Основы математического анализа
Если функция f имеет в точке x производную, то существует предел:
где .
Отсюда следует, что
где при
Таким образом, (1)
Если ввести обозначение , то равенство (1) можно записать следующим образом:
(2)
говорят, что функция f дифференцируема в точке если ее приращение Dy в этой точке можно записать в виде (2), где А – некоторая константа, не зависящая от Dx, но вообще говоря зависящая от x. Если функция имеет в точке x производную, то она дифференцируема в этой точке ( ). Верно и обратное утверждение: если функция дифференцируема в точке x, т. е. ее приращение в точке x представимо в виде (2), то она имеет производную в точке x равную А.
Если , то приращение функции эквивалентно при первому слагаемому правой части (2) ( ). В этом случае, когда , член называют главным линейным членом приращения. Приближенно, пренебрегая бесконечно малой высшего порядка, при малых можно считать равным главному члену.
Главный линейный член приращения называют дифференциалом функции в точке (соответствующим приращению независимой переменной ) и обозначают так:
.
Приращение независимой переменной обозначают ( для дифференциала функции от ), таким образом дифференциал функции в точке записывается так
.
Отметим очевидные формулы:
.
Производная функции от функции
Пусть задана функция от функции , где , . При этом функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда существует производная от в точке , равная:
.
Таблица производных простейших элементарных функций.
, а – любое число
, в частности
, в частности, при :
Производные и дифференциалы высшего порядка
Производная от функции есть снова функция. Поэтому можно попытаться взять от нее производную. Полученная функция (если она существует, то называется второй производной от и обозначается через . Таким образом, .
По индукции, производная порядка n определяется как первая производная от производной порядка (n – 1): .
Дифференциал от функции мы будем называть первым дифференциалом от в точке , соответствующим дифференциалу (приращению) независимой переменной .
Дифферециал n-го порядка от функции в точке , соответствующий дифференциалу независимой переменной определяется по индукции:
.
Из этого равенства следует, что n-я производная от в точке , есть отношение .
Первообразная. Неопределенный интеграл
Пусть на интервале (а, b) задана непрерывная функция . По определению функция называется первообразной функцией для на интервале (а, b), если на нем производная от равна :
Очевидно, что если функция - первообразная для на (а,b), а С – некоторая постоянная, то функция есть также первообразная для , потому, что
Если какая-либо первообразная от на интервале (а, b), то возможные первообразные от на этом интервале выражаются формулой , где вместо С можно подставить любое число.
Неопределенным интегралом от непрерывной функции на интервале (а, b) называется произвольная ее первообразная функция. Неопределенный интеграл обозначается так:
.
Если , – непрерывные на интервале (а, b) функции и , и – постоянные, то имеет место следующее равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла:
, где С – некоторая постоянная.
Таблица основных неопределенных интегралов
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Понятие определенного интеграла.