![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •I. Случайные события
- •II. Случайные величины и их распределения
- •III. Многомерные случайные величины
- •IV. Предельные теоремы теории вероятностей
- •I. Случайные события
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных исходов
- •1.3. События, операции над ними
- •1.4. Свойства операций
- •1.5. Алгебра и σ– алгебра событий
- •1.6. Вероятность событий
- •1.6.1. Классическое определение вероятностей
- •1.6.2. Элементы комбинаторики в теории вероятностей
- •1.6.3. Урновая схема
- •1.6.4. Геометрическая вероятность
- •1.6.5. Статистическое определение вероятности
- •1.6.6. Аксиоматическое определение вероятности
- •Условная вероятность. Независимость событий
- •1.8. Формула полной вероятности
- •1.10. Некоторые примеры вычисления вероятностей
- •1.11. Схема бернулли
- •1.12. Формула пуассона
- •1.13. Формула муавра – лапласа
- •Контрольные вопросы
- •Задачи.
1.6.2. Элементы комбинаторики в теории вероятностей
Для того чтобы вычислять вероятность по формуле (1.1), надо уметь находить числа m и n, для этого используют методы комбинаторики. Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам. Полученные группы элементов называются соединениями. Они могут отличаться друг от друга числом элементов в них, при одинаковом числе элементов в соединениях они могут отличаться как составом элементов, так и порядком следования элементов. В теории вероятностей, как, впрочем, и в самой комбинаторике, интересуются не самими соединениями, а их числом.
Основное правило комбинаторики (правило умножения) состоит в следующем: пусть требуется выполнить одно за другим К действий, при этом 1-е действие можно выполнить n1 способами, 2-е – n2 способами,…,к-е – nК способами. Тогда все K действий вместе могут быть выполнены n1·n2·…·nК способами.
Пример 12. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если 1) ни одна из цифр не повторяется более одного раза; 2) цифры могут повторяться; 3) числа должны быть нечетными.
Решение. 1). Первой цифрой числа может быть любая из 1,2,3,4,5. Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5 способами, третья– 4 способами, четвертая–3 способами. Следовательно, общее число способов составления четырехзначных чисел с неповторяющимися цифрами в них равно 5·5·4·3=300.
2). Здесь первая
цифра числа также может быть выбрана 5
способами. Для каждой из последующих
цифр возможен один из шести случаев:
0,1,2,3,4,5. Следовательно, общее число
способов равно 5·6
=1080.
3). Число нечетных чисел равно 5·6·6·3=540.
Для нас будут полезны такие типы соединений как: размещения, перестановки, сочетания.
1. Размещениями
из n элементов по m элементов
называют соединения, состоящие из m
элементов, взятых из данных n элементов
и отличающихся друг от друга или самими
элементами или их порядком. Иными словами
– это упорядоченные m – элементные
подмножества множества, состоящего из
n элементов. Число размещений из n
элементов по m элементов обозначается
символом
и вычисляется по формуле
.
Пусть, например, имеются буквы а, b, c.
Упорядоченные двумерные подмножества
этого множества букв имеют вид ab, ac, ba,
bс, ca, cb, их число равно
2. Перестановки
– это размещения при m = n. Число
перестановок, следовательно, вычисляют
по формуле
.
Из трех букв a, b, c можно составить
следующие перестановки: abc, acb, bac, bca, cab,
cba, число перестановок равно
3. Сочетаниями
из n элементов по m элементов
называют m – элементные соединения,
взятые из данных n элементов и отличающиеся
друг от друга хотя бы одним элементом.
Иначе говоря, это m – элементные
неупорядоченные подмножества множества,
состоящего из n элементов. В отличие от
размещений порядок элементов в сочетаниях
не учитывается. Число сочетаний из n
элементов по m элементов обозначается
символом
и вычисляется по формуле
.
Так, из трех букв a, b, c можно составить
такие сочетания по две буквы: ab, ac, bc,
число таких сочетаний равно
При вычислениях, когда число m больше
половины числа n, полезна формула
.
4. Размещениями
с повторениями из n элементов по m
элементов
называются соединения по m элементов,
причем каждый из m элементов может быть
любым из n элементов. Число размещений
с повторениями обозначается символом
и вычисляется по следующей формуле:
Так, из трех букв a, b, c можно составить
такие размещения с повторениями по две
буквы: аа, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb,cc, тогда
5. Перестановками
с повторениями
из n элементов, среди которых имеется
элементов
первого типа,
элементов
второго,…,
элементов k-го типа, при этом
,
называются соединения, содержащие все
данные n элементов с указанными числами
повторений одинаковых элементов. Все
эти соединения отличаются друг от друга
только порядком элементов. Число
перестановок из n элементов по k элементов
с заданными числами повторений
обозначается символом
и находится по формуле:
.
