- •Часть 1
- •Примеры и правила практического решения задач по разделу 3
- •Упражнения для самостоятельного решения по разделу 3
- •Практические занятия по разделу 2 «Информационные основы построения эвм»
- •Примеры и правила практического решения задач по разделу 2.
- •Упражнения для самостоятельного решения по разделу 2 «Информационные основы построения эвм»
Примеры и правила практического решения задач по разделу 2.
Примеры практического решения задач по темам указанным в таблице 1.1, и правила их выполнения проведены в разделе 2 теоретической части электронного учебно-методического комплекса по дисциплине «Аппаратное обеспечение интеллектуальных систем» часть 1 «Организация и функционирование традиционных и интеллектуальных систем» в соответствующих разделах, указанных в таблице 1.2.
Таблица 1.2.
Тема занятий |
Решаемая задача |
Номера подразделов теоретической части |
2.1. |
1.Перевод из до системы счисления в другую |
2.1.1 |
2. Представление чисел в формах фиксированной и плавающей точках (фт и пт) |
2.1.2 |
|
3. Виды кодирования чисел (прямой, дополнительный и обратный коды). |
2.1.3 |
|
2.2. |
1. Выполнение арифметических операций над числами, представленными в форме с фт: - сложение/ вычитание (в разных кодах) |
2.2.1 |
- умножение в прямом и дополнительном кодах |
2.2.2 |
|
-деление в прямом коде |
2.2.3 |
|
-сложения/ вычитания(с применением разных кодов) |
2.2.4 |
|
-умножения/деления(алгоритмы) |
2.2.5 |
2.Практические занятия по разделу 3
«Логические основы построения ЭВМ»
Темы занятий и теоретический сведения к занятиям по разделу 3
Темы практических занятий по разделу 3 и теоретические сведения, необходимые для проведения занятий по этим темам, приведены в таблице 2.1
Таблица 2.1
Темы занятий |
Теоретические сведения по вопросам, необходимым для занятий по темам |
Примечания |
1 |
2 |
3 |
|
|
Местонахождение указанных теоретических сведений приведено в таблице 2.3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме приведенных в таблице 2.1 практических занятий по отдельным темам раздела 3 проводятся также занятия, на которых выполняются упражнения (задачи), для решения которых применяются теоретические знания по разным темам (в частности по преобразованию и минимизации лф). Примеры упражнений такого типа приведены в таблице 2.2
Таблица 2.2
Исходные данные |
Задание |
Примечания |
|
|
|
2. Дана функция ( ), где i–номер лф от трех переменных (i=0,1,2…255) |
1. Записать данную функцию в СДНФ и СКНФ 2. Минимизировать полученные функции табличным методом и проверить результат минимизации на равенство функций и |
Значение iуказано в задании 4 |
|
|
Точнее требуется проверить равенство представления функции в разных формах - ДНФ и КНФ.
|
Примеры и правила практического решения задач по разделу 3.
Примеры практического решения задач по темам, указанным в таблице2.1, и правила их выполнения, приведены в разделе 3 теоретической части данного электронного учебно-методического комплекса (ЭУМК)По 1-ой части дисциплины «Аппаратное обеспечение интеллектуальных систем» в соответствующих подразделах, указанных в таблице 2.3
Таблица 2.3
Номер темы |
Решаемые задачи |
Номера подразделов теоретической части ЭУМК |
3.1 |
1. преобразование логических функций ( применение свойств функций основного функционально-полного набора (не-и-или), законов и следствий алгебры логики, представление функций в СДНФ и СКНФ,преобразование функций представленных в произвольной форме в СДНФ и СКНФ.) |
3.1 |
3.2 |
Минимизация логических функций( методы, этапы и применяемые правила минимизации) |
3.2.2. |
3.2. 3.5. |
Синтез компьютерных схем(понятие о компьютерных схемах(кс), этапы синтеза, правила их выполнения, некоторые особые случаи синтеза кс). |
3.2.1, 3.2.2, 3.5.2 |
3.7. |
Синтез цифровых автоматов(особенности цифровых автоматов(ЦА), способы описания поведения ЦА, канонический метод синтеза ЦА. Пример синтеза ЦА ) |
3.2.1, 3.2.2, 3.6, 3.7. |
Рассмотрим методику выполнения упражнений(заданий), приведённых в таблице 2.2
Пример 2.1
Даны функции ( )= ( ( )= (0,4,6,7,8,12,14,15), представленные в цифровой форме.
