- •Розділ 1. Векторні простори та системи лінійних рівнянь. §1. Вектори. Дії над векторами.
- •§2. Поняття системи лінійних рівнянь і її розвязків.
- •§3. Елементарні перетворення.
- •§4. Векторні простори.Арифметичний n-мірний векторний простір.
- •§5. Лінійна залежність векторів.
- •§6. Базис і ранг скінченної системи векторів векторного простору.
- •§7. Однорідні системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків однорідної системи.
- •§8. Зв’язок між розв’язками неоднорідних і однорідних систем.
- •§9. Лінійний многовид.
- •Розділ 2. Матриці та дії над матрицями. §1. Матриці.
- •§2. Дії з матрицями.
- •§3. Частинні випадки множення матриць.
- •§4. Обернена матриця.
- •§5. Ранг матриці.
- •§ 6. Матрична форма системи лінійних рівнянь.
- •Розділ 3. Визначники. §1. Детермінант (визначник) квадратної матриці. Детермінант другого порядку.
- •§2. Алгебраїчне доповнення елемента.
- •§3. Детермінант n-го порядку.
- •§4. Деякі застосування визначників. Обчислення рангу матриці.
- •§5. Обчислення оберненої матриці.
- •Розділ 4. Підпростори векторних просторів. §1. Лінійна оболонка системи векторів.
- •§2. Переріз і сума підпросторів.
- •§3. Пряма сума підпросторів.
- •Розділ 5. Евклідові простори. §1. Скалярний добуток та евклідові простори.
- •§2. Довжина вектора. Кут між векторами.
- •§3. Ортогональний базис.
- •§4. Ортонормований базис.
- •§5. Ортогональне доповнення підпростору.
- •Розділ 6. Лінійні оператори векторного простору. §1. Лінійні оператори і їх матриці.
- •§2. Способи задання лінійного оператора.
- •§3. Зв’язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах.
- •§4. Операції над лінійними операторами.
- •§5. Область значень і ядро лінійного оператора. Ранг і дефект лінійного оператора.
- •§6. Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора.
- •§7. Характеристичне рівняння лінійного оператора.
- •§8. Лінійний оператор з простим спектром.
- •Розділ 7. Цікаві розклади матриць та їх застосування для розв’язування систем лінійних рівнянь §1. Трикутний розклад і зміна рядків
- •§2. Зміна рядків. Перестановочна матриця
- •§3. Прямокутні матриці з ортонормованими стовпцями. Процес Грамма-Шмідта
- •§5. Інші цікаві розклади матриць
- •§6. Задачі
- •Бібліотека термінів
Міністерство освіти і науки України
Черкаський національний університет
імені Богдана Хмельницького
Ілляшенко Н.Г.
Лінійна алгебра
Частина I
Навчально – методичний посібник для організації самостійної роботи студентів
Черкаси
Посібник містить теоретичні відомості курсу теорії многочленів. Кожен розділ посібника супроводжується набором прикладів розв’язування типових задач.
Посібник призначений для організації самостійної роботи студентів стаціонарної та заочної форм навчання.
Рецензент : Атамась В.В. – кандидат фіз-мат наук, доцент кафедри алгебри, геометрії та МВМ ЧНУ
ім. Б. Хмельницького.
Розділ 1. Векторні простори та системи лінійних рівнянь. §1. Вектори. Дії над векторами.
Для побудови загальної теорії систем лінійних рівнянь введемо поняття n-мірного числового вектора та простору дійсних чисел. З шкільного курсу математики відомо, що довільний вектор площини можна записати а=k1e1+k2e2, де k1,k2 - елементи поля дійсних чисел, а е1,е2 – орти, або їх називають базисом двоxвимірного простору. Якщо в множині векторів звичайного простору вибрати деякий базис e1,e2,e3, то будь-який вектор a можна розкласти по векторам e1,e2,e3 :
a=a1e1+a2e2+a3e3,
причому коефіцієнти a1,a2,a3 в розкладі визначаються єдиним чином. Їх називають координатами вектора a в базисі e1,e2,e3. Дану рівність можна записати так: a=(a1,a2,a3)
Нехай a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) і k - деяке число, то
1) a=b a1=b1 a2=b2 a3 =b3;
2) ka=(ka1,ka2,ka3);
3) a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3).
Означення.Будь-яка впорядкована система n чисел a1,a2,…,an з поля P (деяке числове поле) називається n-мірним числовим вектором; числа a1,a2,…,an називаються його координатами або компонентами:
a1–першою координатою, a2–другою координатою,…, an–n-ою.
Числові вектори будемо позначати a,b,c,… .
Координати а1, a2,…,an n-мірного числового вектора а розташовують в рядок або стовпчик:
1) a=(a1,a2,…,an); 2) a=
Означення.Числові вектори a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn) рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні координати, тобто
a=b a1=b1 a2=b2 … an=bn.
Означення. Сумою a+b векторів a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn) називається вектор c=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn).
Означення. Добутком вектора a=(a1,a2,…,an) на число k є P називається вектор ka=(ka1,ka2,…,kan).
Нульовий вектор =(0,0,…,0).
§2. Поняття системи лінійних рівнянь і її розвязків.
Лінійним рівнянням з n невідомими називається рівняння виду а1х1+а2х2+…+аnхn=b, (1), де х1,х2,…,хn - невідомі, а1,а2,…,аn - деякі числа з деякого числового поля Р. Числа а1,а2,…,аn називають коефіцієнтами рівняння (1), а число b - вільним членом цього рівняння.
Рівняння виду 0*х1+0*х2+…+0*хn=0 називається невизначенним.
Рівняння виду 0*х1+0*х2+…+0*хn =b, b0 називається суперечливим .
Означення. Розв’язком рівняння (1) називається такий n-мірний числовий вектор а=(а1,а2,…,аn), що рівняння (1) перетворюється в істинну рівність після заміни в ньому невідомих хi відповідними координатами аi.
Приклад.
1)3х1+4х2=13 – лінійне рівняння з двома невідомими, вектор а=(3,1) розв’язок даного рівняння.
2)3х1+4х2–5х3=0 – лінійне рівняння з трьома невідомими. Вектор а=(2,1,2) – розв’язок рівняння, вектори b=(1,3,3), 0=(0,0,0) також є розв’язками цього рівняння.
Нехай дано m лінійних рівнянь з невідомими х1,х2,…,хn, які розглядаються над одним числовим полем Р, і стоїть задача знайти спільний розв’язок всіх рівнянь. В такому випадку кажуть, що задана система m лінійних рівнянь з n невідомими(СЛР) і її записують наступним чином:
(2)
де х1,х2,…,хn - невідомі, а11,а12,…,аmn і b1,b2,…,bm - деякі числа з поля Р. Числа а11,а12,…,аmn називаються коефіцієнтами системи, а числа b1,b2,…,bm – вільними членами системи.
Коєфіцієнти, які стоять в системі (2) при невідомих хi і вільні члени цієї системи складають m-мірні числові вектори.
Система (2) рівносильна рівнянню (3) х1а1+х2а2+…+хnаn=b.
Рівняння (3) називають векторною формою системи лінійних рівнянь.
Означення. Розв’язком системи лінійних рівнянь (2) називається будь-який n-мірний числовий вектор а=(а1,а2,…,аn), який є розв’язком кожного з рівнянь цієї системи.
Система рівнянь, яка має хоча б один розв’язок, називається сумісною; система рівнянь, яка не має жодного розв’язку, називається несумісною.
Якщо в системі зустрічається суперечливе рівняння, то система несумісна.
Виключення з системи невизначеного рівняння не впливає на розв’язок системи.
Теорема. Якщо система лінійних рівнянь має два різних розв’язки, то вона має їх безліч.
Отже, сумісна система лінійних рівнянь може мати або один розв’язок, або безліч.
Означення. Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок; вона називається невизначеною, якщо має безліч розв’язків.
Отже, якщо система має єдиний розв’язок, то вона є сумісно визначеною, кілька розв’язків - сумісно невизначена, жодного, то несумісна.
Розв’язати СЛР - це означає дослідити, сумісна вона чи ні; у випадку сумісності встановити число її розв’язків і знайти їх.
Матрицю, яка складена з коефіцієнтів СЛР (2) називають основною матрицею цієї системи, а матрицю, яка складена з коефіцієнтів і вільних членів системи, називають розширеною матрицею цієї системи.
Системи лінійних рівнянь називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають.
Щоб розв’язати СЛР застосовують елементарні перетворення.
Дослідити на сумісність і визначеність СЛР:
Складаємо розширену матрицю цієї системи
1. Якщо k=1, то система несумісна;
2. Якщо k1, то
Загальний розв’язок
( , , , ).