§4. Интеграл от функции комплексного переменного

Пусть в области плоскости ( ) задана однозначная непрерывная функция и пусть – кусочно-гладкая направленная кривая, принадлежащая вместе со своими концами и .

По определению полагают

, (1)

где – произвольная точка элементарной дуги при произвольном разбиении дуги на частей точками .

При данных условиях интеграл от функции вдоль кривой , как предел интегральной суммы (1), существует.

Пример 1. Пользуясь определением (1), вычислим , где – радиус-вектор точки .

Разобьем радиус-вектор точки на п равных частей, т.е. полагаем

.

Пусть , тогда интегральная сумма запишется в виде

.

Следовательно,

.●

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению двух криволинейных интегралов 2-го рода по формуле

. (2)

Из формулы (2) следует, что на интегралы от функции комплексного переменного распространяются известные свойства криволинейных интегралов.

Пример 2. Вычислим интеграл , где – верхняя полуокружность с обходом против часовой стрелки.

Имеем

.

Переходя к параметрическому уравнению кривой , и учитывая, что в точках кривой, получаем

.●

Если кривая задана параметрическими уравнениями , что равносильно одному уравнению в комплексной форме , то имеет место удобная для вычисления интеграла формула

(3)

Интеграл , вообще говоря, зависит от пути интегрирования. Условием независимости интеграла от пути интегрирования является аналитичность подынтегральной функции.

Важную роль в теории функций комплексного переменного играет интегральная теорема Коши. Приведем две формулировки теоремы: для одно- и многосвязной областей.

Пусть – кусочно-гладкая замкнутая кривая, будем ее называть замкнутым контуром.

Теорема Коши (для односвязной области). Пусть функция аналитична в односвязной области , тогда для любого замкнутого контура имеет место равенство

. (4)

Теорема Коши (для многосвязной области). Пусть аналитична в многосвязной области , ограниченной внешним контуром и внутренними контурами . Тогда имеет место равенство

(5)

при условии, что интегрирование по всем контурам производится против часовой стрелки.

Как следствие последней теоремы (для двусвязной области) следует отметить утверждение: если аналитична в области всюду, кроме , то

, (6)

где и – произвольные контуры в , содержащие особую точку .

Для аналитической функции имеет место формула Ньютона-Лейбница

, (7)

где – первообразная для , т.е. . Этой формулой можно пользоваться для вычисления интеграла вдоль пути, лежащего в односвязной области, где аналитична, если известна первообразная для .

Техника нахождения неопределенных интегралов в комплексном анализе та же, что и в действительном, таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова

Если аналитична в области , и контур, охватывающий точку , то справедлива интегральная формула Коши

. (8)

При этом функция имеет всюду в производные любого порядка, для которых справедливы формулы

(9)

(контур может быть объединением контуров ).

Интеграл в правой части формулы (1) называется интегралом Коши.

Интегральная формула Коши позволяет находить значение аналитической функции в любой точке, лежащей внутри области , если известны значения этой функции на контуре , ограничивающем . Если точка лежит вне области , то интеграл Коши равен нулю в силу теоремы Коши, так как в этом случае подынтегральная функция является аналитической в области .

Формулы (1) и (2) могут служить для вычисления интегралов по замкнутым контурам.

Пример 3. Вычислим интеграл

Запишем интеграл в виде и, используя формулу Коши (8), находим

.●