Требуется:представить функции и в СДНФ и СКНФ соответственно, минимизировать эти функции табличным методом и проверить на равенство функции и
Решение
Определить значение n(количество логических переменных так как максимальный номер набора переменных на котором принимает значение «1» , равен 13 а максимальный номер набора переменных, на котором функция принимает значение «0» равно 15, то для задания этих функций необходимо 4 двоичных разряда и, следовательно, количество переменных n равно 4 – x1, x2, x3, иx4.
Составим таблицу истинности (ТИ)для функций и
j |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 5 |
X1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
X2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
X3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
X4 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
X5 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
X6 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
номер набора логических переменных
Уже на основании таблицы истинности можно сделать вывод, что функции и равны, проведём это аналитически.
Составим на основании ТИ математические выражения для функций и в СДНФ и СКНФсоответственно, используя известные выражения [1,2]:
=
=
+ + +
+ + + +
(2.3)
(2.4)
10
0
11
0
0
0
01
0
0
0
00
0
00
01
11
10
-
10
1
1
1
11
1
01
1
00
1
1
1
00
01
11
10
Проведём минимизацию функций и , используя таблицы, приведенные на рисунках 2.1а и 2.1б соответственно. Получим тупиковые формы функций и :
(2.5)
(2.6)
Проверим полученные тупиковые формы функций и на равенство. Для этого надо эти формы привести к одному виду – конъюнктивному или дизъюнктивному. Приведём, например, конъюнктивную форму функции к дизъюнктивной форме.
= 2.7)
Как видно из выражения (2.7) ДНФ функции не совпадает с тупиковой формой функции (выражение (2.5))
Проверим выражение (2.7) на наличие лишних импликат, используя рассчётный метод минимизации. Проанализируем все члены выражения (2.7)
=1 при = 0 и
На этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.7) будет равна
1 =
и
На этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.7) будет равна
1 = = 1, значит, эта импликанта не влияет на значение истинности функции, приведенной в выражении (2.7) и, следовательно, она лишняя
при = 0 и
На этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.7) будет равна
, т.е. эта импликанта не лишняя, таким образом получим тупиковую формулу функции в ДНФ:
и это выражение совпадает с выражением (2.5) и, следовательно, функции равны.
Рассмотрим 4 вариант преобразования дизъюнктивной (выражение (2.5)) в конъктивную форму и сравним ее с выражением (2.6)
применив дважды закон второго рода, получим
Как видим, выражение (2.8) не совпадает с выражением (2.6). Проведем анализ выражения (2.8) на наличие лишних импликант, используя расчётный метод минимизации. Для этого проанализируем все члены выражения (2.8).
, тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.8) будет равна
(0 +
2) ,тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.8) будет равна
(0 + следовательно, эта импликанта не влияет на значение истинности для выражения (2.8) и является лишней.
3) тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.8) будет равна
) ) = следовательно, эта импликанта не лишняя. Таким образом, получим тупиковую форму функции
и это совпадает с выражением (2.6) и, следовательно, =
Пример 2.2
Дана функция , где i – номер функции.
Требуется записать функцию в СДНФ и СКНФ, минимизировать эти функции табличным методом и проверить результаты минимизации на равенство и
Решение.
Возьмем для примера значение i=46
Определим номера наборов переменных, на которых функция принимает значение истинности «1». Для этого составим таблицу истинности для трех переменных
-
Номер набора переменных
j
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Функция
f
x
x
x
x
x
x
x
X
Вес разрядов 8-ми разрядного числа
128
64
32
16
8
4
2
1
Двоичный код числа 46 дизъюнкция
0
0
1
0
1
1
1
0
Запишем математические выражения функции в СДНФ иСКНФ, используя выражения (2.1) и (2.2) соответственно. Получим:
= + + + (2.9)
= ( (2.10)
Минимизируем функции (2.9) и (2.10) табличным методом. Для этого составим таблицы Вейча-Карно для этих функций
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
00 |
01 |
11 |
10 |
|
-
1
1
1
1
0
1
00
01
11
10
Рисунок 2.2а Рисунок 2.2б
Используя таблицы Вейча-Карно, приведенные на рисунках 2.2а и 2.2б, запишем тупиковые формы функции в дизъюнктивной Т(ДНФ) и конъюнктивной Т(КНФ) формах
= + (2.11)
= ( (2.12)
Проверим тупиковые формы функции на равенство (равенство ТДНФ и ТКНФ). Для этого преобразуем ТКНФ функции в ДНФ (можно и наоборот ТДНФ в КНФ)
= ( = (2.13)
Как видим, выражение (2.13)не совпадает с выражением (2.11). Проверим (2.13) на наличие лишних имликант расчетным методом минимизации. Для этого проанализируем все члены выражения (2.13)
, при , тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.13) будет равна
1 + 0 , следовательно эта импликанта не лишняя.
