![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
4. Отношения
Бинарным отношением на множестве
называется пара
,
где
область
задания отношения, а
– график отношения.
Если
,
то будем писать
и говорить, что
и
вступают в отношение
.
Если
и
не вступают в отношение
,
будем писать
.
Диагональю множества
называется график
.
Свойства отношений:
1. Рефлексивность:
.
2. Антирефлексивность:
.
3. Симметричность:
.
4. Антисимметричность:
или равносильное определение:
.
5. Транзитивность:
.
6. Связность:
.
Эти свойства можно определить с помощью графиков отношений:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
.
Операции над отношениями
и
сводятся к операциям над их графиками:
,
,
,
,
.
Отношение называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитно.
Отношение называется отношением линейного порядка, если оно является отношением частичного порядка и связно.
Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Отношение называется отношением строгого линейного порядка, если оно – связное отношение строгого порядка.
Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Классом эквивалентности, порождённым элементом , называется множество всех элементов из , вступающих с в отношение эквивалентности.
Фактор-множеством множества
по отношению эквивалентности
называется множество всех различных
классов эквивалентности, которое
обозначается
.
Мощность фактор-множества
называется индексом разбиения,
порождённого отношением
.
Задание 4.1. Проверить для произвольных
отношений
и
справедливость утверждения: «Если
отношения
и
обладают свойством
,
то отношение
также обладает свойством
».
Обозначения: 1 – рефлексивность, 2 – антирефлексивность, 3 – симметричность, 4 – антисимметричность, 5 – транзитивность, 6 – связность.
Примеры решения задания 4.1.
Пример 1.
Проверить для произвольных отношений
и
справедливость утверждения: «Если
отношения
и
транзитивны, то отношение
также транзитивно».
Решение. Пусть
.
Тогда
и
.
Отношение
не транзитивно, так как его график
содержит пары
и
,
но не содержит пару
.
Значит, в общем случае утверждение,
приведённое в примере 1, неверно.
Пример 2.
Проверить для произвольных отношений
и
справедливость утверждения: «Если
отношения
и
рефлексивны, то отношение
также рефлексивно».
Решение. Для рефлексивных отношений
и
выполнены условия:
,
.
Значит, выполнено также включение:
,
а это и означает, что отношение
также рефлексивно.
Задание 4.2.
1. Выяснить, какими из свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность обладает данное отношение .
2. Выяснить, что представляет из себя
отношение
,
.
3. Построить на конечном множестве отношение, обладающее таким же набором свойств, что и данное. Изобразить его графом и аналитически.
4. Построить на бесконечном множестве отношение, обладающее набором свойств, противоположным данному. В случае невозможности построения доказать противоречивость набора требований.
Замечание. В случае отношений эквивалентности указать классы эквивалентности, фактор – множество, индекс разбиения. В случае отношений частичного или линейного порядка указать максимальные, минимальные, а также наибольшие и наименьшие элементы (если они существуют).
Пример решения задания 4.2.
Решить задание 4.2 для случая, когда множество теннисистов, участвующих в турнире, где каждый теннисист должен сыграть с каждым ровно три партии. Пусть означает, что обыграл по результатам личных встреч.
1. Выясним, какими из основных свойств обладает данное отношение.
1 (рефлексивность). Отношение не является рефлексивным, так как найдётся теннисист, не обыгравший сам себя.
2 (антирефлексивность). Отношение является антирефлексивным, так как каждый теннисист не обыграл сам себя.
3 (симметричность). Отношение не является симметричным, так как найдётся пара теннисистов и такая, что обыграл по очкам в личных встречах, а не обыграл .
4 (антисимметричность). Отношение является антисимметричным, так как если обыграл , то обязательно не обыграл .
5 (транзитивность). Отношение
не является транзитивным, так как может
сложиться ситуация, когда
обыграл
,
обыграл
,
и в то же время
обыграл
.
6 (связность). Отношение является связным, так как любая пара спортсменов должна сыграть между собой и выяснить победителя.
2. Выясним, что из себя представляют отношения , .
По определению композиции,
означает, что найдётся
такой, что
и
.
То есть в отношение
будут вступать такие пары спортсменов
и
,
для которых найдётся такой теннисист
,
что
обыграл
,
а
обыграл
.
Рассуждая аналогично, получим, что в отношение будут вступать такие пары спортсменов и , для которых найдётся теннисист такой, что обыграл , а проиграл . То есть график отношения будут образовывать пары, составленные из теннисистов, для которых найдётся хотя бы один спортсмен, которого они оба обыграли в турнире.
