3.2. Cилы в механике

1.Сила тяготения и сила тяжести. Опытным путем Галилей установил, что вблизи поверхности Земли все свободные тела, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением g ≈ ≈ 9,81 м / с². Это ускорение называется ускорением свободного падения. Следовательно, в соответствии со вторым основным законом динамики на тело вблизи поверхности Земли действует сила Q = mg, где m – масса тела. Эта сила называется силой тяжести. Ускорение g называют также ускорением силы тяжести. Точку приложения силы тяжести называют центром тяжести тела.

Сила тяжести Q является следствием гравитационного притяжения тела к Земле. Согласно закону всемирного тяготения, два материальных тела, рассматриваемые как материальные точки (точечные массы), притягиваются друг к другу с силой, направленной вдоль прямой, соединяющей эти тела, и величиной прямо пропорциональной произведению масс m₁ и m₂ этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

(3.5)

где = 6,67∙10 ^{– 11} Н∙м² / кг² – так называемая гравитационная постоянная (иногда ее называют постоянной Ньютона). Этот закон справедлив и в том случае, когда одно из тел является материальной точкой (точечной массой), а другое – шарообразным или когда оба тела являются шарами, находящимися даже на небольшом расстоянии друг от друга.

Закон обратных квадратов (3.5), по которому действуют друг на друга точечные гравитационные массы, обусловлен трехмерностью пространства. В пространстве n измерений точечные массы взаимодействовали бы по закону обратной степени n – 1. Поэтому для n = 3 справедлив закон обратных квадратов, так как 3 – 1 = = 2. При n = 4, что соответствует закону обратных кубов, планеты двигались бы по спиралям и быстро упали бы на Солнце. В соответствии с этим законом на тело массы m у поверхности Земли будет действовать сила

M – масса Земли, R – радиус Земли, Величина , как легко убедиться, имеет размерность ускорения, а ее численное значение равно величине ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли.

К закону всемирного тяготения Ньютон пришел с помощью следующих рассуждений. Ньютон нашел отношение центро- стремительного ускорения Луны, движущейся по орбите (которую он считал круговой) вокруг Земли, к ускорению свободного падения

где – расстояние от центра Земли до Луны (r = 60R, R – радиус Земли), T – период обращения Луны вокруг Земли (Т = 2360580 с). Это отношение оказалось равным Затем Ньютон вычислил отношение квадрата земного радиуса к квадрату расстояния от Земли до Луны, т.е. величину В пределах погрешностей измерений это отношение также оказалось равным Таким образом, На основании этих рассуждений Ньютон пришел к выводу, что сила, удерживающая Луну на орбите, есть не что иное, как сила притяжения Луны Землей, а ускорение силы тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния от Луны до Земли. Сама сила тяготения, действующая на Луну, где – масса Луны, K – коэффициент пропорциональности, не зависящий ни от массы Луны, ни от расстояния между Землей и Луной. Далее Ньютон предположил, что во взаимодействии Земля и Луна должны участвовать равноправно, поэтому сила тяготения должна быть пропорциональна и массе Луны. Так как расстояние от Земли до Луны велико по сравнению с радиусами Земли и Луны, то эти два тела можно считать материальными точками, следовательно и между любыми двумя материальными точками должны существовать силы притяжения, подобные силе притяжения между Луной и Землей, т.е. прямо пропорциональные произведению масс тел и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними.

Заметим, что в законе всемирного тяготения масса выступает как мера гравитационного взаимодействия; ее называют гравитационной массой, в отличие от инертной массы, определяемой вторым законом динамики. Равны ли эти массы для одного и того же тела или нет, на этот вопрос может ответить только опыт. Из утверждения Галилея о том, что вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением, равным g, вытекает утверждение о равенстве инертной массы m_i и массы гравитационной m_g. Действительно, по второму закону Ньютона для тела, испытывающего действие силы тяжести, откуда и если a = g, то m_i = m_g.

2. Упругие силы. Эти силы возникают при деформациях тел¹, т.е. при изменении их формы и размеров под действием внешних сил, например, при удлинении или сжатии стержня (стержнем называют любое тело, один из размеров которого много больше других) или пружины. Упругие силы препятствуют деформации тел, они направлены противоположно внешним силам, вызывающим деформацию, а при установившемся удлинении или сжатии уравновешивают их: F_упр = –F_внеш. Пусть под действием внешней силы F стержень или пружина получает растяжение или сжатие (деформацию) ∆l. Тогда при малых деформациях, когда ∆l << l₀, где l₀ – длин стержня или пружины в недеформированном состоянии, деформация прямо пропорциональна внешней деформирующей силе: ∆l = Коэффициент k называется жесткостью стержня или пружины. В результате деформации в стержне или пружине возникает внутренняя упругая сила F_упр = – F = – k∆l. Соотношение

F_упр = – k∆l (3.6)

носит название закона Гука. Он показывает, что упругая сила пропорциональна величине деформации и направлена в противоположную сторону.