Так, число различных слов, которые можно
получить перестановкой букв в слове
мама,
,
вот эти слова: мама, амма, маам, аамм,
ммаа, амам.
Отметим, что если
k = 2, то среди n элементов
элементов первого типа и
элементов второго типа , следовательно,
.
В этом случае вместо обозначения
часто используется обозначение
.
Могут быть и
сочетания с
повторениями.
Число сочетаний с повторениями вычисляется
по формуле
Из букв a, b, c можно составить такие
сочетания с повторениями: aa, ab, ac, bb, bc,
cc, тогда
Пример 13.
По к воздушным целям запускается р
ракет,
.
Каждая ракета независимо от других
выбирает себе цель. Выбор любой цели
равновозможен. Найти вероятность, что
ракеты выберут разные цели – событие
А.
Решение. Здесь
,
так как каждое размещение ракет по целям
есть р – элементное соединение, в котором
для каждой ракеты выбирается любая из
к целей. Число
,
так как если рассмотреть благоприятные
событию A исходы, то получим схему: первая
ракеты выбрала одну из к целей, для
второй ракеты остается выбор любой из
(к-1) оставшихся целей, для третьей –
выбор из (к-2) оставшихся и т.д.
Отсюда
.
Пример 14. Две радиостанции могут работать на одной из трех фиксированных частот каждая. Найти вероятность того, что при одновременном и независимом выходе в эфир они будут работать на различных частотах – событие А.
Решение. Независимый
выход в эфир здесь означает, что каждая
станция выбирает себе частоту работы
независимо от того, какие частоты выбрала
себе другая. Общее число исходов здесь
вычисляется по формуле
,
так как каждая станция может выбрать
одну из трех частот независимо от другой.
Число
(см.
предыдущий пример)
.
Пример 15. Пусть
требуется разместить n различных частиц
по к ячейкам (к<n)
так, чтобы в первой ячейке было
частиц, во второй –
,
и т.д., в к-й ячейке –
частиц. Каким числом способов это можно
сделать?
Решение. Число
исходов опыта можно найти по правилу
умножения. В первую ячейку частицы можно
разместить
способами, во вторую –
способами, и т.д., в к-ю ячейку –
способами. Тогда
(см. также определение
перестановок с повторениями).
Пример 16. Девять человек выбирают 3 различные экскурсии независимо друг от друга. Выбор каждой экскурсии равновозможен. Найти вероятность, что каждую экскурсию выберет одинаковое число экскурсантов – событие А.
Решение. Общее
число исходов здесь вычисляется по
формуле
,
число исходов, благоприятных событию
A, равно
.
Пример 17. Партия из S деталей содержит R бракованных. Для контроля из партии выбирают s деталей. Найти вероятность, что среди них будет r бракованных – событие A.
Решение. Общее
число элементарных исходов
,
так как по условию задачи в соединениях
по s элементов интерес представляют
сами элементы, порядок следования
элементов безразличен. Для вычисления
числа m отметим, что r бракованных
выбираются из общего числа R бракованных
изделий, остальные (кондиционные) s–r
выбираются из оставшихся S–R кондиционных.
Число m тогда, согласно основному правилу
(принципу) комбинаторики, равно
.
Полученную формулу
при различных значениях
называют гипергеометрическим
распределением.
Пример 18.
Сколькими способами можно упорядочить
множество
так,
чтобы каждое четное число имело четный
номер.
Решение. Четных
чисел в заданном множестве n, столько
же мест с четными номерами, потому
существует n! способов размещения n
четных чисел по n местам с четными
номерами. Каждому такому размещению
отвечает ровно n! способов размещения
n нечетных чисел по n местам с нечетными
номерами. Потому общее число способов
размещения n четных чисел по n местам с
четными номерами равно
.
Пример 19.
Сколько целых неотрицательных решений
имеет уравнение
?
Решение. Число
таких решений совпадает с числом
сочетаний с повторениями из n элементов
по m элементам. Если обозначить число
таких решений за р, то
.
Пример 20. Сколько частных производных порядка m существует у бесконечное число раз дифференцируемой функции n переменных?
Решение.
Предположим сначала, что все смешанные
производные
функции по
одним и тем же аргументам равны между
собой. Тогда, обозначив число частных
производных порядка m у функции n
переменных через р, получим равенство
.
Например, функция трех переменных имеет
6 различных частных производных второго
порядка, так как
Вот они:
.
Если полагать, что
все смешанные производные
функции по
одним и тем же аргументам различны между
собой, то
В приведенном примере для функции трех
переменных это будут производные
и их число равно