3. Построим на конечном множестве отношение, обладающее таким же набором свойств, что и данное.
Пусть
1. Это отношение не является рефлексивным,
так как
2. Отношение антирефлексивно, так как
и
|
Рис. 10 |
3 . Отношение не симметрично, так как
и
.
4. Отношение антисимметрично, так как
и
,
и
,
и
.
5. Отношение не транзитивно, так как и , но .
6. Отношение связно, так как любая пара
различных элементов из множества
вступает в отношение
в том или ином порядке.
4. Построим на бесконечном множестве отношение рефлексивное, не антирефлексивное, симметричное, не антисимметричное, транзитивное и не связное.
Пусть
,
означает, что
и
имеют одинаковую дробную часть.
1. Отношение рефлексивно, так как любое число имеет одинаковую дробную часть само с собой.
2. Отношение не антирефлексивно, так как найдётся число (например, 1,32), имеющее одинаковую дробную часть само с собой.
3. Отношение симметрично, так как если и имеют одинаковую дробную часть, то и также имеют одинаковую дробную часть.
4. Отношение
не антисимметрично, так как, например,
числа 1,78 и
не равны, и в то же время
и
.
5. Отношение является транзитивным, так как если и имеют одинаковую дробную часть, и имеют одинаковую дробную часть, то и также имеют ту же самую дробную часть.
6. Отношение не связно, так как, например,
и
и
.
Это отношение рефлексивно, симметрично
и транзитивно, значит, оно является
отношением эквивалентности. Классами
эквивалентности являются множества,
состоящие из элементов с одной и той же
дробной частью, что равносильно условию
.
Индекс разбиения, соответствующего
данному отношению эквивалентности –
континуальный, так как мощность
фактор-множества
равна мощности всевозможных дробных
частей, то есть множеству точек промежутка
.
Задание 4.3. Провести факторизацию
отображения
,
если
,
,
а значения
заданы таблицей.
Пример решения задания 4.3.
Провести факторизацию отображения
,
если
,
,
а значения
таковы:
;
;
;
;
.
Решение. Рассмотрим на множестве
отношение
,
которое определим так:
Это – отношение эквивалентности,
которое порождает разбиение множества
на классы эквивалентности.
В нашем примере имеем:
;
;
.
Эти классы образуют фактор-множество
множества
по отношению
:
.
Заметим, что индекс разбиения множества
равен 3. Введём соответствие так:
.
Легко заметить, что
является отображением
на
.
Для исходного отображения
областью значений является множество
.
Рассмотрим соответствие
следующего вида:
,
заданное равенствами:
,
.
Это соответствие всюду определено,
сюръективно, функционально и инъективно,
то есть
биекция
между множествами
и
Рассмотрим, наконец, соответствие
,
.
Это соответствие всюду определено,
функционально и инъективно, то есть
является взаимно-однозначным отображением
в
.
Итак, исходное соответствие
можно представить в виде композиции
соответствий
и
.
В построении этой композиции и заключается
факторизация отображения
.
Задание 4.4.
Для данного отношения
проделать следующее:
1. Изобразить графом.
2. Достроить до отношения эквивалентности, указать фактор-множество.
3. Достроить до отношения частичного порядка, указать максимальные, минимальные элементы, а также пары несравнимых элементов.
4. Достроить до отношения линейного порядка, указать наибольший и наименьший элементы.
5. Достроить до отношения строгого порядка.
6. Достроить до отношения строгого линейного порядка.
Замечание. Отношение достраивается с помощью введения минимального необходимого числа дополнительных рёбер.
Пример решения задания 4.4.
Решим задание для
Решение. 1. Изобразим граф отношения (рис. 11, а).
2. Достроим
до отношения эквивалентности
Изобразим граф отношения (рис.1.4.4, б)
Укажем фактор-множество для
|
Рис. 1.4.4, б |
3
.
Достроим
до отношения частичного порядка
,
обозначив график этого отношения через
.
.
Изобразим граф (рис. 11, в).
Минимальными элементами здесь являются 1 и 5, максимальными элементами – 2, 3 и 4. Пары несравнимых элементов:
4. Достроим
до отношения линейного порядка
|
Рис. 11, в |
И (рис. 11, г). Наибольшим элементом здесь является 3, а наименьшим – 5. 5. Само исходное отношение является отношением строгого порядка, так что достраивать его нет необходимости. 6. Достроим
до отношения строгого линейного
порядка
|
Рис. 11, г |
.
Изобразим граф отношения (рис. 11, д).
|
●
Рис. 1.4.4, д |