2. Методы решения нелинейных уравнений.

Задача нахождения корней уравнения считается решенной, если корни вычислены с заданной степенью точности.

Пусть f(x)=0. Тогда – приближенное значение корня х с точностью до ε, если

то a – приближенное значение корня уравнения с недостатком, b – приближенное значение с избытком.

Процесс решения нелинейного уравнения f(x)=0 осуществляется в 2 этапа.

I этап – отделение корней, т.е. определение отрезков, внутри которых находится строго один корень.

II этап – уточнение корня, т.е. нахождение его значения с предварительно заданной точностью.

2.1. Отделение корней

Идея методов I этапа: корни функции обязательно лежат между соседними экстремумами функции.

Способы отделения корней.

1. Графический. Применяется для грубого определения интервалов изоляции корня. Отрезки, где находятся точки пересечения графиков функций g(x) и h(x), принимаются за отделённые.

2. Аналитический.

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень.

ТЕОРЕМА 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка существует единственный корень.

ТЕОРЕМА 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, а производная сохраняет свой знак на отрезке, то внутри отрезка существует единственный корень.

Алгоритм:

а) найдем производную функции;

б) определим критические (производная равна нулю или не существует) и граничные точки функции;

в) составим таблицу знаков функции в критических и граничных точках (или близких к ним);

г) определим интервалы, на концах которых функция имеет значения разных знаков;

д) сузим найденные интервалы.

ЗАДАЧА 2.1.

Отделить графически и аналитически корни уравнения:

РЕШЕНИЕ.

х	-∞	0	1/4	+∞	-1	-2	1	2
sign f(x)	+	-	-	+	-	+	-	+

Задание 2.1.

Отделить графически и аналитически корни следующих уравнений:

2.2. Общие свойства алгебраических уравнений.

Алгебраическое уравнение всегда можно привести к виду:

, где

Согласно основной теореме алгебры, многочлен Р имеет n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.

Число ξ является корнем уравнения тогда и только тогда, когда Р делится без остатка на (х-ξ)

Количество действительных положительных корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами либо равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов уравнения, либо на четное число меньше (равные нулю коэффициенты не учитываются), а количество отрицательных действительных корней равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов Р_n(-х) или на четное число меньше.

Если уравнение полное, то количество его отрицательных корней равно числу постоянств знака в последовательности коэффициентов Р_n(х) или на четное число меньше.

О бласть существования корней алгебраического уравнения можно определить различными способами.

ПРАВИЛО КОЛЬЦА.

r R

Тогда корни уравнения заключены в круговом кольце

т.е. r, R– нижняя и верхняя границы положительных корней, а –R, -r – отрицательных.

ЗАДАЧА 2.2.

1) Определить количество положительных и отрицательных корней уравнения:

Р(х)=

+ - - 1 положительный корень

Р(-х)=

+ + - 1 отрицательный корень

2) Определить область существования корней

А=5; В=3;

Задание 2.2.

Определить количество положительных и отрицательных корней; найти область существования корней следующих уравнений: