Задание 5.18. Найти и для функций, заданных параметрически.
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
§4. Правило лопиталя Пример 5.19
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
а) Устранение неопределенности вида .
Ответ: 1.
б) Устранение
неопределенности вида
.
Имеем неопределенность вида . Применив правило Лопиталя, получим:
Так как
,
то
Таким образом,
получили неопределенность
,
которую также можно раскрыть при помощи
правила Лопиталя. Значит,
Ответ: 1.
в) Устранение
неопределенности вида
.
Здесь имеем неопределенность вида :
.
Представим произведение в виде частного. Получив неопределенность вида , применим правило Лопиталя:
Получили неопределенность вида . Далее, применяя трижды правило Лопиталя, получим:
На каждом этапе использования правила Лопиталя применяли тождественные преобразования, которые упростили соотношения.
Ответ: 0.
Пример 5.20
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.
а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
а) Устранение
неопределенности вида
.
Подставив в функцию
предельное значение
,
получим неопределенность вида
.
Обозначим данную функцию через
,
то есть
и прологарифмируем её:
.
Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (здесь имеем неопределенность вида ):
Итак,
.
Таким образом, предел функции равен
.
Ответ:
.
б) Устранение
неопределенности вида
.
Подставив в функцию
предельное значение
,
получим неопределенность вида
.
Положим
и прологарифмируем:
.
Применив правило Лопиталя, получим:
.
Воспользуемся
эквивалентными бесконечно малыми
функциями:
при
.
Тогда
.
Значит,
.
Таким образом, предел функции равен
.
Ответ: е.
в) Устранение
неопределенности вида
.
Имеем неопределенность . Введем обозначение
.
Тогда
.
В соответствии с правилом Лопиталя
получим:
Итак,
.
Поэтому предел функции равен
Ответ: е.
Задания для самостоятельного решения. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя. Задание 5.19
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
. |
27. |
. |
28. |
|
29. |
|
30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.