означало, что существует множество точек, в которых значение линейной формы минимально.
28. Геометрическая интерпретация симплексного метода.
Каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник (возможно, бесконечный), называемый также полиэдральным комплексом. Уравнение W(x)=c, где W(x) - максимизируемый (или минимизируемый) линейный функционал, порождает гиперплоскость L(c). Зависимость от c порождает семейство параллельных гиперплоскостей. Тогда экстремальная задача приобретает следующую формулировку — требуется найти такое наибольшее c, что гиперплоскость L(c) пересекает многогранник хотя бы в одной точке. Пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причём, их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k-мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено.
Последовательность вычислений симплекс-методом можно разделить на две основные фазы:
нахождение исходной вершины множества допустимых решений,
последовательный переход от одной вершины к другой, ведущий к оптимизации значения целевой функции.