Вариант 7
Задача 1.2
Дано: U = 100 В; P = 125 Вт; R1 = 50 Ом; R2 = 40 Ом.
Решение
Т ок в неразветвленной части цепи
I1 = P/U = 125/100 = 1,25 А.
Уравнения Кирхгофа
I2 + I3 = I1;
U = R1I1 + R2I2;
0 = R2I2 – R3I3.
Токи в ветвях I2 = (U – R1I1 )/R2 = (100 – 50∙1,25)/40 = 0,94 А; I3 = I1 – I2 = 1,25 – 0,94 = 0,31 А.
Сопротивление R3 = R2I2/I3 = 40∙0,94/0,31 = 120 Ом.
Задача 1.9
Дано: E = 12 В; Rвт = 1 Ом, R1 = 4,5 Ом, R2 = 4,5 Ом, R3 = 4,5 Ом, R4 = 9 Ом, R5 = 6 Ом.
Решение
а) Преобразование звезды сопротивлений R1, R2, R3 в эквивалентный треугольник.
Сопротивления эквивалентного треугольника
R12 = (R1R2 + R2R3 + R3R1)/R3 = (4,5∙4,5 + 4,5∙4,5 + 4,5∙4,5)/4,5 = 13,5 Ом;
R23 = (R1R2 + R2R3 + R3R1)/R1 = (4,5∙4,5 + 4,5∙4,5 + 4,5∙4,5)/4,5 = 13,5 Ом;
R31 = (R1R2 + R2R3 + R3R1)/R2 = (4,5∙4,5 + 4,5∙4,5 + 4,5∙4,5)/4,5 = 13,5 Ом.
Сопротивления параллельных соединений ab и cd
Rab = 1/(1/R4 + 1/R12) = 1/(1/9 + 1/13,5) = 5,4 Ом.
Rcd = 1/(1/R5 + 1/R31) = 1/(1/6 + 1/13,5) = 4,15 Ом.
Сопротивление внешней цепи R = 1/(1/(Rab + Rcd) + 1/R23) = 1/(1/(5,4 + 4,15) + 1/13,5) = 5,59 Ом.
Ток в неразветвленной части цепи I = E/(Rвт + R) = 12/(1 + 5,59) = 1,82 А.
Напряжение на внешней цепи Uad = RI = 5,59∙1,82 = 10,2 В.
Ток в ветви abcd Iabcd = Uad/(Rab + Rcd) = 10,2/(5,4 + 4,15) = 1,07 А.
Напряжения на участках ab и cd Uab = RabIabcd = 5,4∙1,07 = 5,75 В; Ucd = RcdIabcd = 5,4∙1,07 = 4,43 В.
Токи в ветвях
I4 = Uab/R4 = 5,75/9 = 0,64 А; I5 = Ucd/R5 = 4,43/6 = 0,74 А;
I1 = I5 – I4 = 0,74 – 0,64 = 0,10 А; I2 = I – I4 = 1,82 – 0,64 = 0,18 А; I3 = I – I5 = 1,82 – 0,74 = 1,08 А.
б) Преобразование треугольника сопротивлений R4, R2, R1 в эквивалентную звезду.
Сумма сопротивлений треугольника ∑R∆ = R4 + R2 + R1 = 9 + 4,5 + 4,5 = 18 Ом.
Сопротивления эквивалентной звезды
R24 = R2R4/∑R∆ = 4,59/18 = 2,25 Ом;
R12 = R1R2/∑R∆ = 4,54,5/18 = 1,13 Ом;
R14 = R1R4/∑R∆ = 4,59/18 = 2,25 Ом.
Сопротивление параллельного соединения ab
Rab = 1/(1/(R12 + R3) + 1/(R14 + R5)) = 1/(1/(1,13 + 4,5) + 1/(2,25 + 6)) = 3,34 Ом.
Ток в неразветвленной части цепи I = E/(Rвт + R24 + Rab) = 12/(1 + 2,25 + 3,34) = 1,82 А.
Напряжение на участке ab Uab = RabI = 3,34∙1,82 = 6,09 В.
Токи в ветвях
I3 = Uab/(R12 + R3) = 6,09/(1,13 + 4,5) = 1,08 А; I5 = Uab/(R14 + R5) = 6,09/(2,25 + 6) = 0,74 А;
I1 = (– R2I3 + R4I5)/∑R∆ = (– 4,51,08 + 90,74)/18 = 0,10 А;
I2 = (R4I + R1I3)/∑R∆ = (91,82 + 4,51,08)/18 = 1,18 А;
I4 = (R2I + R1I5)/∑R∆ = (– 4,51,08 + 90,74)/18 = 0,64 А.
Задача 1.14
Дано: E1 = 120 В; E2 = 125 В; Rвт1 = 0,15 Ом, Rвт2 = 0,1 Ом, R1 = 2,5 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 2 Ом, R4 = 2,5 Ом.
Решение
Метод контурных токов.