2) =1, , тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.13) будет равна
1 + , следовательно эта импликанта не влияет на значение истинности выражения (2.13) и является лишней.
=1, при , тогда на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.13) будет равна
1 следовательно эта импликанта не лишняя.
Таким образом, получим тупиковую форму функции в ДНФ
= , что совпадает с выражением (2.11) и, следовательно, ДНФ и КНФфункции равны.
Пример 2.3
Дана функция представленная в произвольной форме.
Требуется: преобразовать функцию в СДНФ и СКНФ, определить значение i, минимизировать функцию в СДНФ и СКНФ табличным методом и проверить результаты минимизации на равенство функции в СДНФ и СКНФ.
Решение:
Возьмем для примера функцию , представленную в виде
(2.14)
Преобразуем функцию , представленную выражением (2.14) в СДНФ. Это преобразование выполним в 2 этапа.
На первом этапе снимаем групповые отрицания, применяя законы отрицания. Получим:
Выражение (2.15) представляет собой ДНФ.
На втором этапе – преобразуем выражение (2.15) в СДНФ, используя правило развертывания для ДНФ. Получим:
Преобразуем функцию в СКНФ. Это преобразование выполним в 3 этапа и используем в качестве исходных данных функцию в ДНФ (см. выражение 2.15).
На первом этапе преобразуем выражение (2.15) в КНФ. Для этого применим распределительный закон второго рода дважды. Получим:
На втором этапе преобразуем в СКНФ, используем для этого правило развертывания для КНФ. Получим:
(2.18)
Определим значение i. Для этого составим таблицу истинности для функции от 3-х переменных и поставим '0' и '1'. Для функции в СДНФ и СКНФ в соответствии с выражениями (2.16) и (2.18)
-
Номер набора переменных
j
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
i=53
Значение истинности
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
Вес разряда
128
64
32
16
8
4
2
1
Сопоставив значение истинности для функции (и и значения весов разрядов, соответствующих единицам ('1') значений истинности, получим, что i=53.
Минимизируем функции табличным методом.
|
|
||||
1 |
|
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
1 |
|
|
00 |
01 |
11 |
10 |
|
|
|
||||
1 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
00 |
01 |
11 |
10 |
|
Рисунок 2.3 а Рисунок 2.3 б
Используя таблицы Вейча-Карно, приведённый на рисунках 2.3 а и 2.4б , запишем тупиковые формы функций
= + (2.20)
= ( (2.21)
Сравним тупиковые формы для этого приведём эти функции к единому виду. Например, преобразуем выражение (2.21) в дизъюнктивную форму
( = + + + =
+ + (2.22)
Видим, что , преобразованное в ДНФ не совпадает с т.е. выражение (2.22) не равно выражению (2.20); проанализируем выражение (2.22) на наличие лишних импликант (членов). Для этого проанализируем все члены выражения (2.22)
= 1 , при , на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.22) будет равна
0 + 1 , т.е. эта импликанта не лишняя.
= 1 , при , на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.22) будет равна
0 + , т.е. эта импликантатоже не лишняя.
= 1 , при , на этом же наборе переменных остальная часть выражения (2.22) будет равна
+ , т.е. эта импликанта не влияет на значение истинности выражения (2.22) и, следовательно, является лишней
В результате получим, что выражение (2.22) после удаления лишнейимпликанты приобретает вид
+ , совпадающий с выражением (2.20)
В заключение рассмотрения примера 3 отметим, что исходная функция может быть задана и без групповых отрицаний. Например в виде
= + (2.23)
Или = ( ) + . ( 2.24)
В этом случае можно сразу начинать преобразование исходных функций в СКНФ и СДНФ, изменяя законы и следствия алгебры логики.