12.3. Математическая постановка задач календарного планирования

Характеристики технологической операции

В настоящее время актуально компьютерное моделирование технологических процессов с использованием математических методов и моделей.

Технологический процесс расчле­няется до технологических операций, при этом приходится оперировать основными характеристиками и величинами:

• допустимая очеред­ность операций в технологическом цикле,

• возможный характер загрузки оборудования,

• условия взаимозаменяе­мости и производительность оборудования и рабочего, вре­мя выполнения операции на рабочем месте,

• величина партии деталей

• и другие заданные или вычисляемые ха­рактеристики.

Во многих случаях для решения задач календарного планирования достаточно бывает пользоваться характеристиками, связанными с описанием технологи­ческой операции:

• продолжительностью операции на некотором эталонном станке;

• технологической привязкой к некоторой группе оборудования.

В дальнейшем всюду, за исключением случаев, где специально оговорено другое, будем предполагать, что технологическая операция однозначно определяется этими ха­рактеристиками.

Введем некоторые обозначения.

Будем считать, что на данном рассматриваемом произ­водственном участке обработке подлежат n партий деталей (как единое целое)

di {i = 1,2,..., n)*.

Обозначим некоторую произвольную операцию, которую необходимо выполнить над di, через Оij (j =1,2..., m,)**

Каждая операция Оij, одно­значно определяется парой символов

Оij = (lij, Тij) ,

Tij — продолжительность выполнения операции на некотором эталонном для данной группы обору­дования рабочем месте ***.

Tij мы считаем заданным, однако можно также считать, что мы обладаем некоторым алгоритмом вы­числения Tij в зависимости от величины партии, номера группы оборудования или реального времени.

Технологический цикл

Под технологическим циклом детали обычно пони­мают порядок прохождения рабочих мест в процессе обра­ботки детали или же последовательность выполняемых опе­раций

Mi = < Oi1, Oi1,.... Oim, > (1)

Однако нетрудно убедиться в дальнейшем, что удобнее пользоваться введенными нами обозначениями.

_________________________________________________

* Условимся di называть дальше просто деталью. Таким образом, i— номер некоторой произвольной детали, детали перенумерованы от 1 до n, на что и указывает символ.

** mi — общее количество операций, которое необходимо выполнить над di.

где lij — номер группы оборудования, на котором может быть выполнена данная операция Оij (l— пе­ременный номер; то, что он фиксирован для дан­ной операции Оij указано индексами i, j)',

*** Можно принять и другие обозначения. Например, можно было бы как обычно, считать, что операция определяется полностью следующими символами, записываемыми в виде одной строки (без индексов) (i, j, О, l, T ),

где i — номер детали; j — номер операции; О — шифр операции;

l—номер группы оборудования; Т—продолжительность.

В последнем случае обычно предполагается, что эта последовательность выполняемых операций строго упорядочена в по­рядке возрастания второго индекса.

Операция Оij, начав выполняться, выполняется без перерыва.

Иными словами, если обозначить через t^ij время начала обработки операции Оij, а через t’ij, — момент окончания выполнения операции, то для эталонного станка всегда должно быть

t’ij = t^ij + Tij (2)

Для технологического цикла, заданного в виде (1), всегда должно быть:

t^ij  t^ij+1 (3)

будем пользоваться даже более строгим ограниче­нием (за исключением того раздела, где описываются реаль­ные программы решения задач):

t’ij  t^ij+1 (4)

т.е., что всякая операция может выполняться не раньше окончания предыдущей операции (или предыдущих опера­ций в случае частичной упорядоченности операций).

Рабочие места

Пусть весь рассматриваемый участок состоит из К ра­бочих мест Rk (k = 1,2,..., К).

Эти рабочие места объе­диняются в некоторые группы оборудования Гi (l =1,2,.... L), причем некоторые группы оборудования мо­гут состоять только из одного станка и совсем не обязатель­но, чтобы каждое рабочее место входило только в одну груп­пу оборудования.

Каждое рабочее место Rk обладает некоторым коэффи­циентом переработки норм по отношению к эталонному ра­бочему месту для данной группы.

Поэтому реальное время выполнения операции Оij на рабочем месте Rk из группы оборудования с номером lij, будет равно Tij•rk(lij) и реаль­ные характеристики выполнения операции будут связаны не соотношением (2), а соотношением

t’ij = t^ij + Tij (5)

где Tij{k) = Тij.rk (lij).

Будем считать, что ни на каком рабочем мес­те не может выполняться более одной операции одновременно.

Это условие можно сформулировать и иначе:

ни для каких двух операций Оi₁j₁ и Оi₂j₂, выполняемых на одном и том же рабочем месте, не может выполняться неравенство t^i₁j₁ = t^i₂j₂ + t’i₁j₁ (6)

Общая постановка задачи

Рассматриваемая нами задача календарного планиро­вания заключается в том, чтобы для описанного производ­ственного участка, для заданных технологических маршру­тов обработки деталей построить некоторый календарный план, удовлетворя­ющий сформулированным условиям, например, усло­вию (6).

Очевидно, построение такого графика эквивалентно опре­делению чисел t^ij и t’ij (вернее, только чисел t^ij, так как t’ij после этого уже легко найти по формуле (5)) — моментов начала операций Оij.

Понятно, что геометрическое построение графика может быть выполнено после определения этих величин t^ij.

Таким образом, величины t^ij и являются неизвестными в нашей задаче и их следует найти, исходя из приведенной формулировки задачи с учетом ограничений (4)—(6).

Собственно, совокупность чисел

{t^ij} (i=1,2,...,n; j=1,2,...,mi),

удовлетворяющих сформулированным условиям и ограничениям, мы и будем называть в дальней­шем календарным графиком работы производственного участ­ка и обозначать символом G.

Графиком G(i) обработки детали di будем называть совокупность чисел

{t^ij} (j=1,2,...,mi, т.е. при фиксированном индек­се i).

В качестве конкретной модели рассмотрим так называемую задачу двух станков.

Задача двух станков формулируется следующим образом:

Требуется за минимальное время отработать n деталей di с технологическими маршрутами, состоящими только из двух операций продолжительности ai и bi, при этом первая операция каждой детали обрабатывается на первом рабо­чем месте, а вторая на втором.

По условию задачи также

t’i1 < t^i2,

где t’i1 < t^i2 — соответственно времена начала и окончания операции Oij.

В оп­тимальном решении последовательность обработки дета­лей на первом рабочем месте может совпадать с последова­тельностью обработки деталей на втором рабочем месте.

Это свойство позволяет упростить постановку общей за­дачи построения графика, т.е. определения величин tij, и свести задачу к определению последовательности σk(i1,i2,...,in) обрабатываемых деталей.

Обозначим через А(σk) время t’ik1 через В(σk) время t’ik2.

З аметим, что

Для последовательности σn тогда

Очевидно, если изменить порядок обработки двух послед­них операций в оптимальном решении, то общая продол­жительность обработки деталей может только увеличиться:

(7)

Обозначим через b разность В(σk-2)—A(σn-2):

П олагая, что В(σk)=0 (перенесем начало отсчета времени), неравенство (7) перейдет в неравенство:

(8)

П роизведем очевидные преобразования

(9)

Однако для выполнения соотношения (9) достаточно, чтобы выполнялось условие

что в свою очередь эквивалентно соотношению

(10)

Рис.12.3

Соотношение (10) будет выполнено в следующих случаях:

Отсюда вытекает простое решающее правило (а скорее алгоритм) определения оптимальной очередности обработки деталей в задаче двух станков.

1. Найдем все детали, для которых ai ≤ bi и упорядочим их в порядке возрастания ai.

2. Детали, для которых ai>bi, упорядочим в порядке убывания bi.

3. Сначала обра­батываются детали первой группы, затем — второй.

Для деталей, характеристики которых заданы в табл.12.1.,

i	1	2	3	4	5	6
ai	3	4	4	6	1	2
bi	2	5	1	3	3	5

оптимальной будет следующая очеред­ность обработки деталей: 5, 6, 2, 4, 1, 3.

График, соответ­ствующий этой очередности, представлен на рис.12.3.

На этом же рисунке для сравнения представлен график обра­ботки деталей в порядке возрастания их номеров.