Теория пределов
Основные понятия и формулы
Определение 1: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Предел функции в точке а обозначается
Основные теоремы о пределах
1.
2.
3.
4.
5.
6.
! Все правила имеют смысл, если пределы функций и существуют.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Следствия из первого замечательного предела ,
Второй замечательный предел
Следствие из второго замечательного предела
Техника вычисления пределов
а) Чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной.
б) Чтобы раскрыть неопределенность типа , где под знаком предела стоит рациональная дробь, достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности.
в) Чтобы раскрыть неопределенность типа , если под знаком предела стоит иррациональная дробь, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель и сократить множитель приводящий к неопределенности.
г) Необходимо помнить, что
, , , , , .
Пример 1: Вычислить
Решение:
Пример 2: Вычислить
Решение:
Пример 3: Вычислить
Решение:
=
Пример 4: Вычислить
Решение:
Пример 5: Вычислить
Решение:
Пример 6: Вычислить
Решение:
Пример 7: Вычислить
Решение:
Пример 8: Вычислить
Решение:
Дифференциальное исчисление
Основные понятия и формулы
Определение 1: Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
.
Механический смысл производной. Скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .
Геометрический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.
Уравнение касательной к графику функции в точке :
Уравнение нормали к графику функции в точке :
Таблица производных
Правила дифференцирования
|
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. |
Определение 2: Дифференциалом функции y=y(x) называется линейная относительно часть приращения функции. Дифференциал функции находится как произведение производной функции на дифференциал независимой переменной:
.
Дифференцирование сложной функции
Пусть y= y(u) , где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем
, или