![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
1 Механика 3 Динамика вращательного движения
Момент
силы
относительно произвольной точки О
называют вектор
,
определяемый формулой
,
где
– вектор, проведённый из точки О
в точку приложения силы.
Плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из начала вектора на линию действия силы.
Момент
импульса материальной точки
относительно произвольной точки О
называют вектор
,
определяемый формулой
,
где – радиус-вектор материальной точки.
Момент импульса материального тела
.
Главный момент системы внешних сил, действующих на материальное тело
.
Теорема об изменении момента импульса твёрдого тела относительно неподвижной оси
,
где – момент силы, – момент импульса.
Связь момента импульса и угловой скорости абсолютно твёрдого тела
.
Моменты инерции однородных сплошных тел:
момент
инерции однородного сплошного
тонкостенного цилиндра
(цилиндрической поверхности) массой m
и радиусом R
относительно
его оси симметрии
;
момент
инерции сплошного однородного сплошного
цилиндра
массой m
и радиусом R
относительно
его оси симметрии
;
момент
инерции тонкого однородного сплошного
стержня
массой m
и длиной ℓ
относительно
оси проходящей через его конец
перпендикулярно оси стержня
;
момент
инерции тонкого однородного сплошного
стержня
массой m
и длиной ℓ
относительно
оси проходящей через его центр масс
перпендикулярно оси стержня
;
момента
инерции однородного сплошного шара
массой m
и радиусом R
относительно оси, проходящей
через его центр
.
Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями
.
Работа внешних сил при вращении твёрдого тела:
,
если
,
то:
.
Здесь Mz
– проекция момента внешних сил на ось
0Z,
совпадающую с осью вращения (φ2
– φ1)
– угол поворота.
Основное уравнение динамики вращательного движения:
или
,
или
.
1 Механика 4 Работа и энергия
Элементарной
работой силы
называют
скалярное произведение силы на бесконечно
малое перемещение
материальной
точки:
.
Работа на конечном участке
.
Если
сила постоянная
,
то
.
Мощность.
Скалярную
величину, которая определяет работу
силы в единицу времени, называют
мощностью:
.
Работа силы тяжести
.
Работа силы упругости
.
Работа силы трения
.
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, действующей на материальную точку
.
Кинетическая энергия твёрдого тела при произвольном движении равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс
.
1 Механика 5 Законы сохранения в механике
Теорема об изменении и закон сохранения импульса материальной точки:
дифференциальная форма теоремы об изменении импульса материальной точки: дифференциал импульса материальной точки равен элементарному импульсу силы, приложенной к ней
;
интегральная формулировка теоремы об изменения импульса материальной точки
.
Закон сохранения импульса материальной точки: если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке равна нулю, то импульс материальной точки остаётся постоянным если =0, то .
Момент импульса материальной точки:
.
Теорема
об изменении момента импульса материальной
точки в дифференциальной форме:
производная по времени от момента
импульса материальной точки равна сумме
моментов сил, действующих на материальную
точку
.
Теорема
об изменении момента импульса материальной
точки в интегральной форме:
.
Закон сохранения момента импульса материальной точки:
если
момент сил, действующих на материальную
точку равен нулю
,
то момент импульса материальной точки
сохраняется
.
Сумму кинетической и потенциальной энергий материальной точки называют полной механической энергией материальной точки.
Закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия материальной точки сохраняется, если на материальную точку действуют консервативные силы
.
Радиус-вектор центра масс:
для системы материальных точек ;
для материального тела ;
для системы материальных тел .
Координаты центра масс:
для
системы материальных точек
;
для
материального тела
;
для
системы материальных тел
.
Скорость и ускорение центра масс: ,
для системы материальных точек , ;
для материального тела , ;
для системы материальных тел , .
Проекции скорости и ускорения центра масс:
;
;
для системы материальных точек ;
;
для материального тела
; ;
для системы материальных тел
;
.
Теорема об изменении импульса механической системы в дифференциальной форме: первая производная по времени от импульса механической системы равна главному вектору внешних сил , где:
для системы материальных точек – импульс системы материальных точек; – главный вектор внешних сил системы материальных точек;
для материального тела – импульс материального тела; – главный вектор внешних сил материального тела;
для системы материальных тел – импульс материального тела; – главный вектор внешних сил материального тела.
Закон сохранения импульса механической системы: если механическая система является замкнутой ( ), то её импульс сохраняется ( ).
Закон сохранения импульса в случае абсолютно упругого столкновения двух тел: , где – скорости тел 1 и 2 до и после соударений соответственно.
При неупругом ударе, когда тела слипаются после соударения, их общая скорость становится равной .
Теорема
об изменении момента импульса
(кинетического момента) механической
системы тел:
.