§ 3. Предел последовательности чисел
Последовательности вещественных чисел
Мы будем рассматривать здесь бесконечные последовательности вещественных чисел. Бесконечную последовательность х , х , … , х , … будем обозначать через , иногда через . Числа х , образующие последовательность, называют членами этой последовательности. Эти числа не обязательно все попарно различны, некоторые из членов последовательности с разными номерами могут быть одинаковы- ми числами. Возможен и такой случай, когда все члены последовательности равны одному и тому же числу ; такие последовательности называют стационарными.
Последовательность называют ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует число М такое, что все члены последовательности не больше (не меньше ) числа М. Последовательность называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Последовательность {x k} называют возрастающей ( убывающей) последова- тельностью, если при всех k N справедливо ( ).
Последовательность называют неубывающей (невозрастающей) последо- вательностью, если при всех k N справедливо ( ).
Последовательности неубывающие и невозрастающие называют монотонными последовательностями. Те из монотонных последовательностей, которые возрастают или убывают, называют строго монотонными.
Пусть задана последовательность {x k} и пусть n – некоторое натуральльное число. Бесконечную последовательность , , , , назовем остатком последовательности и обозначим через . Остаток последовательности – это бесконечная последовательность, полученная в результате отбрасывания некото- рого конечного количества первых членов исходной последовательности
3.2. Сходящиеся и расходящиеся последовательности
Пусть задана некоторая последовательность и пусть a – некоторое число, т.е. a R.
Определение 1. Число a называют пределом последовательности , если для любого положительного числа существует натуральное такое, что все члены последовательности , номера k которых превышают , удовлетворяют неравенству .
Ниже мы часто будем прибегать к следующей компактной записи условия определения 1:
> 0 k N .
Эту строчку можно прочесть так : для любого положительного ε существует натуральное такое, что при всех натуральных k , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство
Если a удовлетворяет этому определению, то будем записывать а или и будем говорить, что последовательность стремится к a или сходится к a
Пусть a – некоторое число, а ε – некоторое положительное число. Введем тер- мины: окрестность точки а и ε - οкрестность точки a.
Окрестностью точки а будем называть всякий интервал, содержащий эту точ- ку; обозначать окрестность точки a будем символом .
-окрестностью точки a назовем интервал ; обозначать ε - окрестность точки а будем символом .
Заметим: . Из определения 1 вытекает: если , то в - окрестности числа a лежит бесконечное множество членов после- довательности, а именно, в лежат все те , номера k которых превышают : . Существенно, что это остается справедливым при любом, сколь угодно малом 0: как бы мало ни было 0, в содержится бесконеч- ное множество членов последовательности. Существенно также и то , что вне - ок- рестности может находиться разве лишь конечное множество членов последовательно- сти, ибо в определении 1 не содержится никаких требований к конечному множеству первых членов последовательности, значит, только они и могут оказаться вне .
Геометрически величина есть расстояние между точками числовой оси, изображающими числа и a; поэтому геометрический смысл определения 1 можно передать фразой: при неограниченном увеличении номера k точка неог- раниченно приближается к точке a.
Пример 1. Пусть q, – заданное число. Рассмотрим геометрическую прогрессию 1, q, q , … , q , …, т.е. последовательность , где , и дока- жем, что ее пределом является а = 0.
Нам предстоит проверить для последовательности и числа a 0 выполнение условий определения 1:
0 k N .
Неравенство равносильно неравенству . Прологарифмировав, получим: ; поделив обе части последнего неравенства на отрицательное число , получим равносильное неравенство . Существует бесконечно много натуральных чисел, превышающих вещественное число . Выберем какое-нибудь из них и назовём его . Тогда для всякого натурального такого, что справедливо и, следовательно, справедливо . Таким образом, .
Итак, для любого 0 существует натуральное такое, что при всех справедливо . Тем самым доказано : . Заметим: на роль может быть выбрано любое натуральное число, большее, чем .
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся последовательно- стью. Далеко не всякая последовательность является сходящейся.
Пример 2. Рассмотрим последовательность чисел натурального ряда, т.е. последовательность , где , k N. Покажем, что эта последовательность не имеет предела и, следовательно, сходящейся не является.
