- •22 Кафедра математического анализа
- •Глава 1. Дифференциальные уравнения
- •§1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнение вида
- •§2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия
- •§3. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •§4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •§ 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •§6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •§7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Задания для самостоятельного решения
§ 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Рассмотрим основные свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (20):
.
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Общее решение уравнения (20) есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Таким образом , чтобы найти общее решение линейного неоднородного уравнения, нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения и какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной. Покажем, как можно найти частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.
Пусть - общее решение однородного уравнения
. Будем искать частное решение неоднородного уравнения (20) в виде
, |
(24) |
рассматривая и как некоторые ископаемые функции от . Продифференцируем последнее равенство
, |
(25) |
Подберем функции так, чтобы выполнялось равенство
. |
(26) |
Тогда равенство (25) принимает вид
.
Дифференцируя это равенство, найдем :
.
Подставляя выражения для и в уравнение (20) и группируя слагаемые, получаем
Выражения в квадратных скобках равны нулю, так как и - решения однородного уравнения. Поэтому последнее равенство принимает вид
|
(27) |
Таким образом, функция (24) является решением уравнения (20), если функции и удовлетворяют уравнениям (26) и (27).
Объединяя их, получаем систему уравнений
|
(28) |
в которой и - неизвестны, , , , и - известны. Так как определителем этой системы является определитель Вронского
,
составленный из линейно независимых решений и однородного уравнения (21), то он по теореме (об определителе Вронского, составленном из линейно независимых решений) не равен нулю, а значит, система (28) имеет единственное решение относительно и . Решая эту систему, получаем
,
где и - известные функции, откуда, интегрируя, найдем и . Подставляя полученные выражения для и в равенство (24), получаем искомое частное решение уравнения (20).
Пример. Найти частное решение уравнения .
Общее решение данного уравнения соответствующего однородного уравнения . Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
. |
(29) |
Система (28) для нахождения и в данном случае имеет вид
Складывая эти уравнения, найдем . Отсюда, интегрируя, получаем
.
Произвольную постоянную не пишем, так как ищем какое-нибудь частное решение. Подставляя выражение в первое из уравнений системы, найдем , откуда, интегрируя, получаем
.
Подставляя найденные выражения и в равенство (29), получаем частное решение данного неоднородного уравнения:
.
Заметим, что, найдя частное решение неоднородного уравнения и зная общее решение соответствующего однородного уравнения, на основании равенства можно записать общее решение данного неоднородного уравнения:
,
где и - произвольные постоянные.