15. Центральная предельная теорема
Нормально распределенные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком А.М. Ляпуновым (центральная предельная теорема): если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.
Пример: Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебание прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную “частную ошибку”. Однако их совокупное действие порождает уже заметную “суммарную ошибку”, которая имеет распределение, близкое к нормальному.
Таким образом, центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет нормальное распределение.
Центральная предельная теорема:
Пусть X1, X2…..Xn – последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию: M(Xk) = ak , D(Xk) = bk2.
Обозначим
,
,
,
а функцию распределения нормированной
суммы через
.
Тогда
при любом x функция
распределения нормированной суммы
стремится к нормальной функции
распределения при
:
.
В частности, если все случайные величины X1, X2….. одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин Xi (i=1,2,….) конечны и отличны от нуля.
Условие Ляпунова: Если для δ > 0 при отношение Ляпунова
,
где
стремится к нулю, то к последовательности X1, X2 применима центральная предельная теорема.
Сущность
условия Ляпунова состоит в требовании,
чтобы каждое слагаемое суммы
оказывало
на сумму ничтожное влияние.
16. Приложения.
16.1. Таблица значений функции .
16.2. Таблица значений функции
16.3.
Таблица значений функции
.
16.4. Таблица значений функции .
17. Рекомендуемая литература.
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М. : Высшее образование, 2010.
2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман.– М. : Юрайт , 2010.
3. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. – М. : ЮНИТИ -ДАНА, 2007.
4. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики / С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян. – М. : ЮНИТИ, 1998.
5. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель.– М. : Наука, 2006.
6. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко.– М. : Наука, 1988.