Пусть a – некоторое вещественное число. Положим . Если бы a было пределом рассматриваемой последовательности, то в -окрестности , т.е. на интервале содержалось бы бесконечное множество её членов, т.е. на- туральных чисел. Очевидно, однако, что на интервале , длина которого равна единице, может содержаться не более одного натурального числа. Значит, при в содержится не более одного члена рассматриваемой последователь – ности; поэтому a не может быть её пределом. Но в этих рассуждениях a – произволь- ное вещественное число. Следовательно, ни одно вещественное число не может быть пределом последовательности чисел натурального ряда.
Пример 3. Рассмотрим последовательность , где , т.е. при нечетных k и при четных k. Покажем, что эта последовательность к схо- дящимся не принадлежит.
Действительно, пусть сначала a 1. Очевидно, что для такого a всегда можно подобрать 0 так, чтобы -окрестность не содержала точек 1 и –1. Таким образом, в указанной окрестности нет членов рассматриваемой последова- тельности, поэтому такое a не может быть ее пределом. Пусть теперь . Положим . Тогда -окрестность точки а представляет собой интервал . Число –1 лежит вне этого интервала. Значит, вне указанной -окрестности лежит бесконечное множество членов последовательности, а именно, все , у которых индекс k четный . Значит, не может быть пределом: если было бы пределом рассматривае- мой последовательности, то вне ε – окрестности этой точки находилось бы разве лишь конечное множество ее членов.
Аналогично можно показать, что и a –1 пределом этой последовательности не является.
Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся последова- тельностью.
.3.3.. Некоторые теоремы о сходящихся последовательностях
Теорема 1. ( О единственности предела ) Если последовательность имеет предел, то только один.
Пусть последовательность сходится к a, a R. Покажем, что всякое отличное от а число не может быть ее пределом .
Рис.
3.
Теорема 2. ( Об ограниченности сходящейся последовательности ) Если после- довательность сходится, то она ограничена.
Пусть последовательность сходится: a. Положим 1. По определению 1 найдется натуральное такое, что при всех . Это значит, что все члены последовательности, номера которых превышают , лежат на интервале ; вне этого интервала могут оказаться лишь числа , ,, .
Обозначим через и соответственно наименьшее и наибольшее из чисел , , , , и пусть , . Очевидно, все члены последовательности не меньше A и не больше B, т.е. последовательность ограничена.
Замечание 1. Из сходимости последовательности вытекает ее ограниченность. Обратное, вообще говоря, неверно: ограниченная последовательность не обязательно сходится (см. пример 3).
Теорема 3. ( О стабилизации знака неравенства ) Пусть последовательность сходится к a, a R, и пусть p – некоторое число, p a (p a). Тогда существу- ет такое, что при всех справедливо неравенство ( ).
Пусть p a. Положим a – p. В силу определения 1 для этого найдется такое, что , т.е. при любых , число удовлетворя- ет неравенствам . Но a – a – (a – p) p, значит, . Положим . Тогда при всех справедливо .
В случае p a доказательство аналогично.
Теорема 4. ( О предельном переходе в неравенстве ) Пусть последовательность сходится к a, а последовательность сходится к b. Если при всех нату- ральных k имеют место неравенства , то и a b.
Рассуждаем “от противного” : допустим, что a b. Обозначим: , т.е. p есть середина отрезка с концами a и b : b < p < а . Так как p a, по теореме 3 существует число такое, что при всех справедливо . Так как p b, по той же теореме существует такое, что при всех выпол- няется неравенство . Обозначим: . Пусть натуральное число k удовлетворяет условию . Тогда , и потому . С другой стороны, для такого k выполнено и условие , и потому . Значит, при , имеем , т.е. , а это противоречит условию теоремы ( при всех k N). Противоречие возникло из-за допущения a b, поэтому a b.
Следствие. Пусть все члены последовательность не больше(не меньше) некоторого числа b . если эта последовательность сходится, то её предел также не боль- ше (не меньше) b .
► Пусть при всех k N и пусть . Введём в рассмотрение стаци- онарную последовательность , каждый член которой равен b. Очевидно, Имеем: при всех N , т.е. . Применив теорему 4, получим: . Доказательство неравенства в случае проводится аналогично. ◄
Замечание 2. Если при всех N имеют место строгие неравенства , то, вообще говоря, для пределов а и b отсюда не следует строгое неравенство , т.е. возможно и , и равенство а = b. Действительно, пусть, например, , , где . Тогда при всех , но .
