Модульна розрахунково-графічна робота № 1

Основні властивості рідин та газів. Основне рівняння гідростатики. Епюри гідростатичного тиску.Тиск рідини на плоскі поверхні. Тиск рiдини на криволiнiйнi поверхнi. Закон Архімеда. Рівняння нерозривностi потоку. Рiвняння Бернуллi для потоку iдеальної та реальної рiдин. Режими руху. Види втрат напору. Гідравлічний розрахунок трубопроводів. Втрати напору в пожежних рукавах.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ТА ВИЗНАЧЕННЯ

Густина рідини, або питома маса, - це маса одиниці об’єму, визначається за формулою ( - маса, - об’єм)

(І.1)

Стисливість – це властивість рідин і газів змінювати свій об’єм при зміні тиску. Вона характеризується коефіцієнтом стисливості (коефіцієнтом об’ємного стиснення)

, (І.2)

де - початковий об’єм рідини, - зміна об’єму при збільшенні тиску на величину .

Модуль об’ємної пружності є величиною, зворотною до коефіцієнта стисливості, тому

, (І.3)

Температурне розширення рідини при зміні температури характеризується коефіцієнтом температурного розширення

, (І.4)

де - зміна температури, яка, як і температура, має розмірність - градус за Цельсієм (хоча в системі температура має розмірність -Кельвін).

Рівняння Клапейрона для технічних розрахунків має вигляд:

, (І.5)

де - тиск, - об’єм, - маса, - питома газова стала, яка в системі має розмірність Дж/(кгК), - температура, яка в наведеній формулі має розмірність К (формула переводу градусів за Цельсієм у градуси Кельвіна має лінійний характер ).

Основне рівняння гідростатики (залежність абсолютного тиску від глибини занурення точки)

. (І.6)

Сила гідростатичного тиску, що діє на плоску прямокутну поверхню шириною , нахилену до горизонту під кутом , висота стінки , глибина занурення верхньої точки поверхні (поверхневий тиск не враховується)

(І.7)

Сила тиску на плоску поверхню

, (І.8)

- густина рідини, - глибина занурення центру ваги змоченої частини площі плоскої поверхні, - площа плоскої поверхні, - надлишковий тиск.

Сила тиску на криволінійну поверхню визначається як рівнодійна горизонтальної і вертикальної складової. Її модуль

. (І.9)

Напрям дії сили визначається кутом її нахилу до горизонту

. (І.10)

Вектор сили тиску повинен пройти через точку перетину її складових (горизонтальної) і (вертикальної).

Горизонтальна складова дорівнює силі тиску на вертикальну проекцію криволінійної поверхні:

, (І.11)

де - надлишковий (манометричний) тиск на вільну поверхню рідини, - глибина занурення центра ваги вертикальної проекції криволінійної поверхні, - площа вертикальної проекції.

Якщо манометричний тиск на вільній поверхні рідини дорівнює нулю, тобто , то

. (І.12)

Вертикальна складова дорівнює сумі ваги рідини в об’ємі «тіла тиску» і добутку манометричного тиску (на поверхню рідини) на площу горизонтальної проекції криволінійної поверхні («тіло тиску» розташовано між вертикальними площинами, які проходять через крайні утворюючі циліндричної поверхні)

. (І.13)

Якщо , то .

Виштовхувальна (архімедова) сила , згідно з законом Архімеда дорівнює вазі рідини (чи газу), витисненої тілом, вона спрямована вертикально вгору та прикладена до центра ваги витисненої рідини

, (І.14)

де - об’єм зануреної в рідину частини тіла.

Витратами називається кількість рідини, яка протікає через площину живого перерізу за одиницю часу. Витрати вимірюються в одиницях об’єму, в одиницях маси, або вагових одиницях, віднесених до одиниці часу, у зв’язку з чим витрати поділяють на об’ємні , масові і вагові

, (І.15)

де - об’єм рідини, - час;

, (І.16)

де - маса рідини;

. (І.17)

Середня швидкість визначається об’ємними витратами через одиницю площини живого перерізу

. (І.18)

Рівняння нерозривності потоку або постійності витрат

= = . (І.19)

Число Рейнольдса - критерій режиму руху

, (І.20)

де - середня швидкість руху рідини по трубі, - внутрішній діаметр труби, - кінематична в’язкість рідини.

Рівняння Бернуллі

. (І.21)

показує зв’язок між координатою частинки , тиском і швидкістю в різних перерізах струменя ідеальної рідини.

Загальні втрати напору для ділянки трубопроводу, прокладеного між двома перерізами

. (І.22)

Втрати напору по довжині труби

, (І.23)

- коефіцієнт гідравлічного тертя (коефіцієнт Дарсі); - довжина труби, - її внутрішній діаметр; - середня швидкість руху рідини.

Місцеві втрати напору

, (І.24)

- безрозмірний коефіцієнт, який називається коефіцієнтом місцевого опору.

