1.4 Сравнение cml и sml

Характеристики	CML	SML
Портфели	На линии – только эффективные, под линией – все остальные	Эффективные, неэффективные портфели, отдельные активы
Риск	Учитывает весь риск портфеля	Учитывает только системный риск портфеля
Единица риска	Стандартное отклонение	Величина бета

Пример. Пусть акции компаний A, B и C входят в состав рыночного портфеля в пропорции 0,12:0,19:0,69 и ожидаемый доход рыночного портфеля 22,4%, а среднеквадратичное отклонение - 15,2%, безрисковая ставка равна 4%. Для данного случая уравнение SML:

,

Найдем ковариации каждой бумаги с рыночным портфелем, если известна матрица ковариаций

(элемент в ячейке (i,j) означает ковариацию _ij=_ij _i_j между ценными бумагами, в ячейке (i,i) – дисперсию )

Ниже приведены вычисления ковариации акций компаний A, B и C с рыночным портфелем:

С помощью уравнения SML можно вычислить ожидаемую доходность акций

компании A: 4 + (0,08 х 153) = 16,2%;

компании B. 4 + (0,08 х 257) = 24,6%;

компании C: 4 + (0,08 х 236) = 22,8%.

Каждое из полученных значений ожидаемой доходности соот­ветствует определенному компоненту вектора ожидаемой доходности.

Коэффициенты «бета» для акций компаний A, B и C равны соответственно:

Уравнение SML, в котором мера риска бумаги выражена ее коэффициентом «бета»:

Следует отметить, что с помощью этого уравнения также можно вычислить ожидаемые доходности акций всех трех компаний:

A: 4 + (18,4 х 0,66) = 16,2%;

B: 4 + (18,4 х 1,11) = 24,6%;

C: 4 + (18,4 х 1,02) - 22,8%.

1.5 Рыночный и собственный риск ценной бумаги

Согласно модели CAPM, совокупный риск бумаги i, измеряемый дисперсией и обозначаемый , складывается из двух частей. Первая составляющая относится к измене­нию стоимости рыночного портфеля , ее часто называют рыночным риском (market risk) ценной бумаги. Вторая составляющая отражает риск, не связанный с изменением стоимости рыночного портфеля , это нерыночный риск (non-market risk), он связан только с рассматриваемой ценной бумагой и поэтому называется собственным риском (unique risk).Отсюда,

.

Рыночный риск связан с риском рыночного портфеля и значением коэффициента «бета» данной ценной бумаги. Для бумаги с большими значениями «беты» значение рыночного риска больше. В рамках модели САРМ у таких бумаг также большие ожида­емые доходности. Отсюда следует, что ценные бумаги с большими значениями рыноч­ного риска должны иметь большие ожидаемые доходности.

Нерыночный риск не связан с «бетой». Поэтому увеличение собственного риска не ведет к росту ожидаемой доходности. Итак, согласно САРМ, инвесторы вознаграж­даются за рыночный риск, но их нерыночный риск не компенсируется.

1.6 Модель у.Шарпа (рыночная модель)

Ожидаемую доходность актива можно определить также на основе индексных моделей. В которых изменение доходности и цены актива зависит от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов.

Простая индексная модель предложена У. Шарпом в середине 60-х годов. В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожи­даемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравне­ние модели имеет следующий вид:

где: – ожидаемая доходность актива;

– доходность актива в отсутствии воздействия на него рыноч­ных факторов;

– коэффициент бета актива;

– ожидаемая доходность рыночного портфеля;

– независимая случайная переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней равно нулю. Она имеет постоян­ную дисперсию; ковариацию с доходностью рынка равную нулю cov( , ); ковариацию с нерыночным компонентом доходности других активов равную нулю.

Уравнение модели Шарпа является уравнением регрессии. Если его приме­нить к широко диверсифицированному портфелю, то значения слу­чайных переменных в силу того, что они изменяются как в положительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специ­фическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа прини­мает следующий вид:

где: – ожидаемая доходность портфеля;

– бета портфеля;

– доходность портфеля в отсутствии воздействия на него ры­ночных факторов.

Графически модель Шарпа представлена на рисунке.

Она показывает зависимость между доходностью рынка и доходностью актива и представляет собой прямую линию. Ее называют линией характеристики. Независимой переменной выступает доходность рынка. Наклон линии характеристики определяется коэффициентом бета, а пересечение с осью ординат – значением показателя . Бета рассчитывается по формуле:

График модели Шарпа для различных значениях :

1) если бета положительна, то график рыночной модели направлен вправо вверх, т. е. при увеличении доходности рынка доходность актива будет повышаться, при понижении — падать.

2) при отрицательном значении беты график направлен вправо вниз, что говорит о противоположном движении доходности рынка и актива. Более крутой наклон графика говорит о высоком значении беты и большем риске актива, менее крутой на­клон — о меньшем значении беты и меньшем риске.

3) При  = 1 доходность актива соответствует доходности рынка, за исклю­чением случайной переменной, характеризующей специфический риск.

Если построить график модели для самого рыночного портфеля относительно рыночного портфеля, то значение у для него равно нулю, а беты +1.

Коэффициент детерминации

Рыночную модель можно использовать для того, чтобы разделить весь риск актива на дивесифицируемый и недиверсифицируемый.

В модели Шарпа слагаемое отвечает за рыночную доходность, следовательно несет рыночный риск, а слагаемое - доходность от переоценки (недооценки) актива, или нерыночный риск.

Согласно модели Шарпа дисперсия актива равна:

Так как не зависит от доходности рынка, то =0 и, таким образом,

где: – рыночный риск актива, – нерыночный риск актива.

Пример.

Пусть  = 0, 44, =0, 3, = 0, 32. Определить рыночный и нерыночный риски.

Рыночный риск = = (0,44)² (0, 3)² = 0, 0174.

Нерыночный риск = – = 0, 1024 - 0, 0174 = 0, 085.

Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется рынком, используют коэффициент детерминации (R²). Он представ­ляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его общей дисперсии.

R²=

В последнем примере R-квадрат равен 0,1699. Это означает, что изменение доходности рассматриваемого актива можно на 16, 99% объяснить изменением доходности рынка, а на 83, 01% — другими факторами. Чем ближе значение R-квадрат к единице, тем в большей степени движение рынка определяет изменение доходности актива. Обычное значение R-квадрат в западной экономике составляет по­рядка 0,3, т.е. 30% изменения его доходности определяется рынком. R-квадрат для широко диверсифицированного портфеля может составлять 0, 9 и большую величину.