Теорема 5. ( О “ сжатой “ последовательности ) Пусть заданы три после- довательности , , , причем выполнены следующие условия:
1) при всех k N , и 2) , a R.
Тогда последовательность сходится, а ее предел равен a.
Нужно показать, что для последовательности и числа a выполнены условия определения 1: N: N
Пусть – заданное положительное число. Так как , существует нату- ральное такое, что при всех выполняется , т.е.
. (1)
Так как , существует такое, что при всех выполняется , т.е.,
. (2)
Обозначим: . Пусть k – натуральное число, большее, чем . Из следует и . Так как , для числа выполняется (1); т.к. , для числа справедливо (2); кроме того, в силу условия 1) теоремы имеем . Отсюда следует:
Значит, можно записать: , т.е. . Так как здесь – произвольное положительное число, то мы показали, что 0 k N ; значит, .
Теорема 6. Пусть – заданная последовательность, а n – некоторое натуральное число. Тогда:
1. Если сходится к числу a, то и остаток последовательности имеет тот же предел.
2. Если расходится, то и остаток является расходящейся последовательностью.
Упражнение. Доказать утверждения 1. и 2 . теоремы 6.
3.4. Бесконечно малые последовательности
Определение 1. Последовательность будем называть бесконечно малой последовательностью (б.м.последовательностью), если она сходится, а ее предел равен нулю, т.е.
N N
Б.м.последовательностью является, например, последовательность , рас- смотренная в примере 1, п. 3.2.
Пусть заданы последовательности и Последовательности и будем называть суммой и произведением последовательностей и соответственно. Если при всех k N, то последовательность назо- вем частным последовательностей и .
Теорема 1. (О сумме б.м. последовательностей ) Сумма б.м. последова- тельностей является б.м. последовательностью.
Пусть и есть б.м. последовательности. Положим и рассмотрим последовательность .
Пусть 0 – заданное число. Тогда и . Так как , то сущест- вует такое, что . Так как , то существует такое, что . Обозначим: . При имеем : .
Таким образом, для всякого 0 существует такое, что при всех выполняется . Значит, .
Замечание1. Пусть n ≥ 2, и пусть каждая из последовательностей является бесконечно малой. Тогда последовательность , где . также является б.м. последовательностью . Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1.
Теорема 2. ( О произведении б.м. и ограниченной последовательностей ) Произведение б.м. последовательности и ограниченной последовательности есть б.м. последовательность.
Пусть заданы последовательности и , причём ограни- чена, а -бесконечно малая. Так как ограничена, то существует число M 0 такое, что при всех натуральных k справедливо неравенство Пусть 0 – некоторое заданное число. Так как , найдется такое, что . Отсюда получаем: при любых натуральных , превышающих , спра- ведливо . Таким образом,
. > 0 k N .
Значит, .
Следствие. Пусть a – некоторое число, а – б.м. последователь- ность. Тогда , где , есть б.м. последовательность.
Это утверждение вытекает из доказанной теоремы : достаточно в качестве взять стационарную последовательность, положив .
Упражнение. Доказать, что произведение б.м. последовательностей есть б.м. последовательность.
Теорема 3. (О разности между последовательностью и числом )
Пусть - некоторая последовательность , a - некоторое число. Обозначим : α k = x k – a . Для того чтобы число a было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы последовательность была бесконечно малой.
Утверждение теоремы можно записать так: ( ) ( ).
означает: 0 k N ; (3)
означает: 0 k N . (4)
Но . Если выполняется (3), то, заменив в (3) на , получаем (4); таким образом, (3) (4). Если выполняется (4), то, заменив в (4) на , получим (3); таким образом, (4) (3). Итак, (3) (4), что и требовалось доказать.
Замечание 2. Утверждение теоремы 3 можно сформулировать несколько ина- че: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы можно было представить в виде суммы: х = , где . В такой формулировке эта теорема использована в следующем примере.
Пример 1. Пусть a R, a 1. Тогда .
Положим . Так как , то . Имеем: , отсю- да : . Воспользуемся неравенством Бернулли (п. 2.5 пример 1) : . . Очевидно, . Отсюда: и, значит, . Положим: , , , и рассмотрим последовательности , , и . Имеем: 1) при всех k N и 2) , . По теореме о “ cжатой “ последовательности ( п. 3.3. теорема 5) , т.е. . Итак, , где . Значит, .