Втрати напору в рукавній лінії, що складається з послідовно з’єднаних рукавів

. (І.25)

ЗАДАЧА № 1. В повністю заповнений трубопровід (рідиною з густиною ) діаметром та довжиною при атмосферному тиску = 1 атм 101,3 кПа додатково закачується така ж сама рідина об’ємом при температурі . Який надлишковий тиск виникає в трубопроводі, якщо стисливість рідини при відповідній температурі ? Деформацією водопроводу знехтувати.

Номер	, кг/м3	,	, мм	, м	, л
1	816	7,5	300	50	4,4
2	821	12,5	250	55	4,8
3	826	17,5	300	60	5,2
4	831	22,5	250	65	5,6
5	836	27,5	300	70	6,0
6	819	32,5	250	75	6,4
7	824	37,5	300	80	6,8
8	829	42,5	250	85	7,2
9	834	47,5	300	90	7,6
0	839	52,5	250	95	8,0
	В	Б	А	Б	В

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Для рідини з довідникових даних для певної густини та температури визначається її коефіцієнт стисливості (по значеннях густини і температури, які знаходяться у відповідному діапазоні). Початковий об’єм рідини, який було закачано в трубопровід, складає . Використовуючи формулу (І.2), знаходимо залежність між зміною об’єму та зміною тиску в рідині . Оскільки за умов задачі , остаточно маємо . Для визначеності в цій задачі вважаємо, що рідиною є нафта, тому довідникові дані необхідно брати з Таблиці 2.

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 827,5 кг/м³, = 45 м, = 200 мм, = 4 л, = 27,5 .

Розв’язання: Діапазон температур = 25,00 – 29,99 , діапазон густин = 825 – 829,99 кг/м³. Для рідини з довідникових даних для певної густини та температури визначається її коефіцієнт стисливості =0,81010^-9 1/Па. Початковий об’єм рідини, який було закачано в трубопровід, складає  1,414 м³. Надлишковий тиск = 3492412,7 Па  3,5 МПа.

Відповідь. Тиск підвищується на  3,5 МПа.

ЗАДАЧА № 2. Визначити зміну рівня вільної поверхні нафти масою і густиною в циліндричному резервуарі діаметром при підвищенні температури нафти від до . Об’ємний коефіцієнт температурного розширення нафти , зміною об’єму резервуару при вирішенні можна знехтувати. Зважаючи на те, що для нафти з густиною = 815...840 кг/м³ в температурному діапазоні = 0 ...60 величина об’ємного коефіцієнту температурного розширення зменшується не більше ніж на 2,3 %, при вирішенні задачі зазначений коефіцієнт вважати постійним для вказаного температурного діапазону.

Номер	, кг/м3	, 1/	, тонн	, м	,	,
1	816	0,91410-3	100	3,6	2	60
2	821	0,90310-3	105	3,8	4	57
3	826	0,89210-3	110	4,0	6	54
4	831	0,88210-3	115	4,2	8	51
5	836	0,87110-3	120	4,4	10	48
6	819	0,91410-3	125	4,6	12	45
7	824	0,90310-3	130	4,8	14	42
8	829	0,89210-3	135	5,0	16	39
9	834	0,88210-3	140	5,2	18	36
0	839	0,87110-3	145	5,4	20	33
	В	В	А	Б	Б	В

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Д ля вирішення задачі треба розглянути геометричну та фізичну складові цієї задачі. Позначимо через зміну об’єму нафти (зі знаком «» через підвищення температури), а через - шукану зміну рівня вільної поверхні. Тоді з точки зору геометрії , де - площа перерізу резервуару. Водночас, з фізичної точки зору зміна об’єму нафти залежно від температури (І.4), де - початковий об’єм нафти, - маса нафти. З урахуванням обох виразів для остаточно отримаємо .

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 100 т, = 850 кг/м³ , = 4 м, = 0 , = 30 , = 0,7210^-3 1/ .

Розв’язання: З урахуванням = 100 т= 10010³ кг

 0,2 м.

Відповідь. зміна рівня вільної поверхні  0,2 м.

ЗАДАЧА № 3. Обчислити мінімальний об’єм балона для зберігання газу масою при температурі , якщо балон здатний витримати тиск .

Номер	Газ	,	, кг	, МПа
1	Азот	7,5	5,1	11,2
2	Аргон	10,5	5,3	10,8
3	Ацетилен	13,5	5,5	12,2
4	Бутан	16,5	5,7	11,8
5	Водень	19,5	5,9	13,2
6	Гелій	22,5	6,1	12,8
7	Етан	25,5	6,3	11,5
8	Етилен	28,5	6,5	12,5
9	Метан	31,5	6,7	10,5
0	Пропан	34,5	6,9	13,5
	В	Б	А	В

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

З рівняння (І.5) отримуємо , де - термодинамічна температура (в кельвінах). За довідниковими даними (Таблиця 3) для газу визначаємо його питому газову сталу .

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: газ – кисень, = 6,4 кг, = 20 , = 15,7 МПа.

Розв’язання: Для кисню = 259,8 Дж/(кгК); = 293,15 К. Тому = 3104610^-6 м³ 31,05 л.

Відповідь. мінімальний об’єм балона  31,05 л.