У равнения, составленные по второму закону Кирхгофа
для выбранных независимых контуров:
E1 – E2 = (Rвт1 + R1 + Rвт2 + R3 + R4)II – (Rвт2 + R3)III;
E2 = – (Rвт2 + R3)II + (Rвт2 + R2 + R3)III;
120 – 125 = (0,15 + 2,5 + 0,1 + 2 + 2,5)II – (0,1 + 2)III;
125 = – (0,1 + 2)II + (0,1 + 4 + 2)III.
Контурные токи II = 5,83 А; III = 22,50 А.
Токи в ветвях по методу контурных токов
I1 = II = 5,83 А; I2 = III = 22,50 А; I3 = III – II = 22,50 – 5,83 = 16,67 А.
Метод наложения.
Схема с оставленным источником E1.
Сопротивление параллельного соединения пассивных ветвей
Rab = 1/(1/R2 + 1/(Rвт2 + R3)) = 1/(1/4 + 1/(0,1 + 2)) = 1,38 Ом.
Ток в активной ветви
I1;( = E1/(Rвт1 + R1 + R4 + Rab) = 120/(0,15 + 2,5 + 2,5 + 1,38) = 18,39 А.
Напряжение на участке ab Uab = RabI1;( = 1,38∙18,39 = 25,3 В.
Токи в пассивных ветвях
I2;( = Uab/R2 = 25,3/4 = 6,33 А; I3;( = Uab/(Rвт2 + R3) = 25,3/(0,1 + 2) = 12,06 А.
Схема с оставленным источником E2.
Сопротивление параллельного соединения пассивных ветвей
Rab = 1/(1/R2 + 1/(Rвт1 + R1 + R4)) = 1/(1/4 + 1/(0,15 + 2,5 + 2,5)) = 2,25 Ом.
Ток в активной ветви
I = E2/(Rвт2 + R3 + Rab) = 125/(0,1 + 2 + 2,25) = 28,73 А.
Напряжение на участке ab Uab = RabI = 2,25∙28,7 = 64,7 В.
Токи в пассивных ветвях
I = Uab/(Rвт1 + R1 + R4) = 64,7/(0,15 + 2,5 + 2,5) = 12,56 А; I = Uab/R2 = 64,7/4 = 16,17 А.
Токи в ветвях по методу наложения
I1 = I1;( – I1;( = 18,39 – 16,17 = 5,83 А; I2 = I2;( + I2;( = 6,33 + 16,17 = 22,50 А; I3 = – I3;( + I3;( = – 12,06 + 28,73 = 16,67 А.
Оба источника работают в режиме генератора.
Баланс мощностей:
мощность, отдаваемая источниками,
Pи = E1I1 + E2I3 = 1205,83 + 12516,67 = 3783 Вт;
мощность, потребляемая нагрузкой,
Pн = (Rвт1 + R1 + R4)I1; 2 + R2I2; 2 + (Rвт2 + R3)I3; 2 = (0,15 + 2,5 + 2,5)5,832 + 422,502 + (0,1 + 2)16,672 = 2783 Вт.
Задача 1.24
Дано: T-образная схема четырехполюсника R1 = 200 Ом, R2 = 200 Ом, R3 = 400 Ом.
Решение
П остоянные четырехполюсника
A = 1 + R1/R3 = 1 + 200/400 = 1,5;
B = R1 + R2 + R1R2/R3 = 200 + 200 + 200∙200/400 = 500 Ом;
C = 1/R3 = 1/400 = 0,0025 сим;
D = 1 + R2/R3 = 1 + 200/400 = 1,5.
Уравнения четырехполюсника
U1 = AU2 + BI2;
I1 = CU2 + DI2.
Согласованная нагрузка
Rс = + = + = 447 Ом.
Задача 2.1
Дано: I1 = 3 А; R1 = 6 Ом; X1 = 8 Ом; R2 = 4 Ом; X2 = -2 Ом.
Решение
С опротивления ветвей
Z1 = R1 + jX1 = 6 + j8 = 10e j538 Ом;
Z2 = R2 + jX2 = 4 – j2 = 4,47e –j2634 Ом.
Сопротивление цепи
Z = Z1Z2/(Z1 + Z2) = (6 + j8)(4 – j2)/((6 + j8) + (4 – j2)) = 3,82 – j0,29 = 3,83e –j424 Ом.
Напряжение в цепи U = Z1I1 = 10e j538∙3 = 30e j538 В.
Ток в неразветвленной части цепи I = U/Z = 30e j538/3,83e –j424 = 7,82e j5732 А.
Ток во второй ветви I2 = U/Z2 = 30e j538/4,47e –j2634 = 6,71e j7942 А.
Комплексная мощность на зажимах цепи S = UI; * = 30e j538∙7,82e –j5732 = 235e –j339 ВА = 234 – j15 ВА.
Показания вольтметра U = Re U = 30 В.
Показания ваттметра P = Re S = 234 Вт.
Коэффициент мощности на зажимах цепи cos = cos (Arg S) = cos (– 339) = 0,998.
Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости