- •I. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду)
- •Линейные уравнения. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка.
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского.
- •4. Необходимое и достаточное условие линейной независимости системы решений линейного однородного уравнения.
- •5. Фундаментальная система решений (фср) линейного однородного уравнения. Теорема о существовании фср.
- •6. Теорема о представлении общего решения линейного однородного уравнения.
- •7. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
- •II. Системы оду.
- •8. Системы уравнений в нормальной форме. Задача Коши. Теорема о решения задачи Коши для системы в нормальной форме.
- •9. Линейные системы. Теорема о решения задачи Коши для линейной системы.
- •10. Линейно зависимые и линейно независимые системы вектор-функций. Определитель Вронского.
- •11. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейной од-нородной системы уравнений.
- •12. Фср для системы линейных уравнений. Теорема о существовании фср.
- •13.Теорема о представлении общего решения линейной однородной системы.
- •14.Структура общего решения линейной неоднородной системы.
- •III. Автономные систему оду
- •16. Фазовое пространство и фазовые траектории автономной системы.
- •17. Первые интегралы однородной системы. Достаточное условие первого интеграла. Теорема о существовании независимых первых интегралов.
- •18. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость положения равновесия автономной системы. Условие асимптотической устойчивости положения равновесия линейной системы.
- •19. Линеризация нелинейной системы в окрестности положения равновесия. Условие асимптотической устойчивости положения равновесия нелинейной системы.
- •20. Фазовые портреты линейных однородных систем с постоянными коэффициентами на плоскости: случаи узла, седла, фокуса и центра.
- •21. Фазовые портреты нелинейных систем. Исследование положения равновесия нелинейной системы на плоскости по линейному приближению. Предельные циклы.
- •22. Фазовая плоскость оду 2-го порядка. Пример: математический маятник.
- •23. Линейные и квазилинейные учп 1-го порядка. Представление общего решения через первые интегралы системы уравнений характеристик.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду)
ОДУ n-го порядка в нормальной форме. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
ОДУ – уравнение вида , где F – заданная функция, х – независимая переменная, у(х)- искомая функция, - ее производная, n –порядок уравнения. Функция у(х) называется решением, если при подстановке ее в уравнение, уравнение обращается в тождество.
Теорема. - (уравнение первного порядка, разрешенная относительно производной) (1)
Начальное условие: y(x0)= (2)
заданная точка.
Задача Коши: Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее НУ (2).
Теорема!.
Пусть функция f(x,y) непрерывную в некоторой области и имеет в этой области непрерывную производную . Тогда для любой точки решение задачи Коши (1), (2) существует и единственно в некоторой окрестности .
Линейные уравнения. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка.
НУ: (4)
Предположение. Коэф. и правая часть непрерывны на некотором интервале (a,b).
Теорема. При сделанных предположениях решение задачи Коши (5), (4) существует и единственно для .
Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского.
Опр.: Система функций
К (4)
Если равенство (4) возможно только при то система функций называется линейно независимой.
Определитель Вронского.
4. Необходимое и достаточное условие линейной независимости системы решений линейного однородного уравнения.
Решение y1(x),…, yn(x) уравнения L(y)=0 линейно независимо тогда и только тогда, когда на Х.
Док-во:
1) Если на Х, то функции y1(x),…, yn(x) линейно независимы.
2) Пусть y1(x),…, yn(x) линейно независимы. Предположим (от противного), что : , тогда система (*)
при x=x0 имеет нетривиальное решение ,
Рассмотрим функцию . Она является решением уравнения L(y)=0 (в силу леммы), удовлетворяющим условиям (в силу (*)) при x=x0.
Тем же условиям удовлетворяет решение . По теореме о ! , эти решения совпадают: на Х. Т.е. функции y1(x),…, yn(x) линейно зависимы (противоречие). Отсюда ни в какой точке интервала.
5. Фундаментальная система решений (фср) линейного однородного уравнения. Теорема о существовании фср.
Любые n линейно независимых решений y1(x),…, yn(x) уравнения L(y)=0 называются ФСР этого уравнения.
Теорема. ФСР уравнения L(y)=0 существует.
Док-во:
Пусть Е – единичная матрица n*n, ei, i=1,…, n – её столбцы.
Для каждого i=1,…, n найдем решение yi(x) уравнения L(y)=0, удовлетворяющее условиям = ei , где – произвольная точка.
По теореме о ! эти решения существуют.
6. Теорема о представлении общего решения линейного однородного уравнения.
Общим решением линейного однородного уравнения L(y)=0 является линейная комбинация
(*)
n линейно независимых частных решений этого уравнения y1(x),…, yn(x).
Док-во:
То, что функция y(x), определяемая формулой (*), является решением уравнения L(y)=0, следует из леммы о том, что линейная комбинация является решением однородного уравнения. Теперь покажем, что любое решение уравнения L(y)=0 представимо в виде линейной комбинации функций y1,…, yn. Для некоторой фиксированной точки рассмотрим систему линейных уравнений:
(**)
Определителем этой системы является определитель Вронского для функций y1,…, yn в точке x0, который в силу их линейной независимости не равен 0. Значит система (**) имеет единственное решение .
Тогда функция удовлетворяет тем же начальным условиям, что и функция (*). В силу единственности решения задачи Коши имеем , т.е. – линейная комбинация функций y1,…, yn, ч. и т.д.