ЗАДАЧА № 4. Бак з розмірами , , доверху заповнений рідиною густиною . Побудувати епюри гідростатичного тиску та обчислити сили гідростатичного тиску, що діє на бокові стінки та на дно бака.

Номер	, кг/м3	, м	, м	, м
1	700	4,0	2,0	3,6
2	720	4,2	2,2	3,8
3	740	4,4	2,4	4,0
4	760	4,6	2,6	4,2
5	780	4,8	2,8	4,4
6	800	5,0	3,0	4,6
7	820	5,2	3,2	4,8
8	840	5,4	3,4	5,0
9	860	5,6	3,6	5,2
0	880	5,8	3,8	5,4
	А	В	Б	В

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

За відсутністю надлишкового тиску ( = ) основне рівняння гідростатики (І.6) має вигляд , де . Закон зміни тиску за глибиною занурення є лінійним й епюри гідростатичного тиску на бокові стінки мають вигляд прямокутного трикутника, а на дно – прямокутника.

Сила гідростатичного тиску , що діє на бокову стінку довжиною , визначимо за формулою (І.7), в якій треба покласти =90, , : . Сила гідростатичного тиску , що діє на бокову стінку довжиною , визначимо за формулою (І.7), в якій треба покласти =90, , : . Сила гідростатичного тиску , що діє на дно бака, визначимо за формулою (І.7), в якій треба покласти =0, , .

Точкою прикладення сили є точка перетину діагоналей прямокутника, який є дном бака. Лінія дії сили , а також , знаходиться на відстані від дна бака.

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 4 м, = 2 м, = 3 м, рідина (вода) з густиною = = 10³ кг/м³.

Розв’язання:

Сила гідростатичного тиску = 176,58 кН. Сила гідростатичного тиску = 88,29 кН. Сила гідростатичного тиску = 235,44 кН.

Точкою прикладення сили є точка перетину діагоналей прямокутника, який є дном бака. Лінія дії сили , а також , знаходиться на відстані = 1 м від дна бака.

Відповідь. Сила гідростатичного тиску = 176,58 кН, Сила гідростатичного тиску = 88,29 кН, сила гідростатичного тиску = 235,44 кН.

З АДАЧА № 5. Зсічений конус, який має об’єм , радіус нижньої основи , повністю заповнений нафтою з густиною . манометричний тиск на дні . Визначити радіус верхньої основи .

Номер	, кг/м3	, м3	, м	, ат
1	816	42	3,1	0,51
2	821	44	3,2	0,53
3	826	46	3,3	0,55
4	831	48	3,4	0,57
5	836	50	3,5	0,59
6	819	52	3,6	0,61
7	824	54	3,7	0,63
8	829	56	3,8	0,65
9	834	58	3,9	0,67
0	839	60	4,0	0,69
	А	В	Б	В

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Перетворюючи основне рівняння гідростатики (І.6), знаходимо висоту конуса . Використовуючи формулу для об’єму зсіченого конуса , отримуємо квадратне рівняння відносно невідомого . Це рівняння має два корні - , один з яких додатний ( ), другий – від’ємний ( ). Звичайно, від’ємний корінь відкидаємо, залишаючи тільки перший, тому остаточно радіус верхньої основи .

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 50 м³, = 2,5 м, = 850 кг/м³, = 0,5 ат.

Розв’язання: За Таблицею 3 переводимо тиск у розмірність системи , тоді висота конуса = 5,88 м. Використовуючи формулу для об’єму зсіченого конуса, отримуємо квадратне рівняння відносно невідомого . Остаточно , звідки м. Звичайно, від’ємний корінь відкидаємо, залишаючи тільки значення = 0,603 м.

Відповідь. радіус верхньої основи = 0,603 м.

ЗАДАЧА № 6. На прямокутний щит висотою і шириною (у напрямі, перпендикулярному до площини Рисунку) діє гідростатичний тиск. Напір води ; конструкція, що підтримує щит, в площині рисунку є трикутником зі сторонами , , . Побудувати епюру гідростатичного тиску на вказаний щит, визначити силу гідростатичного тиску, вказати її напрям дії і точку прикладення, а також визначити зусилля , що стискає стержень .

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Гідростатичний тиск спрямований за нормаллю до поверхні, на яку він діє, тому в геометричному сенсі його епюра є прямокутною трапецією. Верхня основа трапеції діє на рівні точки і дорівнює , нижня – на рівні точки і дорівнює . Сила гідростатичного тиску дорівнює добутку величини гідростатичного тиску в центрі ваги прямокутного щита на його площу. Зважаючи на те, що шуканий центр ваги знаходиться на перетині діагоналей, тобто визначається величиною , проекція центру ваги на вертикаль , то сила . Точка прикладення сили визначається відстанню , де - глибина занурення точки .

За умови рівноваги щита сума моментів діючих сил відносно точки дорівнює нулю . Діючими силами в даному випадку є сила та сила , що стискає стержень , тому , звідки .

З трикутнику визначаємо величину кута , а з прямокутного трикутнику визначаємо . За формулами приведення для тригонометричних функцій , тому остаточно . З урахуванням виразів для , , визначимо .

За умов відомих довжин відрізків , , для визначення невідомих кутів і (кут є залежним від і ) скористаємось теоремами синусів і косинусів , . З останнього виразу маємо , тоді .

Номер	, м	, м	, м	, м	, м
1	6,0	2,55	4,1	6,0	5,2
2	5,9	2,65	4,2	5,9	5,7
3	5,8	2,75	4,3	5,8	5,4
4	5,7	2,85	4,4	5,7	5,8
5	5,6	2,95	4,5	5,6	5,1
6	5,5	3,05	4,6	5,5	6,0
7	5,4	3,15	4,7	5,4	5,5
8	5,3	3,25	4,8	5,3	5,9
9	5,2	3,35	4,9	5,2	5,6
0	5,1	3,45	5,0	5,1	5,3
	В	Б	А	Б	В

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 5,0 м, = 2,3 м, = 3,8 м, = 4,9 м, = 6,2 м.

Розв’язання: Кут  39,17. Кут  29,33. За цими даними визначаємо кут = 111,5. Глибина занурення точки  2,60 м. Точка прикладення сили визначається відстанню = 1,70 м, а сама сила  325,810³ Н = 325,8 кН. Сила , що стискає стержень ,  156,6510³ Н= 156,65 кН.

Відповідь. Сила гідростатичного тиску = 325,8 кН, точка її прикладення знаходиться на відстані = 1,70 м догори від точки на відрізку , зусилля = 156,65 кН.

ЗАДАЧА № 7. Обчислити силу тиску води (без урахування поверхневого тиску) на пластину певної форми (затвор отвору), яка нахилена до горизонту під кутом . Розміри пластини і , напір води . Обчислити глибину занурення та координату центру тиску .

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Розглянемо вирішення задачі (для визначеності на Рисунку наведена прямокутна пластинка). Для цього введемо дві системи координат: так звану місцеву , яка пов’язана з площиною пластинки, і , яка пов’язана з рівнем вільної поверхні. Вісь проходить крізь площину пластини, осі і є паралельними одна одній, а взагалі є перпендикулярними до площини рисунку, на якому показано розташування пластинки в указаних системах координат.

Для довільної пластинки існують верхній (визначається точкою ) та нижній (визначається точкою ) край. Для відомих величин , і глибина занурення точки дорівнює . Гідростатичний тиск спрямований за нормаллю до поверхні, на яку він діє, тому в геометричному сенсі його епюра є прямокутною трапецією. Верхня основа трапеції діє на рівні точки і дорівнює , нижня – на рівні точки і дорівнює . Сила гідростатичного тиску дорівнює добутку величини гідростатичного тиску в центрі ваги пластинки на його площу . В Додатку наведені площа і координата центру ваги різних фігур для місцевої системи координат. Використовуючи ці дані, глибина занурення центру ваги , тоді сила . Ця сила проходить через центр тиску , координата якого , де - момент інерції фігури відносно осі , яка проходить через центр ваги фігури (див. Таблицю Додатку). Величина . Глибина занурення центру тиску фігури .

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: форма засувки – прямокутник, = 3 м, = 2 м, = 4 м, =60.

Розв’язання: Для засувки певної форми за довідниковими даними (Таблиця 5) визначаємо площу перерізу , координату центру ваги , момент інерції . Для прямокутника = 6 м², = 1,5 м, = 4,5 м⁴. Глибина занурення точки  1,4 м. Глибина занурення центра ваги  2,7 м, тоді сила гідростатичного тиску = 158922 Н 159 кН. Визначаємо відносно осі координату центра ваги засувки  3,12 м і координату центра тиску  3,36 м. Остаточно глибина занурення центру тиску фігури = 2,91 м.

Відповідь. сила тиску води (без урахування поверхневого тиску) на прямокутну пластину =158922 Н, глибина занурення центру тиску =2,91 м, координата центру тиску  3,36 м.

Номер	Форма засувки	Співвідношення між і	, м	, м	, 
1	Трикутник	= 2,4	1,92	4,4	60
2	Трапеція	= 1,5	1,94	4,5	57
3	Коло	=	1,96	4,6	54
4	Напівколо	= 0,5	1,98	4,7	51
5	Квадрат	=	2,0	4,8	48
6	Квадрат на ребрі	=	2,02	4,9	45
7	Ромб	= 2	2,04	5,0	42
8	Еліпс	= 2,5	2,06	5,1	39
9	Напівеліпс	= 1,5	2,08	5,2	36
0	Параболічний сегмент	= 1,5	2,10	5,3	33
	В	В	Б	А	В

ЗАДАЧА № 8. Визначити силу тиску води на циліндричну поверхню (шириною у напрямі перпендикулярному площині рисунку), яка перекриває отвір між камерами. Глибина , радіус кривизни поверхні , кут .

Номер	, м	, м	, м	, 
1	6,0	2,55	1,1	25
2	5,9	2,65	1,2	28
3	5,8	2,75	1,3	31
4	5,7	2,85	1,4	34
5	5,6	2,95	1,5	37
6	5,5	3,05	1,6	40
7	5,4	3,15	1,7	43
8	5,3	3,25	1,8	46
9	5,2	3,35	1,9	49
0	5,1	3,45	2,0	52
	Б	А	Б	В

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Горизонтальна складова сили тиску визначається за формулою (І.12). - центр ваги проекції криволінійної поверхні на вертикальну площину (проекцією є прямокутник з висотою і шириною ). У даному випадку , , . Тоді . Лінія дії горизонтальної складової проходить на відстані від вільної поверхні води, де . В свою чергу, , . Після підстановки та скорочення на знаходимо .

Вертикальна складова визначається за (І.13), де - об’єм «тіла тиску», перерізом якого є фігура . Тому з урахуванням довжини у напрямі, перпендикулярному до площини рисунку, запишемо . Зробимо деякі пояснення до цієї формули. Площа перерізу складається, по-перше, з площі колового сектору з центральним кутом (перший доданок), по-друге, з площі трапеції (другий доданок), а по-третє, при обчисленні площі колового сектора необхідно перевести градусну міру в радіани (наприклад, куту = 30 відповідає значення рад). Вертикальна складова проходить через точку - центр ваги «тіла тиску» і спрямована вертикально вгору. Сила тиску за (І.9) дорівнює . Ця сила проходить через точку під кутом (3.9) до горизонту. Точка перетину лінії дії сили з циліндричною поверхнею є точкою прикладення сили гідростатичного тиску до самої поверхні. Сама сила спрямована за нормаллю до поверхні.

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 1 м, = 4 м, = 1 м, = 30.

Розв’язання: Горизонтальна складова сили тиску = 5,17 кН, яка діє на відстані  0,1 м від дна.

Вертикальна складова сили тиску

= 19,4 кН. Сила тиску дорівнює = 20,1 кН. Ця сила проходить через точку під кутом  75 до горизонту. Точка перетину лінії дії сили з циліндричною поверхнею є точкою прикладення сили гідростатичного тиску до самої поверхні. Сама сила спрямована за нормаллю до поверхні.

Відповідь. Сила тиску на циліндричну поверхню = 20,1 кН.

ЗАДАЧА № 9. Визначити силу гідростатичного тиску води на криволінійну циліндричну поверхню з радіусом кривизни , яка є дугою сектора з кутом . Ширина циліндричної поверхні в напрямі, перпендикулярному до площини рисунку . Визначити координати точки прикладення сили та кут нахилу цієї сили до горизонту.

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

На криволінійну поверхню діє стовп води , тобто глибина занурення точки дорівнює сумі відрізків і , або . Епюра гідростатичного тиску є прямокутним трикутником з вертикальною стороною і горизонтальною стороною . Проекцією криволінійної поверхні на вертикальну площину є прямокутник , в якому , а . Центр ваги цього прямокутника знаходиться на глибині від вільної поверхні, тому горизонтальна складова сили гідростатичного тиску дорівнює добутку тиску в центрі ваги на площу відповідного прямокутника (І.11) .

Вертикальна складова сили тиску спрямована догори та дорівнює вазі води в об’ємі фігури (І.13). Для визначення цього об’єму необхідно знайти площу фігури , яка складається з сектора і прямокутного трикутника .

Площа сектора дорівнює , де кут вимірюється в градусах. Площа прямокутного трикутника дорівнює . Стосовно останнього виразу необхідно зробити деякі пояснення. Для кута фігура утворюється шляхом відрізання прямокутного трикутника від сектора . Зважаючи на те, що для значення є додатним, площа . Натомість, для кута фігура утворюється шляхом додавання прямокутного трикутника до сектора , тому при значення є від’ємним, і площа . Таким чином, вертикальна складова сили тиску . Рівнодіюча сил гідростатичного тиску визначається за формулою (І.9) . Ця сила проходить через точку з координатами . Вертикальна координата визначається положенням центра ваги епюри гідростатичного тиску, який для прямокутного трикутника знаходиться на глибині від вільної поверхні.

Для визначення відстані (горизонтальна координата центра ваги фігури ) скористаємось правилом визначення координати центра ваги для складених фігур. Спрямуємо вісь у позитивному напрямі вздовж відрізка , тоді для колового сектора проекція координати центра ваги дорівнює , а для прямокутного трикутника проекція координати центра ваги дорівнює . Остаточно за правилами визначення координат центра ваги складеної фігури , тому після підстановки усіх величин і проведення певних перетворень отримуємо . Для двох окремих випадків величина : при (тобто для чверті циліндра) , при (тобто для половини циліндра) .

Таким чином, координати точки визначені. Зважаючи на те, що криволінійна поверхня з радіусом кривизни є циліндричною, і сили тиску в кожній точці поверхні спрямовані за нормаллю і збігаються з радіусами, то і рівнодіюча цих сил теж має проходити через точку . Отже, положення двох точок - і , через які проходить сила гідростатичного тиску , визначено. Кут нахилу сили до горизонту за (І.10) дорівнює .

