4.3. Исследование функций на выпуклость
Определение. Кривая на интервале (a,b) обращена выпуклостью вверх (вниз), если на этом интервале все точки кривой лежат ниже (выше) любой ее касательной, проведенной к кривой на этом интервале.
Теорема (достаточное условие выпуклости). Пусть в каждой точке некоторого интервала (a,b) вторая производная дважды дифференцируемой функции y= f (x) положительна (отрицательна). Тогда график функции на этом интервале направлен выпуклостью вниз (вверх).
Рис.4.3.1
Пример. Функция спроса в зависимости от дохода М имеет вид Q = 500 - 400e-М. Построить график функции спроса.
Решение. Данная функция спроса Q= представляет собой монотонно возрастающую экспоненциальную функцию, поскольку ее производная Q'(М ) = 400e-М > 0.
Функция имеет горизонтальную асимптоту Q = 500, поскольку Q(М ) = 500; при М = 0 спрос равен Q = 100.
График обращен выпуклостью вверх (см. рис.4.3.1), т.к. Q''(M) = - 400e-М < 0.
Определение. Точка x0 называется точкой перегиба графика дифференцируемой функции y=f (x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости графика функции.
Поскольку функция f(x) может менять знак, как и любая другая функция, только в нулях или в точках разрыва, то точки перегиба могут быть только в тех точках, где вторая производная равна нулю или не существует.
Теорема (необходимое условие перегиба). В точке перегиба графика функции y = f (x) вторая производная либо равна нулю (f’(x)=0), либо не существует.
Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная функции y=f (x) в точке xo равна нулю, а при переходе через нее меняет знак на противоположный, то xo является точкой перегиба графика этой функции.
Рис. 4.3.2
В точке перегиба функции вторая производная может не существовать (например, обращаться в бесконечность).
Пример. На рис. 4.3.2 график функции имеет две точки перегиба: x1 и x2. В точке x1 касательная параллельна оси ординат; здесь первая производная обращается в бесконечность, и, следовательно, вторая производная не существует.
Исследование функции на выпуклость сводится к отысканию интервалов знакопостоянства второй производной. Поэтому для исследования функции на выпуклость ее графика нужно выполнить следующие действия.
1. Найти вторую производную функции y = f(x).
2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
3.Определить знак второй производной слева и справа от каждой из таких точек и установить, какие из этих точек являются точками перегиба. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.
4. Вычислить значения функции в точках перегиба.
Пример. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции y=e1/x.
1) Поскольку y=e1/x(-1/x2), для второй производной получаем
y= e1/x(-1/x2)(-1/x2)+e1/x(2/x3)=
= e1/x(1/x4+2/x3) = e1/x(1+2x)/x4.
2) При x=-0,5 f (x)=0.
3) Знак второй производной совпадает со знаком выражения 1+2x.
Поэтому при x < -0,5 график функции направлен выпуклостью вверх, а при x > -0,5 ‑ выпуклостью вниз. Точка x=-0,5 является точкой перегиба.
4) f (x)= e1/(-0,5) = e -2 =1/e2.
Пример. По оценке социологов во время предвыборной кампании в городе N число (y) приверженцев кандидата M на пост мэра увеличивается во времени (t - недели) согласно уравнению y = 10000/(1+80e-t). Когда ежедневный прирост приверженцев кандидата M начнет спадать? Оценить максимальное число его сторонников накануне выборов.
Решение. Ежедневный прирост y сторонников кандидата M напрямую зависит от скорости роста его приверженцев y (t). Поскольку
y = 800000e-t/(1+80e-t )2, y = 800000e-t(80e-t-1)/(1+80e-t )3,
функция y = y (t) является монотонно возрастающей, причем при t < ln80 скорость роста приверженцев y (t) растет, а при t > ln80 ‑ падает. Это означает, что график функции y = y (t) при t < ln80 направлен выпуклостью вниз, а при t > ln80 ‑ выпуклостью вверх. Таким образом, через t = ln80 4,38, т.е. на пятой неделе, популярность кандидата M начнет спадать. Поскольку функция y=y (t) имеет горизонтальную асимптоту y= 10000, а время выборов в задаче не указано, то число приверженцев кандидата M накануне выборов не превысит 10000. Отметим, что точка с координатами t = ln80 , y = 5000 является точкой перегиба графика функции y = 10000/(1+80e-t).