Возникновение упругих сил объясняется существованием сил взаимодействия между структурными частицами – частицами, из которых состоят твердые тела (атомов, молекул, ионов) и называемых межатомными силами. Подробно механизм возникновения упругих сил буде рассмотрен в разделе «Основы статистической физики и термодинамики».

Проведенное рассмотрение показывает, что при действии на тело силы тело может не только изменять скорость своего движения, но и изменять свою форму и размеры – деформироваться.

а) б)

Рис. 3.1

3. Реакция связи. Если на тело в каком-либо направлении наложена связь, то тело, стремясь под действием приложенной силы осуществить перемещение в этом направлении, будет действовать на связь с некоторой силой, называемой силой давления на связь, если под действием этой силы связь сжимается, либо силой натяжения связи, если связь удлиняется. Одновременно по закону о равенстве действия и противодействия связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно направленной силой. Эту силу называют силой реакции связи или просто реакцией связи. Направлена она в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. На рис. 3.1, а и б показаны соответственно сила давления на связь Р и реакция связи N и T.

Как и упругие силы, силы реакции связи обусловлены межатомным взаимодействием и являются частным случаем упругой силы, когда деформациями тела можно пренебречь.

4. Вес тела. Вес тела Р – это сила, действующая на опору или

подвес, т.е. сила давления тела на связь, ограничивающей движение тела под действием силы тяжести. Если тело неподвижно или движется равномерно в любом направлении, то вес тела равен силе тяжести. Действительно, если тело неподвижно, то векторная сумма сил, действующих на него равна нулю: N + Q = 0. Но вес тела P = – N, а значит, P = Q = mg. На этом равенстве основан метод измерения масс путем взвешивания тела, в котором сравнение массы с эталоном заменяется сравнением их весов. Если тело движется вертикально с ускорением, то ma = mg + N. В этом случае P = –N = m(g – a). Поэтому если тело движется вниз, т.е. векторы a и g совпадают по направлении, то P < Q и при a = g имеем P = 0 – тело не оказывает давления на опору. Это явление невесомости. Если векторы a и g направлены противоположно, то P > Q – явление перегрузки.

5. Силы трения. Силы трения подразделяются на силу трения покоя, силу трения скольжения и силу трения качения. Сила трения покоя возникает при попытке сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел. Она в точности равна и противоположна по направлению действующей силе, если эта действующая сила не превышает некоторую величину F₀. Сила трения покоя (ее называют также силой сцепления) имеет принципиальное значение при передаче движения от одного тела к другому. Поэтому сила трения покоя не всегда только препятствует началу движения, удерживая соприкасающиеся тела в относительном покое, но часто эта сила служит причиной ускорения движения тела.

Рис. 3.2

Если действующая на тело сила превысит значение F₀, начнется скольжение тела по поверхности другого тела. При этом возникает сила трения скольжения F_тр. Направлена она противоположно перемещению тела относительно соприкасающейся с ним тела,

т.е. противоположно скорости относительного движения тел. Если скорость движения тела будет небольшой, то сила трения скольжения будет постоянной (не зависящей от величины скорости) и несколько меньшей максимальной силы трения покоя F₀:

F_тр = μN;

в векторном виде

где N – сила нормального давления, сила, прижимающая одно тело к поверхности другого тела; e_v – единичный вектор, направленный вдоль скорости относительного движения тел. Безразмерная величина μ называется коэффициентом трения скольжения; он зависит от природы соприкасающихся тел и от состояния их поверхности. График зависимости сил трения покоя и скольжения от величины действующей силы показан на рис. 3.2.

Возникновение сил трения покоя и скольжения обусловлено наличием сил притяжения (сцепления) между структурными частицами прижатых друг к другу тел, а также шероховатостью их поверхностей, создающей сопротивление относительному перемещению тел.

Сила трения качения будет рассмотрена в главе 6.

6. Центростремительная и центробежная силы. Эти силы не относятся к числу основных, но играют большую роль в механике. Они возникают при движении точки по окружности. При равномерном движении точки ее скорость, оставаясь постоянной по модулю, непрерывно меняется по направлению. Такая точка обладает центростремительным ускорением где – радиус окружности. Но любое ускорение вызывается силой. Следовательно, на точку массой m, движущуюся по окружности, действует сила . В векторной форме ее можно записать в виде где – радиус-вектор, проведенный от центра окружности к движущейся точке, по модулю равный радиусу окружности R. Эта сила, как и центростремительное ускорение, направлено к центру окружности и называется центростремительной силой. Собственно эта сила и заставляет точку двигаться по окружности. С этой силой на движущуюся по окружности точку действует связь. Но согласно третьему закону Ньютона центростремительной силе, с которой связь действует на точку, противодействует равная по модулю и противоположная по направлению сила, с которой материальная точка действует на связь. Эта сила направлена по радиус-вектору от центра окружности и называется центробежной силой. В векторной форме центробежная сила запишется как