Номер	, м	, м	, 
1	3,1	2,15	55
2	3,3	2,35	65
3	3,5	2,55	75
4	3,7	2,75	85
5	3,9	2,95	95
6	4,1	3,15	105
7	4,3	3,35	115
8	4,5	3,55	125
9	4,7	3,75	135
0	4,9	3,95	145
	Б	А	В

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 2 м, = 2,5 м, = 160.

Розв’язання: Глибина занурення точки , або повний стовп води  3,88 м. Горизонтальна складова сили гідростатичного тиску  184,5510³ Н= 184,55 кН. Вертикальна складова сили гідростатичного тиску  152,7410³ Н= 152,74 кН. Рівнодіюча сил гідростатичного тиску  239,56 кН. Ця сила проходить через точку з координатами . Вертикальна координата = 2,59 м від вільної поверхні. Горизонтальна координата  0,854 м. Кут нахилу сили до горизонту дорівнює  39,66.

Відповідь. Сила гідростатичного тиску  239,56 кН, координати точки = 2,59 м від вільної поверхні та  0,854 м, кут нахилу сили до горизонту  39,66.

З АДАЧА № 10. Циліндричний поплавок, вісь якого збігається з вертикаллю, повинен відкривати за допомогою троса клапан при підвищенні рівня води в резервуарі на . Зусилля відкривання клапана . Знайти радіус основи поплавка та його висоту , якщо товщина стінки поплавка , густина матеріалу поплавка = 7,810³ кг/м³, густина води = 10³ кг/м³.

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

При нормальному рівні води в резервуарі поплавок плаває повільно, без натягу троса, який при підвищенні рівня води на досягає піднімальної сили відкриття клапану . Отже з рівняння (І.14) для виштовхувальної (архімедової) сили маємо . Глибину занурення поплавка під дією власної ваги знайдемо з рівняння , з урахуванням незаповнення всього об’єму поплавка матеріалом з густиною ,

.

Розв’язуємо це рівняння відносно і маємо

. Отже, загальна висота поплавка .

Номер	, Н	, см	, мм
1	11	4,1	2,0
2	12	4,2	1,9
3	13	4,3	1,8
4	14	4,4	1,7
5	15	4,5	1,6
6	16	4,6	1,5
7	17	4,7	1,4
8	18	4,8	1,3
9	19	4,9	1,2
0	20	5,0	1,1
	Б	А	В

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 10 Н, = 4 см, = 1 мм.

Розв’язання: Визначимо радіус основи поплавка, для якого маємо = 0,09 м= 9 см. Глибина занурення поплавка під дією власної ваги = 2,68 см. Отже, загальна висота поплавка = 2,68+4= 6,68 см.

Зважаючи на те, що у виразі для в чисельнику добуток густини на лінійний розмір у третьому ступені, а в знаменнику – добуток густини на лінійний розмір у другому ступені, не є необхідним переводити лінійні розміри до системи . Скорочення залишає висоту в розмірності, що була обрана для усіх лінійних величин в цьому виразі, тобто в даному випадку - сантиметр.

Відповідь. Радіус кола поплавка = 9 см, висота поплавка = 6,68 см.

З АДАЧА № 11. Площі перерізів витратоміра складають , , манометричні тиски в перерізах відповідно дорівнюють , . Визначити різницю в ртутному диференціальному манометрі, приймаючи = 13,5210³ кг/м³. Визначити об’ємні витрати рідини у трубопроводі, густина рідини .

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Скористаємось рівнянням Бернуллі (І.21). В даному випадку , що спрощує це рівняння , де - густина рідини. Застосуємо рівняння нерозривності потоку (І.19), з якого та . Після підстановки останнього виразу в рівняння Бернуллі маємо , тому для швидкості остаточно .

Об’ємні витрати за рівнянням (І.19) . Висота ртутного стовпа визначається зі співвідношення , звідки .

Номер	, кг/м3	, см2	, см2	, кПа	, кПа
1	740	110	45	20,5	6,5
2	760	120	50	21,0	7,0
3	780	130	55	21,5	7,5
4	800	140	60	22,0	8,0
5	820	150	65	22,5	8,5
6	840	160	70	23,0	9,0
7	860	170	75	23,5	9,5
8	880	180	80	24,0	10,0
9	900	190	85	24,5	10,5
0	1000	200	90	25,5	11,0
	А	В	Б	В	Б

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 120 см², = 70 см², = 20 кПа, = 7 кПа, = 10³ кг/м³.

Розв’язання: Для швидкості  3,66 м/с.

Об’ємні витрати = 43,9210^-3 м³/с= 43,92 л/с.

Висота ртутного стовпа = 0,098 м.

Відповідь. Різниця = 0,098 м, об’ємні витрати води = 43,92 л/с.

ЗАДАЧА № 12.

Знайти швидкість витікання води через конічну насадку без урахування втрат напору, якщо відомі : тиск , швидкість , кут нахилу насадки , довжина , тиск = .

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Скористаємось рівнянням Бернуллі (І.21). В даному випадку , . Для визначення швидкості вказане рівняння перепишемо у вигляді , звідки .

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 6 атм, = 6 км/годину, = 60⁰, = 30 см, = .

Розв’язання: Передусім, необхідно привести розмірності всіх величин до системи :  1,67 м/с, = 6 атм= 61,0132510⁵ Па, = = 11,0132510⁵ Па (згідно з Таблицею 1), = 30 см= 0,3 м, після чого остаточно:

 31,8 м/с.

Відповідь. швидкість витікання води через конічну насадку  31,8 м/с.

Номер	, атм	, км/годину	, см	, 
1	5,9	4,55	25	15
2	5,8	4,65	30	18
3	5,7	4,75	25	21
4	5,6	4,85	30	24
5	5,5	4,95	25	27
6	5,4	5,05	30	30
7	5,3	5,15	25	33
8	5,2	5,25	30	36
9	5,1	5,35	25	39
0	5,0	5,45	30	42
	Б	В	А	В

ЗАДАЧА № 13. Визначити напір і відповідний до нього тиск , який потрібно створити на початку трубопроводу для подачі в бак води з кінематичною в’язкістю . Довжина трубопроводу , його діаметр , об’ємні витрати води , висота , тиск в баку . Коефіцієнт опору крана , коліна , входу в резервуар = 1, шорсткість стінок труб .

Номер	, м	, мм	, мм	, л/с	, см2/с			, м	, кПа
1	70	125	0,20	15	0,0157	0,131	3,9	14,2	170
2	73	150	0,21	17	0,0152	0,138	3,4	14,4	175
3	76	175	0,22	19	0,0147	0,158	2,7	14,6	180
4	79	200	0,23	21	0,0143	0,206	2,5	14,8	185
5	82	225	0,24	23	0,0139	0,294	5,0	15,0	190
6	85	125	0,25	25	0,0135	0,440	3,9	15,2	195
7	88	150	0,26	27	0,0131	0,661	3,4	15,4	200
8	91	175	0,27	29	0,0127	0,977	2,7	15,6	205
9	94	200	0,28	31	0,0124	1,408	2,5	15,8	210
0	97	225	0,29	33	0,0121	1,978	5,0	16,0	215
	Б	А	Б	В	Б	В	Б	А	В

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

В ибравши перерізи 1-1, 2-2, а також положення горизонтальної площини, робимо аналіз рівняння Бернуллі (І.21) для умов даної задачі: - тиск невідомий, - швидкість в перерізі 1-1 дорівнює швидкості в трубах і позначається , =0, = (рівень горизонтальної поверхні в перерізі 2-2), =0 (оскільки бак має велику площу перерізу у порівнянні з площею перерізу труби).

Визначаємо втрати напору, які складаються з лінійних втрат і місцевих втрат (кран, чотири коліна, вхід в бак) . Потрібний напір . В цьому виразі всі величини, окрім відомі, для визначення якого необхідно знайти число Рейнольдса (І.20) з урахуванням (І.19) . У випадку ламінарного режиму руху рідини ( ) для визначення коефіцієнта необхідно скористатися формулою Пуазейля , а для турбулентного ( ) – формулою А.Д.Альтшуля , де _- абсолютна шорсткість для певних труб. Тепер остаточно визначаємо потрібний напір . Після цього необхідний тиск в перерізі 1-1 визначається як .

Як завжди, наголошуємо, що під час вирішення задачі необхідно привести розмірності всіх величин відповідно до системи , за одним винятком. В формулі для визначення присутній доданок , в якому обидві величини є лінійними розмірами. Тому саме тут за рахунок скорочення можна ці величини брати в будь-якій лінійній розмірності, але обов’язково однаковій.

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 810^-3 см²/с, =80 м, =100 мм, =15 л/с, =15 м, =200 кПа, = 5, = 0,8, = 1, =0,04 мм.

Розв’язання:

Число Рейнольдса . Отже, режим руху турбулентний ( ) і тому коефіцієнт гідравлічного опору знаходимо за формулою А.Д.Альтшуля . Тепер остаточно визначаємо потрібний напір

= 39,7 м вод. ст. Після цього необхідний тиск = 389,4610³ Па 0,39 МПа. Під час розрахунку для цих лінійних величин обраною розмірністю є міліметр.

Відповідь. Потрібний напір =39,7 м вод. ст., необхідний тиск  0,39 МПа.

ЗАДАЧА № 14.

Визначити напір , необхідний для пропуску об’ємних витрат води по старому сталевому трубопроводу з абсолютною шорсткістю . Загальна довжина трубопроводу , його діаметр , кінематична в’язкість води . Для системи прийняти наступні величини місцевих опорів: = 0,5 при гострих кромках вхідного отвору, = 1,7 для коліна без закруглення, = 3,8 для трійника; величини для коліна з закругленням і для вентиля визначаються окремо з таблиці даних.

Номер	, м	, мм	, мм	, л/с	, см2/с
1	200	125	0,50	15	0,0157	0,131	3,9
2	220	150	0,65	17	0,0147	0,138	3,4
3	240	175	0,80	19	0,0139	0,158	2,7
4	260	200	0,95	21	0,0131	0,206	2,5
5	280	225	1,10	23	0,0124	0,294	5,0
6	300	125	1,25	25	0,0117	0,440	3,9
7	320	150	1,40	27	0,0112	0,661	3,4
8	340	175	1,55	29	0,0106	0,977	2,7
9	360	200	1,70	31	0,0101	1,408	2,5
0	380	225	1,85	33	0,0081	1,978	5,0
	Б	А	В	В	Б	В	Б

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Знайдемо швидкість руху води за формулою (4.6) (з урахуванням площі круглого перерізу ) і режим руху – за формулою (І.20), де і - відомі. Розмірність величин у виразі для визначення числа Рейнольдса: - см/с, - см, - см²/с.

Складемо рівняння Бернуллі для перерізів 1-1 і 2-2 відносно площини 0-0. Нехтуючи швидкісним напором в першому перерізі, враховуючи, що манометричний тиск в обох перерізах дорівнює нулю (атмосферний тиск не враховується), отримуємо

.

Діаметр трубопроводу по всій довжині постійний, тому , а втрати напору дорівнюють

. Потрібний напір .

У випадку ламінарного режиму руху рідини ( ) для визначення коефіцієнта необхідно скористаємось формулою Пуазейля , а для турбулентного ( ) – формулою А.Д.Альтшуля , де _- абсолютна шорсткість для певних труб (з урахуванням матеріалу та часу експлуатації).

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 200 м, = 100 мм, = 2 мм, = 12 л/с, = 0,0131 см²/с, = 0,4, = 2,5.

Розв’язання: Швидкість руху води та режим руху відповідно = 1,53 м/с; = 116000, де =0,012 м³/с, =0,1 м (переводимо до розмірності системи ). Розмірність величин у виразі для визначення числа Рейнольдса: - см/с, - см, - см²/с.

Режим руху – турбулентний ( ), тому

= 0,0417 0,042. Остаточно

= 11,2 м вод. ст.

Відповідь. Потрібний напір =11,2 м вод. ст.

ЗАДАЧА № 15. Рукавна лінія має на висоті горизонтальну ділянку з послідовно з’єднаних прогумованих рукавів діаметром , яка переходить у два розгалуження. Перше утворюють , а друге – непрогумовані рукава діаметром . Кінець першого розгалуження знаходиться на висоті , а другого - . Напір на вході в рукавну лінію , а об’ємні витрати . Обчислити напори , та об’ємні витрати , на кінцях розгалужень, якщо різниця напорів відома.

Номер	, мм		, мм			, м	, м	, м	, м	, л/с	, м вод. ст.
1	51	1	51	1	1	1,0	8,0	3,0	70	8,0	4,0
2	66	2	66	2	2	1,2	8,2	3,2	73	8,1	4,2
3	77	3	77	3	3	1,4	8,4	3,4	76	8,2	4,4
4	51	4	51	4	4	1,6	8,6	3,6	79	8,3	4,6
5	66	5	66	5	5	1,8	8,8	3,8	82	8,4	4,8
6	77	1	77	1	1	2,0	9,0	4,0	85	8,5	5,0
7	51	2	51	2	2	2,2	9,2	4,2	88	8,6	5,2
8	66	3	66	3	3	2,4	9,4	4,4	91	8,7	5,4
9	77	4	77	4	4	2,6	9,6	4,6	94	8,8	5,6
0	89	5	51	5	5	2,8	9,8	4,8	97	8,9	5,8
	Б	В	В	Б	В	А	Б	В	Б	В	А

ПОЯСНЕННЯ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Обчислимо опори окремих ділянок. При цьому скористаємось довідниковими даними (Таблиця 4). Для першого типу рукавів , для другого . Втрати напору на окремих ділянках визначаються за формулою (І.25) . Опір на горизонтальній ділянці , на першому розгалуженні , на другому розгалуженні . З рівності напорів у спільній точці розгалужень (точка ) одержимо з урахуванням втрат напору . Використовуючи співвідношення для об’ємних витрат рідини у випадку двох паралельно з’єднаних труб , запишемо (об’ємні витрати на другому розгалуженні) і підставимо в наведений вираз, розв’язуючи відносно (об’ємні витрати на першому розгалуженні) , звідки остаточно отримуємо величину . Аналізуючи рукавну лінію, запишемо , та визначимо відповідні напори ,

.

ПРИКЛАД ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ

Числові дані: = 1 м, = 4, = 77 мм, = 2, = 1, = 51 мм, = 8 м, = 3 м, = 70 м, = 9 л/с, = 4 м.

Розв’язання: Для першого типу рукавів = 0,015 (мс²/л²), для другого = 0,24 (мс²/л²). Опір на горизонтальній ділянці = 0,06 (мс²/л²), на першому розгалуженні = 0,48 (мс²/л²), на другому розгалуженні = 0,24 (мс²/л²). Об’ємні витрати на першому розгалуженні

= 3,563 л/с, звідки = 5,437 л/с (об’ємні витрати на другому розгалуженні).

Визначимо відповідні напори і :

= 52,046 м вод. ст.,

= 56,046 м. вод. ст.

Відповідь. на кінцях розгалужень напори = 52,046 м, = 56,046 м та об’ємні витрати = 3,563 л/с, = 5,437 л/с.